Tek ve çift sayılar

"a ve b tam sayılar, a·b tek ise hangisi yanlıştır?" Bu soruyu çözmek için a ve b'nin hangi sayılar olduğunu bilmen gerekmez. Yalnızca tek mi çift mi olduklarını bilmen yeter, o bilgi de çarpımın tek olmasından çıkar. Tek-çift konusu TYT'de doğrudan bir iki soru getirir; ama asıl değeri, başka konuların sorularında denemeden eleme yapmanı sağlamasıdır. Denklemin pozitif tam sayı çözümlerini ararken, ardışık sayıları toplarken, bölünebilmede kalan bulurken aynı kurallar işe girer. Bu derste o kuralları ezberlemeden, nereden geldiklerini görerek kuracağız.

• Toplama, çıkarma, çarpma ve üs almada sonucun tek mi çift mi olduğunu kuralla belirlersin.
• Harfli bir ifadenin "daima tek" ya da "daima çift" olup olmadığına karar verirsin.
• Bir sonucun tek ya da çift olmasından harflerin tekliğine geri dönersin.
• Tek-çift bilgisini denklemin pozitif tam sayı çözümlerini daraltmak için kullanırsın.

Tanım: 2k ve 2k + 1

2'ye kalansız bölünebilen tam sayılara çift, 2'ye bölündüğünde 1 kalanını veren tam sayılara tek sayı denir. Harfle yazarsak k bir tam sayı olmak üzere çift sayılar 2k, tek sayılar 2k + 1 biçimindedir. Bu yazılış, dersin bütün kurallarının kaynağıdır.

Tanımdan iki önemli sonuç çıkar. Birincisi, 0 çift bir sayıdır, çünkü 0 = 2·0 yazılabilir. İkincisi, tek-çift ayrımı negatif sayılar için de geçerlidir: −4 = 2·(−2) çift, −7 = 2·(−4) + 1 tektir. Tek ve çift kavramları yalnızca tam sayılar için tanımlıdır; 2,5 ya da 1/2 için "tek mi çift mi?" sorusu anlamsızdır.

Toplama ve çıkarma

İki çift sayıyı topla: 2m + 2n = 2(m + n), yine çift. Bir tek ile bir çift sayıyı topla: (2m + 1) + 2n = 2(m + n) + 1, tek. İki tek sayıyı topla: (2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1), çift. Çıkarmada da aynı sonuçlar çıkar, çünkü çıkarma tekliği değiştirmez.

Bu tablonun kısa bir okuması vardır: bir toplamın tek ya da çift olmasını yalnızca içindeki tek sayıların adedi belirler. Tek sayıların adedi çiftse toplam çift, tekse toplam tektir; çift terimler sonucu hiç etkilemez. 3 + 5 + 8 + 11 toplamında üç tek terim vardır, sonuç tektir (27).

Çarpma

Çarpanlardan biri çift ise çarpım çifttir: 2m·n = 2(mn). İki tek sayının çarpımı ise tektir: (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1.

Buradan sınavda en çok işe yarayan cümle çıkar: bir çarpımın tek olması için bütün çarpanlar tek olmalıdır. Tek bir çift çarpan bütün çarpımı çift yapar. Katsayılar da bir çarpandır: 2a, a ne olursa olsun çifttir; 3a ise a ile aynı tekliği taşır.

Üs alma

Bir sayının pozitif tam sayı kuvveti, o sayının kendisiyle çarpımıdır. Tek sayıyı kaç kez çarparsan çarp sonuç tek, çift sayıyı çarptığında sonuç çift kalır. Yani n pozitif tam sayı olmak üzere Tⁿ tek, Çⁿ çifttir. Üssün kendisinin tek ya da çift olması sonucu değiştirmez: 3² de 3⁵ de tektir.

Tek istisna üssün 0 olmasıdır: her sıfırdan farklı sayının 0. kuvveti 1'dir ve 1 tektir. 4⁰ = 1 çift bir tabandan tek bir sonuç verir. Bu yüzden sorularda üslerin "pozitif tam sayı" olarak verilip verilmediğine bak.

Bölme için kural yoktur

Çift bir sayıyı 2'ye bölmek tek sonuç da verebilir, çift sonuç da: 6 / 2 = 3, 8 / 2 = 4. Bu yüzden "çift / çift" ya da "çift / tek" için genel bir kural yazılamaz; bölümün tek mi çift mi olduğu ancak sayılar bilinirse söylenebilir. Bir seçenekte bölme varsa ve harflerin değeri verilmemişse o ifadenin tekliği çoğu zaman belirlenemez.

Harfli ifadelerde "daima" sorusu

"a tek, b çift ise aşağıdakilerden hangisi daima tektir?" sorusunda iki yol birlikte kullanılır.

Sayı vererek ele. a = 1, b = 2 gibi küçük değerler ver ve her seçeneği hesapla. Sonucu çift çıkan seçenek, en az bir durumda tek olmadığı için hemen elenir. Bu yol hızlıdır, ama tek başına yeterli değildir: bir seçenek bir örnekte tek çıktı diye her örnekte tek çıkacağı kanıtlanmaz.

Kalanı kuralla doğrula. Elemeden kalan seçeneği tablolarla denetle. a² + b ifadesinde a² tek (Tⁿ), b çift, toplam T + Ç = tektir; hangi tek a ve hangi çift b seçilirse seçilsin sonuç tektir.

Kuralla denetlerken katsayılara ve sabitlere dikkat et. 2a + b ifadesinde 2a daima çifttir, dolayısıyla ifadenin tekliğini yalnızca b belirler. a + b + 1 ifadesinde üç terim vardır: a tek, b çift, 1 tek; iki tek terim olduğu için sonuç çifttir.

Tersten okumak: sonuçtan harflere

Sorular çoğu zaman sonucu verip harfleri sorar. Dört durumu ayırt et:

• a·b tek ise a ve b'nin ikisi de tektir. Bu kesin bir bilgidir.
• a·b çift ise a ve b'den en az biri çifttir; hangisi olduğu bilinmez.
• a + b tek ise biri tek, öteki çifttir; hangisinin tek olduğu bilinmez. Ama a·b'nin çift olduğu kesindir, çünkü çarpanlardan biri çifttir.
• a + b çift ise ikisi aynı tekliktedir: ya ikisi de tek ya ikisi de çift.

Birden çok bilgi verildiğinde bunları zincirle. "a·b tek ve b + c çift" bilgisinden önce a ve b'nin tek olduğu, sonra b tek olduğuna göre c'nin de tek olduğu çıkar.

İki toplam birlikte verildiğinde toplamayı dene: (a + b) + (b + c) = a + c + 2b. 2b çift olduğu için a + c'nin tekliği, iki toplamın tekliklerinin toplamıyla aynıdır. a + b çift, b + c tek ise a + c tektir.

Ardışık iki tam sayı

Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift, öteki mutlaka tektir. Bu yüzden n(n + 1) çarpımı her tam sayı n için çifttir. Aynı çarpım başka kılıklarda da gelir: n² + n = n(n + 1) ve n² − n = n(n − 1) daima çifttir. n ile n² her zaman aynı tekliktedir; bu yüzden onların toplamı ve farkı çift çıkar. Ardışık üç tam sayının çarpımı olan n³ − n = (n − 1)n(n + 1) de daima çifttir.

Denklemde tek-çift: pozitif tam sayı çözümleri

"x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere 3x + 2y = 20 ise x kaç farklı değer alabilir?" 2y daima çifttir ve toplam 20 çifttir; bu durumda 3x de çift olmalıdır. 3 tek olduğuna göre x çift olmak zorundadır. x = 2 için y = 7, x = 4 için y = 4, x = 6 için y = 1 bulunur; x = 8 için 3x = 24 > 20 olur. x üç farklı değer alır. Tek-çift bilgisi, x'in denenecek değerlerini yarıya indirmiştir.

Soru kökleri

Bu konunun soruları üç kökte yoğunlaşır: "Aşağıdakilerden hangisi daima tektir/çifttir?", "… olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur/yanlıştır?" ve bir denklemin pozitif tam sayı çözümlerini soran kök. İlk ikisinde her seçeneği T ve Ç harfleriyle yeniden yaz; sayıların kendisini değil, yalnızca tekliklerini taşımak işlemi kısaltır.

Örnek 1 — Daima tek olan ifade

Soru: a tek, b çift tam sayılar olmak üzere aşağıdakilerden hangisi daima tektir?

• A) a + b + 1
• B) a·b
• C) 2a + b
• D) a² + b
• E) b²

Çözüm: A'da iki tek terim (a ve 1) vardır, toplam çifttir. B'de çift bir çarpan olduğu için çarpım çifttir. C'de 2a ve b çifttir, toplam çifttir. E'de çift bir sayının karesi çifttir. D'de a² tek, b çift olduğu için toplam tektir. Cevap: D.

Örnek 2 — Bilgileri zincirlemek

Soru: a, b, c tam sayılar olmak üzere a·b tek ve b + c çift ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

• A) a çifttir.
• B) c çifttir.
• C) a + c tektir.
• D) a·c tektir.
• E) a + b tektir.

Çözüm: a·b tek olduğu için a ve b tektir; A yanlıştır. b tek ve b + c çift olduğuna göre c de tektir; B yanlıştır. a ve c tek olduğu için a + c çift, C yanlıştır. a ile b'nin toplamı çifttir, E yanlıştır. İki tek sayının çarpımı olan a·c tektir. Cevap: D.

Örnek 3 — Ardışık çarpım

Soru: n bir tam sayı olmak üzere aşağıdakilerden hangisi daima tektir?

• A) n² + 1
• B) n² + n + 1
• C) 3n
• D) n + 1
• E) n³

Çözüm: n² + n = n(n + 1) ardışık iki tam sayının çarpımıdır, daima çifttir; buna 1 eklenince sonuç daima tek olur. A, C, D ve E'nin tekliği n'ye bağlıdır: n = 1 için A çift, n = 2 için C ve E çift, n = 1 için D çift çıkar. Cevap: B.

Örnek 4 — Denklemde tek-çift

Soru: x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere 3x + 4y = 25 ise x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

• A) 3
• B) 7
• C) 10
• D) 11
• E) 15

Çözüm: 4y çift, 25 tek olduğu için 3x tek, dolayısıyla x tek olmalıdır. x = 1 için 4y = 22, y tam sayı değildir. x = 3 için 4y = 16, y = 4. x = 5 için 4y = 10, y tam sayı değildir. x = 7 için 4y = 4, y = 1. x = 9 için 3x = 27 > 25 olur. x yalnızca 3 ve 7 olabilir; toplamları 10'dur. Cevap: C.

• 0'ı tek ya da tanımsız saymak. 0 = 2·0 olduğu için 0 çift bir sayıdır.
• Tek bir örnekle "daima" demek. Sayı vermek yalnızca eleme yapar; kalan seçeneği kuralla doğrula.
• Katsayıyı unutmak. 2a, a tek olsa bile çifttir; 3a ise a ile aynı tekliktedir.
• "a + b tek" bilgisinden hangisinin tek olduğunu çıkarmak. Yalnızca birinin tek, ötekinin çift olduğu bilinir; kesin olan, a·b'nin çift olmasıdır.
• Bölmeye kural uygulamak. Çift / çift tek de çıkabilir çift de; genel bir kural yoktur.
• Sıfırıncı kuvveti gözden kaçırmak. 4⁰ = 1 tektir; Çⁿ çift kuralı yalnızca pozitif üsler için geçerlidir.