Pozitif ve negatif sayılar

−2⁴ kaçtır? Hızlı cevap 16'dır ve yanlıştır. Üs yalnızca 2'ye uygulanır, eksi işareti sonradan gelir: −2⁴ = −(2·2·2·2) = −16. Parantez içine alınmış (−2)⁴ ise gerçekten 16'dır. Bir parantezin varlığı sonucun işaretini değiştirir, TYT de bu farkı ölçmekten hoşlanır. Bu derste sayıların işaretini dört işlemde ve üs almada nasıl izleyeceğini, sonra harflerle verilmiş ifadelerde bir sayının değerini bilmeden işaretine nasıl karar vereceğini öğreneceğiz.

• Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs almada sonucun işaretini belirlersin.
• −aⁿ ile (−a)ⁿ arasındaki farkı gösterir, (−1)ⁿ ifadesini n'nin tekliğine göre hesaplarsın.
• Harflerin işaretleri verildiğinde bir ifadenin daima pozitif ya da daima negatif olup olmadığına karar verirsin.
• Çarpım ve toplam bilgisinden geriye giderek harflerin işaretlerini bulursun.

Sayı doğrusu ve sıfırın yeri

Sayı doğrusunda 0'ın sağında kalan sayılar pozitif, solunda kalanlar negatif sayılardır. 0 bu iki bölgeyi ayırır ve ne pozitif ne negatiftir. Sayı doğrusunda sağdaki sayı her zaman soldakinden büyüktür. Bu yüzden her pozitif sayı her negatif sayıdan büyüktür, negatif sayılar arasında ise 0'a yakın olan büyüktür: −2 > −9.

Bir sayının önündeki eksi işareti "negatif" anlamına gelmez, "ters işaretli" anlamına gelir. a = −5 ise −a = 5 pozitiftir. Bu yüzden sorularda −a, −b gibi ifadeleri gördüğünde otomatik olarak negatif sayma; önce a'nın işaretine bak.

Toplama ve çıkarma

Aynı işaretli iki sayı toplanırken sayıların büyüklükleri toplanır ve ortak işaret korunur: (−3) + (−5) = −8. Farklı işaretli iki sayı toplanırken büyüklükler çıkarılır ve büyüklüğü fazla olanın işareti alınır: (−7) + 4 = −3, 7 + (−4) = 3.

Çıkarma, ters işaretli sayıyı toplamaktır: a − b = a + (−b). Buradan en sık kullanılan iki kural çıkar: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 ve −4 − 6 = −4 + (−6) = −10. "Eksi eksi artı yapar" kuralı yalnızca iki eksi yan yana geldiğinde, yani bir negatif sayı çıkarıldığında geçerlidir. −4 − 6 işleminde yan yana iki eksi yoktur ve sonuç negatiftir.

Çarpma ve bölme

Çarpma ve bölmede işaret, sayıların büyüklüğünden bağımsız olarak belirlenir.

Birden çok çarpan olduğunda tabloyu tek tek uygulamak yerine negatif çarpanları say: negatif çarpanların adedi çiftse çarpım pozitif, tekse negatiftir. (−2)·(−3)·(−1)·4 çarpımında üç negatif çarpan vardır, sonuç negatiftir (−24). Çarpanlardan biri 0 ise çarpım 0'dır ve ne pozitif ne negatiftir. Bölme de aynı kurala uyar: a/b'nin işareti a·b'nin işaretiyle aynıdır.

Üslü ifadelerde işaret

Pozitif bir sayının her kuvveti pozitiftir. Negatif bir sayının kuvvetinde ise üs belirleyicidir, çünkü üs, negatif çarpanların adedini söyler:

• Çift kuvvet pozitif: (−2)² = 4, (−2)⁴ = 16.
• Tek kuvvet negatif: (−2)³ = −8, (−2)⁵ = −32.

Buradan önemli bir sonuç çıkar: sıfırdan farklı her sayının karesi (ve her çift kuvveti) pozitiftir. x ≠ 0 için x² > 0, x⁴ > 0'dır. x = 0 da olabiliyorsa x² ≥ 0 yazılır. Tek kuvvet ise işareti korur: x³, x ile aynı işaretlidir.

Parantez tuzağı. Üs, hemen solundaki sayıya ya da paranteze uygulanır. (−3)² ifadesinde üs parantezin tamamına uygulanır: (−3)·(−3) = 9. −3² ifadesinde üs yalnızca 3'e uygulanır ve eksi en sonda gelir: −(3·3) = −9. Tek kuvvetlerde fark sonucu değiştirmez, çünkü (−3)³ = −27 = −3³; ama çift kuvvetlerde iki ifade birbirinin tersidir.

(−1)ⁿ. n çift ise (−1)ⁿ = 1, n tek ise (−1)ⁿ = −1'dir. (−1)¹⁰⁰ = 1, (−1)¹⁰¹ = −1. Ardışık iki kuvvetin toplamı her zaman 0'dır.

Harfli ifadelerde işaret belirleme

"a < 0 < b ise aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?" sorusu, işaret tablosunun harflerle uygulanmasıdır. Her seçeneği (+) ve (−) sembollerine çevir:

• a·b = (−)·(+) → negatif.
• a − b = (−) − (+) = (−) + (−) → negatif.
• b − a = (+) − (−) = (+) + (+) → pozitif.
• a + b = (−) + (+) → işareti büyüklüklere bağlıdır, belirlenemez.
• a³ = (−)³ → negatif; a²·b = (+)·(+) → pozitif.

Farklı işaretli iki sayının toplamı bu tür sorularda en sık yapılan hatadır: a = −1, b = 5 için a + b pozitif, a = −5, b = 1 için negatiftir. Bilgi yetersizse "belirlenemez" demek doğru cevaptır.

Sonucun işaretinden harflerin işaretine

İşaret sorularının yarısı ters kurulur: bir çarpımın ya da toplamın işareti verilir, harflerinki istenir.

• a·b < 0 ise a ve b zıt işaretlidir; hangisinin negatif olduğu bilinmez.
• a·b > 0 ise a ve b aynı işaretlidir: ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif.
• a·b > 0 ve a + b < 0 ise ikisi de negatiftir, çünkü iki pozitif sayının toplamı negatif olamaz.
• a/b < 0 bilgisi a·b < 0 bilgisiyle aynı şeyi söyler.

Koşullar arttığında işe, işareti doğrudan verilmiş harften başla ve öteki harflere oradan ilerle. "a·b < 0, b·c > 0 ve c < 0" verilmişse önce c'nin negatif olduğundan b'nin de negatif olduğu (b·c > 0), sonra a'nın pozitif olduğu (a·b < 0) çıkar.

Kare çarpanlar işaret taşımaz

a²·b³·c < 0 gibi bir ifadede a² çarpanı, a sıfırdan farklı olduğu sürece pozitiftir ve işareti değiştirmez. Bu yüzden ifadenin işaretini yalnızca tek kuvvetli çarpanlar belirler: b³ (b ile aynı işaretli) ve c. b < 0 verilmişse b³ negatiftir ve toplam çarpımın negatif olması için c pozitif olmalıdır. Aynı nedenle a'nın işareti hakkında bu ifadeden hiçbir bilgi çıkmaz; yalnızca a ≠ 0 olduğu bilinir.

Negatif sayılarda sıralama

İki negatif sayıdan küçük olanın mutlak değeri büyüktür. a < b < 0 ise:

• a² > b²: −5 < −2 için 25 > 4. Kare almak negatif sayılarda sıralamayı ters çevirir.
• a³ < b³: tek kuvvet sıralamayı korur, −125 < −8.
• −a > −b: her iki tarafı −1 ile çarpmak eşitsizliğin yönünü değiştirir, 5 > 2.
• a·b > 0 ve a + b < 0: iki negatifin çarpımı pozitif, toplamı negatiftir.

Soru kökleri

Bu konunun soruları üç türde gelir: sayılarla verilmiş bir işlemin sonucu (özellikle üs ve parantez içeren işlemler), "a < 0 < b ise hangisi daima pozitiftir/negatiftir?" türü işaret belirleme ve "… olduğuna göre hangisi kesinlikle doğrudur?" türü geri çıkarım. İkinci ve üçüncü türde her harfin yerine yalnızca işaretini yaz; değerleri taşımak gereksiz yere işlem çıkarır.

Örnek 1 — Parantez ve üs

Soru: (−2)⁴ − 2⁴ + (−1)⁵ işleminin sonucu kaçtır?

• A) −33
• B) −17
• C) −1
• D) 1
• E) 31

Çözüm: (−2)⁴'te üs parantezin tamamına uygulanır ve çift kuvvet olduğu için sonuç 16'dır. 2⁴ = 16'dır. (−1)⁵ tek kuvvet olduğu için −1'dir. İşlem 16 − 16 + (−1) = −1 olur. Cevap: C.

Örnek 2 — Daima pozitif olan ifade

Soru: a < 0 < b olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?

• A) a·b
• B) a − b
• C) a³
• D) b − a
• E) a + b

Çözüm: A'da farklı işaretli iki sayı çarpılır, sonuç negatiftir. B negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarır, sonuç negatiftir. C'de negatif sayının tek kuvveti negatiftir. E'nin işareti a ile b'nin büyüklüklerine bağlıdır. D pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarır; bu, iki pozitif sayıyı toplamaktır. Cevap: D.

Örnek 3 — İşaret zinciri

Soru: a·b < 0, b·c > 0 ve c < 0 olduğuna göre a ve b'nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

• A) a < 0, b < 0
• B) a > 0, b < 0
• C) a < 0, b > 0
• D) a > 0, b > 0
• E) a = 0, b < 0

Çözüm: İşareti kesin olan c'den başla. c < 0 ve b·c > 0 olduğu için b de negatiftir. b < 0 ve a·b < 0 olduğu için a pozitiftir. E'deki a = 0 durumu a·b < 0 koşulunu sağlamaz, çünkü 0 ile çarpım 0 olur. Cevap: B.

Örnek 4 — Kare çarpan işaret taşımaz

Soru: a²·b³·c < 0 ve b < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

• A) a > 0
• B) a < 0
• C) c > 0
• D) c < 0
• E) a·c > 0

Çözüm: a² sıfırdan farklı olduğu için pozitiftir ve işarete katkısı yoktur. b < 0 olduğu için b³ negatiftir. Çarpımın negatif olması için kalan çarpan c pozitif olmalıdır. a'nın işareti belirlenemediği için A, B ve E kesin değildir. Cevap: C.

• −2⁴ ile (−2)⁴'ü karıştırmak. Parantez yoksa üs yalnızca sayıya uygulanır: −2⁴ = −16, (−2)⁴ = 16.
• −a'yı negatif sanmak. a negatifse −a pozitiftir; eksi işareti "ters işaretli" demektir.
• "Eksi eksi artı"yı her yerde uygulamak. −4 − 6 = −10'dur; kural yalnızca negatif bir sayı çıkarılırken işler.
• Farklı işaretli toplamın işaretine karar vermek. a < 0 < b iken a + b'nin işareti büyüklüklere bağlıdır, belirlenemez.
• Kare çarpandan işaret çıkarmak. a²·b < 0 bilgisi a hakkında yalnızca a ≠ 0 olduğunu söyler.
• Negatiflerde kare alınca sıranın korunduğunu sanmak. a < b < 0 ise a² > b²'dir.