Ardışık sayılar

Bir bahçenin 20 metrelik kenarına, her 2 metrede bir direk dikilecek. Kaç direk gerekir? 20 / 2 = 10 diyen öğrenci bir direk eksik sayar: iki uçtaki direklerle birlikte cevap 11'dir. Ardışık sayılar konusunun bütün formülleri bu küçük "+1"in etrafında döner. 7'den 83'e dörder dörder giden kaç sayı vardır, bunların toplamı kaçtır, ardışık beş tek sayının toplamı 115 ise en büyüğü hangisidir? Bu derste terim sayısını ve toplamı ezber formül olarak değil, her soruda yeniden kurabileceğin bir mantık olarak öğreneceğiz.

• Belirli bir artışla ilerleyen bir sayı dizisinin terim sayısını bulursun.
• Ardışık sayıların toplamını ilk ve son terimle hesaplar, özel toplamları (1'den n'ye, ilk n çift, ilk n tek) tanırsın.
• Toplamı verilen ardışık sayıları ortadaki terimden yola çıkarak bulursun.
• Bir toplamı iki toplamın farkı olarak yazıp parçalı toplamları hesaplarsın.

Ardışık ne demek?

Aralarındaki fark hep aynı olan sayılara ardışık denir. En bilinen örnekler:

• Ardışık tam sayılar: n, n + 1, n + 2, … (artış 1). Örnek: 14, 15, 16.
• Ardışık çift sayılar: 2n, 2n + 2, 2n + 4, … (artış 2). Örnek: 8, 10, 12.
• Ardışık tek sayılar: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, … (artış 2). Örnek: 9, 11, 13.
• Belli bir sayının ardışık katları: 5'in katları 5, 10, 15, … (artış 5).

Sınavda "ardışık" sözcüğü kullanılmasa da "dörder dörder artan", "7, 11, 15, …, 83" gibi yazılışlar aynı yapıyı anlatır. Hepsinde bilmen gereken üç şey vardır: ilk terim, son terim ve artış miktarı.

Terim sayısı

Terim sayısı = (son terim − ilk terim) / artış + 1

Formülün mantığı kancadaki direk sorusudur. Son terim ile ilk terim arasındaki fark, kaç "adım" atıldığını söyler; artışa bölmek adım sayısını verir. Adımlar direklerin arasındaki boşluklardır ve direk sayısı boşluk sayısından her zaman bir fazladır. 7, 11, 15, …, 83 dizisinde fark 83 − 7 = 76, adım sayısı 76 / 4 = 19, terim sayısı 19 + 1 = 20'dir.

Formül, 1'den başlamayan aralıklar için de işler. 12'den 96'ya kadar 4'ün katları: (96 − 12) / 4 + 1 = 22 tanedir. 1'den 100'e kadar tek sayılar: (99 − 1) / 2 + 1 = 50 tanedir. Aralığın ucu sorulan türden değilse, önce aralığın içindeki ilk ve son uygun terimi bul: 10 ile 100 arasındaki 3'ün katları 12'den başlar, 99'da biter; (99 − 12) / 3 + 1 = 30 tane.

Soru kökündeki "dahil" sözcüğüne de dikkat et. "10 ile 20 arasındaki tam sayılar" dendiğinde uçlar çoğu zaman dışarıda kalır ve cevap 11 değil 9 olur; "10 ve 20 dahil" dendiğinde ise 11 olur. Uçların durumu belirtilmişse formülü uygulamadan önce ilk ve son terimi buna göre yaz.

Toplam: ilk ve son terimi eşleştirmek

Toplam = terim sayısı × (ilk terim + son terim) / 2

Bu formülün arkasında bir eşleştirme vardır. 1 + 2 + … + 100 toplamında ilk terimle son terimi (1 + 100), ikinciyle sondan ikinciyi (2 + 99) eşleştir; her çiftin toplamı 101'dir ve 50 çift vardır. Toplam 50 · 101 = 5050 olur. Formüldeki (ilk + son) / 2 bir terimin ortalama değeridir; toplam, terim sayısı ile bu ortalamanın çarpımıdır.

7, 11, 15, …, 83 dizisinin toplamı: 20 terim, ilk + son = 90, toplam 20 · 90 / 2 = 900.

Sık kullanılan üç özel toplam

Genel formülden türeyen üç kısa yol, soruların önemli bir kısmında doğrudan işe yarar:

Çift ve tek toplamlarında n, toplanan terimlerin sayısıdır, son terim değildir. 2 + 4 + … + 30 toplamında son terim 30, terim sayısı 15'tir. Bu ayrımı atlayan öğrenci 30 · 31 = 930 bulur; bu, doğru cevabın neredeyse dört katıdır.

Ortadaki terim

Tek sayıda ardışık terimin toplamı, terim sayısı ile ortadaki terimin çarpımıdır. Ardışık beş sayıda ortadaki terimin bir altındaki ve bir üstündeki sayılar birbirini dengeler, iki altındaki ve iki üstündeki de öyle. Bu yüzden toplamı verilen ardışık sayıları bulmanın en kısa yolu ortadaki terimi bilinmeyen almaktır.

"Ardışık beş tek sayının toplamı 115'tir." Ortadaki terim 115 / 5 = 23; sayılar 19, 21, 23, 25, 27'dir.

Terim sayısı çiftse tam ortada bir terim yoktur. O zaman en küçük terimi x al ve öteki terimleri artışla yaz. "Ardışık dört çift sayının toplamı 100" için x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 4x + 12 = 100, x = 22; sayılar 22, 24, 26, 28'dir. Ortalama yine işe yarar: 100 / 4 = 25, iki ortadaki terimin (24 ve 26) ortalamasıdır.

Parçalı toplamlar

1'den başlamayan bir toplamı, 1'den başlayan iki toplamın farkı olarak yazabilirsin:

21 + 22 + … + 60 = (1 + … + 60) − (1 + … + 20) = 1830 − 210 = 1620.

Çıkarılan toplamın son terimi, istenen toplamın ilk teriminden bir eksiktir. 21'den başlayan toplam için 1'den 20'ye kadar olanı çıkarırsın; 1'den 21'e kadar olanı çıkarmak 21'i de silerdi.

Aynı fikir iki toplamın farkında daha da kısalır. (2 + 4 + … + 50) − (1 + 3 + … + 49) farkını hesaplamak için iki toplamı ayrı ayrı bulmana gerek yoktur: terimleri sırayla eşleştir, 2 − 1, 4 − 3, …, 50 − 49. Her fark 1'dir ve 25 çift vardır; sonuç 25'tir.

Negatif terimli toplamlar

Toplam negatif sayılardan başlıyorsa, birbirinin tersi olan terimleri eşleştir. −8 + (−7) + … + 12 toplamında −8 ile 8, −7 ile 7, …, −1 ile 1 birbirini götürür; 0 da bir şey eklemez. Geriye 9 + 10 + 11 + 12 = 42 kalır.

Soru kökleri

Bu konunun soruları dört kalıpta yoğunlaşır: "… dizisinde kaç terim vardır?", "… toplamı kaçtır?", "Ardışık … sayının toplamı … ise en büyüğü/en küçüğü kaçtır?" ve iki toplamın farkı ya da parçalı toplam. İlk iş her zaman aynıdır: ilk terimi, son terimi ve artışı yaz. Üçü de önündeyse terim sayısı ve toplam birkaç saniyelik işlemdir.

Örnek 1 — Terim sayısı

Soru: 7, 11, 15, …, 83 biçiminde dörder dörder artan sayı dizisinde kaç terim vardır?

• A) 19
• B) 20
• C) 21
• D) 22
• E) 76

Çözüm: Fark 83 − 7 = 76, adım sayısı 76 / 4 = 19'dur. Terim sayısı adım sayısından bir fazladır: 19 + 1 = 20. A, "+1"i unutan öğrencinin, E ise yalnızca farkı alan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

Örnek 2 — 1'den n'ye toplam

Soru: 1 + 2 + 3 + … + 40 toplamı kaçtır?

• A) 780
• B) 800
• C) 820
• D) 840
• E) 1600

Çözüm: n(n + 1) / 2 formülünde n = 40 alınır: 40 · 41 / 2 = 820. Eşleştirme ile de aynı sonuç çıkar: 20 çiftin her biri 41 eder. A, 39'a kadar toplamanın sonucudur. Cevap: C.

Örnek 3 — Ortadaki terimden başlamak

Soru: Ardışık beş tek sayının toplamı 115 olduğuna göre bu sayıların en büyüğü kaçtır?

• A) 25
• B) 27
• C) 29
• D) 31
• E) 33

Çözüm: Terim sayısı tek olduğu için toplam, 5 ile ortadaki terimin çarpımıdır: ortadaki terim 115 / 5 = 23. Ardışık tek sayılar ikişer arttığı için sayılar 19, 21, 23, 25, 27'dir. Cevap: B.

Örnek 4 — Parçalı toplam

Soru: 21 + 22 + 23 + … + 60 toplamı kaçtır?

• A) 1560
• B) 1600
• C) 1620
• D) 1640
• E) 1830

Çözüm: 1'den 60'a kadar toplam 60 · 61 / 2 = 1830, 1'den 20'ye kadar toplam 20 · 21 / 2 = 210'dur. Farkları 1620'dir. Doğrudan formülle de kontrol edilebilir: 40 terim, ilk + son = 81, toplam 40 · 81 / 2 = 1620. E, parçayı hiç çıkarmayan öğrencinin cevabıdır. Cevap: C.

• Terim sayısında "+1"i unutmak. 7'den 83'e dörder artan dizi 19 değil, 20 terimlidir; iki uç da sayılır.
• Özel toplamlarda n'yi son terim sanmak. 2 + 4 + … + 30'da n = 15'tir; sonuç 240, 930 değil.
• Parçalı toplamda bir fazla çıkarmak. 21'den başlayan toplamdan 1 + … + 20 çıkarılır, 1 + … + 21 değil.
• Çift sayıda terimde "ortadaki terimi" aramak. Dört terimde tam orta yoktur; en küçük terimi x al.
• Aralığın uçlarını körü körüne almak. 10 ile 100 arasındaki 3'ün katları 10'dan değil, 12'den başlar.
• Negatif terimleri tek tek toplamak. Birbirini götüren çiftleri önce sil, kalanı topla.