Asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma

91 asal mıdır? Tek sayıdır, 3'e bölünmez, 5 ile bitmez; ilk bakışta asal görünür ve aceleyle "asal" diyen bir soruyu orada kaybeder. 91 = 7 · 13'tür. Asal sayılar matematiğin yapı taşlarıdır: 1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılır. Bu yazılış bir sayının kimlik kartı gibidir. Tam kare olup olmadığını, kaç böleni olduğunu, başka bir sayıyla ortak çarpanını hep o karttan okursun. Bu derste bir sayının asal olup olmadığına hızla karar vermeyi ve her sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı öğreneceğiz.

• Asal sayının tanımını 1 ve 2 üzerinden açıklar, 100'e kadar olan asalları tanırsın.
• Bir sayının asal olup olmadığını karekökünden küçük asallarla sınarsın.
• Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırır, bu yazılıştan tam kare ve tam küp koşullarını okursun.
• Asal sayıların tek-çift özelliğini kullanarak asal bilinmeyenli denklemleri çözersin.

Asal sayı nedir?

1'den büyük olup 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir. Başka bir söyleyişle, asal sayının tam olarak iki pozitif böleni vardır. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayı denir; bileşik sayıların ikiden fazla pozitif böleni vardır.

Tanımdan iki kritik sonuç çıkar:

• 1 asal değildir. 1'in tek bir pozitif böleni vardır (kendisi); asal sayı tanımındaki "tam iki bölen" koşulunu sağlamaz. 1 bileşik de değildir; ayrı bir sınıftadır.
• 2, tek çift asal sayıdır. 2'den büyük her çift sayı 2'ye bölünür ve bu yüzden en az üç böleni vardır (1, 2 ve kendisi). 2 dışındaki bütün asallar tektir.

100'e kadar 25 asal sayı vardır:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

İlk on beşini (47'ye kadar) ezbere bilmek sınavda zaman kazandırır. Tek sayı olup asal olmayanlar ise asıl tuzaklardır: 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39, 49, 51, 57, 63, 69, 77, 81, 87, 91, 93.

Bir sayı asal mı? Kareköke kadar sına

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için onu karekökünden küçük ya da eşit bütün asal sayılara bölmeyi denemen yeterlidir. Hiçbiri bölmüyorsa sayı asaldır.

Neden yeter? Bir sayı iki çarpanın çarpımı olarak yazılıyorsa (n = a · b), bu çarpanlardan biri mutlaka √n'den küçük ya da ona eşittir; ikisi birden √n'den büyük olsaydı çarpımları n'yi aşardı. Dolayısıyla n'nin bir böleni varsa, √n'e kadar olan sayılarda karşına çıkar.

Örnek: 97 asal mı? √97 ile 10 arasındadır; 10'dan küçük asallar 2, 3, 5, 7'dir. 97 tektir (2'ye bölünmez), rakamları toplamı 16'dır (3'e bölünmez), 7 ile bitmez (5'e bölünmez) ve 97 = 7 · 13 + 6'dır (7'ye bölünmez). 97 asaldır. Aynı yolla 91 sınanırsa 7'de takılır: 91 = 7 · 13.

Bu yöntemin sınavdaki karşılığı şudur: iki basamaklı bir sayıyı sınamak için yalnızca 2, 3, 5 ve 7'yi denemen yeter, çünkü 11² = 121 zaten üç basamaklıdır.

Asal çarpanlara ayırma

1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir ve bu yazılış (çarpanların sırası dışında) tektir. Bu gerçeğe aritmetiğin temel teoremi denir. Yazılışı bulmak için bölme merdiveni kullanılır: sayıyı bölen en küçük asalla başla, bölüm 1 olana kadar devam et.

360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1.

Merdivendeki bölenler toplanınca 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5 bulunur. Üslü yazılışta her asal bir kez ve kuvvetiyle yazılır; 4 · 9 · 5 ya da 2² · 90 gibi yazılışlar asal çarpanlara ayrılmış biçim değildir, çünkü 4, 9 ve 90 asal değildir.

Bu yazılıştan okunabilen bilgiler:

• Farklı asal çarpanlar: 360 için 2, 3 ve 5; toplamları 10.
• Üsler: 3, 2 ve 1; bir sonraki derslerde bölen sayısı bu üslerden hesaplanacak.
• Tek ve çift çarpanlar: 360'ın içinde 2 çarpanı olduğu için çift, 5 çarpanı olduğu için 5'e bölünür.

Tam kare ve tam küp

Bir sayı, asal çarpanlara ayrılmış biçimindeki bütün üsler çift ise tam karedir: 144 = 2⁴ · 3², √144 = 2² · 3 = 12. Bütün üsler 3'ün katı ise tam küptür: 216 = 2³ · 3³.

Bu kural, "en küçük hangi sayıyla çarpılırsa tam kare olur?" sorusunun anahtarıdır. 72 = 2³ · 3² ifadesinde 2'nin üssü tektir; bir 2 daha eklenirse 2⁴ · 3² = 144 tam kare olur. Cevap 2'dir. Tam küp için aynı düşünce üsleri 3'ün katına tamamlar: 360 = 2³ · 3² · 5 sayısını tam küp yapmak için bir 3 ve iki 5 gerekir, en küçük çarpan 3 · 5² = 75'tir.

Eksik çarpanı bulurken yalnızca üssü tamamlamaya yetecek kadarını ekle. 72'yi tam kare yapmak için 8 ile çarpmak da işe yarar (576 = 24²), ama en küçük çarpan 2'dir.

Aralarında asal sayılar

Ortak asal çarpanı olmayan iki sayıya aralarında asal denir; bu sayıların 1'den başka ortak pozitif böleni yoktur. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: 8 = 2³ ve 15 = 3 · 5 asal değildir, ama ortak asal çarpanları olmadığı için aralarında asaldır. Buna karşılık 14 = 2 · 7 ile 21 = 3 · 7 ortak 7 çarpanı taşır, aralarında asal değildir.

İki kısa sonuç akılda tutulmaya değer: ardışık iki tam sayı daima aralarında asaldır, iki farklı asal sayı da daima aralarında asaldır.

Asal bilinmeyenli denklemler

"a ve b asal sayılar olmak üzere 3a + 5b = 31" türü sorularda tek-çift bilgisi ilk elemeyi yapar. a ve b ikisi de tek asal olsaydı 3a ve 5b tek olur, toplamları çift çıkardı; oysa 31 tektir. Demek ki a ya da b'den biri 2'dir, çünkü tek çift asal odur. a = 2 için 5b = 25, b = 5; b = 2 için 3a = 21, a = 7. İki çözüm vardır.

Aynı düşünce toplam ve çarpım sorularında da işler. İki asalın toplamı tekse biri kesinlikle 2'dir: a + b = 15 ise 2 ve 13. Üç asalın toplamı çiftse içlerinden biri 2'dir, çünkü üç tek sayının toplamı tektir. İki asalın çarpımı verildiğinde ise çarpımın asal çarpanlara ayrılmış biçimi a ve b'yi doğrudan gösterir.

Soru kökleri

Bu konunun soruları dört türde gelir: "Aşağıdakilerden hangisi asaldır/asal değildir?", bir sayının asal çarpanlara ayrılmış biçimi ya da farklı asal çarpanlarının toplamı, "en küçük hangi sayıyla çarpılırsa tam kare/tam küp olur?" ve asal bilinmeyenli denklemler. İlk türde tuzak sayıları (51, 57, 87, 91) tanımak, dördüncü türde "biri 2 olmalı" düşüncesini ilk adım yapmak işin yarısıdır.

Örnek 1 — Asallık sınaması

Soru: Aşağıdaki sayılardan hangisi asaldır?

• A) 51
• B) 57
• C) 87
• D) 89
• E) 91

Çözüm: İki basamaklı sayılar için 2, 3, 5 ve 7'yi denemek yeter. 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 87 = 3 · 29 (rakamları toplamı 3'ün katıdır), 91 = 7 · 13. 89 ise 2, 3, 5 ve 7'nin hiçbirine bölünmez. Cevap: D.

Örnek 2 — Farklı asal çarpanlar

Soru: 360 sayısının farklı asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

• A) 5
• B) 8
• C) 10
• D) 12
• E) 15

Çözüm: Bölme merdiveniyle 360 = 2³ · 3² · 5 bulunur. Farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir; toplamları 10'dur. Tekrar eden çarpanlar toplama bir kez katılır; 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5 = 17 farklı çarpanların değil, bütün çarpanların toplamıdır. Cevap: C.

Örnek 3 — Tam kare yapan en küçük çarpan

Soru: 72 · n bir tam kare olduğuna göre n'nin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 6
• E) 8

Çözüm: 72 = 2³ · 3²'dir. 3'ün üssü zaten çifttir, 2'nin üssü tektir. 2'nin üssünü çifte tamamlamak için bir 2 yeter: 72 · 2 = 144 = 12². E de tam kare üretir (576), ama en küçük değer 2'dir. Cevap: A.

Örnek 4 — Biri 2 olmalı

Soru: a ve b asal sayılar olmak üzere 3a + 5b = 31 olduğuna göre a + b'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

• A) 7
• B) 9
• C) 12
• D) 14
• E) 16

Çözüm: a ve b ikisi de tek olsaydı 3a + 5b çift olurdu; 31 tek olduğu için biri 2'dir. a = 2 için b = 5, a + b = 7. b = 2 için a = 7, a + b = 9. İki değerin toplamı 16'dır. A ve B, çözümlerden yalnızca birini bulan öğrencinin cevabıdır. Cevap: E.

• 1'i asal saymak. 1'in tek bir pozitif böleni vardır; asal da bileşik de değildir.
• Her tek sayıyı asal sanmak. 51, 57, 87, 91 tek ama bileşik sayılardır.
• 2'yi unutmak. 2 tek çift asaldır; asal bilinmeyenli denklemlerde çoğu zaman çözümün anahtarıdır.
• Asal olmayan çarpanla yazmak. 4 · 9 · 5 bir çarpanlara ayırmadır, ama asal çarpanlara ayırma değildir.
• Farklı asal çarpanları üsleriyle toplamak. 360'ın farklı asal çarpanları 2, 3, 5'tir; toplam 10'dur, 17 değil.
• Aralarında asalı "ikisi de asal" sanmak. 8 ve 15 asal değildir, ama aralarında asaldır.