Faktöriyel

10! = 3.628.800. Sonunda iki sıfır var. 100! ise 158 basamaklı bir sayıdır ve kimse onu elle hesaplamaz; ama sonunda kaç sıfır olduğunu otuz saniyede bulabilirsin: 24. Faktöriyel sorularında sayılar hızla büyür, bu yüzden sınav sonucu değil yapıyı sorar. Sadeleştirme, sondaki sıfırlar ve bir asal sayının faktöriyelin içinde kaç kez geçtiği bu yapının üç yüzüdür. Bu derste faktöriyeli hesaplamadan okumayı öğreneceğiz.

• n! tanımını ve 0! = 1 kuralını kullanır, n! = n · (n − 1)! bağıntısıyla kesirleri sadeleştirirsin.
• Faktöriyel içeren toplam ve farkları ortak çarpan parantezine alarak hesaplarsın.
• n! sayısının sonundaki sıfırların sayısını 5 çarpanlarını sayarak bulursun.
• Bir asalın ya da bileşik bir sayının n! içindeki en büyük kuvvetini belirlersin.

Tanım

n pozitif bir tam sayı olmak üzere 1'den n'ye kadar olan tam sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir:

n! = 1 · 2 · 3 · … · n

Ayrıca 0! = 1 olarak tanımlanır. Bu bir uzlaşmadır, ama keyfi değildir: n! = n · (n − 1)! bağıntısının n = 1 için de doğru kalması (1! = 1 · 0!) 0!'in 1 olmasını gerektirir. 0! = 0 kabul edilseydi 1! de 0 çıkardı ve bütün faktöriyeller sıfırlanırdı.

İlk değerleri bilmek hesap hızı kazandırır:

Tablodan iki gözlem çıkar. n ≥ 2 için n! çifttir, çünkü içinde 2 çarpanı vardır. n ≥ 5 için n! hem 2 hem 5 çarpanı taşır ve bu yüzden 10'a bölünür; birler basamağı 0'dır.

Sadeleştirme: n! = n · (n − 1)!

Faktöriyelin en çok kullanılan özelliği, her faktöriyelin bir öncekini içinde taşımasıdır:

n! = n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2)!

Bu yüzden iki faktöriyelin oranı, büyük olanı küçük olana kadar açarak hesaplanır: 10! / 8! = 10 · 9 · 8! / 8! = 90. Büyük sayıları hesaplamaya hiç gerek kalmaz. Aynı mantıkla (n + 1)! / n! = n + 1 ve (n + 2)! / n! = (n + 2)(n + 1) olur.

Bu bağıntı denklemlerde de işe yarar. (n + 2)! / n! = 30 ise (n + 2)(n + 1) = 30'dur. 30'u ardışık iki sayının çarpımı olarak yaz: 6 · 5. Buradan n + 2 = 6, n = 4 bulunur.

Toplam ve farkta ortak çarpan

Faktöriyeller toplanırken ya da çıkarılırken en küçük faktöriyeli ortak çarpan parantezine al:

• 7! + 6! = 7 · 6! + 6! = 6! · (7 + 1) = 8 · 6!
• 8! − 7! = 8 · 7! − 7! = 7! · (8 − 1) = 7 · 7!

(7! + 6!) / 5! gibi bir ifade de önce her terimi 5!'e göre yazarak sadeleşir: 7! / 5! = 42, 6! / 5! = 6, sonuç 48. Faktöriyelleri toplamak, faktöriyeli toplamların faktöriyeli yapmaz: 3! + 3! = 12'dir, 6! = 720 değil.

Sondaki sıfırlar

Bir sayının sonundaki her sıfır, o sayının içindeki bir 10 çarpanından gelir; 10 = 2 · 5'tir. n! içinde 2 çarpanları 5 çarpanlarından her zaman çok daha fazladır, bu yüzden sıfır sayısını 5 çarpanlarının sayısı belirler.

n! içindeki 5 çarpanlarını saymak için n'yi art arda 5'e böl ve tam bölümleri topla:

Sondaki sıfır sayısı = [n / 5] + [n / 25] + [n / 125] + … (köşeli parantez tam kısmı gösterir)

Neden 25'e de bölüyoruz? 25 = 5² sayısı iki tane 5 çarpanı taşır. [n / 5] her 5'in katını bir kez sayar; [n / 25] ise 25'in katlarındaki ikinci 5'i ekler. 125'in katları üçüncü bir 5 taşır ve böyle devam eder.

• 30! için [30 / 5] = 6, [30 / 25] = 1; toplam 7 sıfır.
• 100! için [100 / 5] = 20, [100 / 25] = 4; toplam 24 sıfır.

Pratik yol: n'yi 5'e böl, bölümü yeniden 5'e böl, bölüm 5'ten küçük olana kadar sürdür ve bütün bölümleri topla. 100 → 20 → 4; 20 + 4 = 24.

Soru tersten de gelebilir: "n! sayısının sonunda tam 6 sıfır varsa n en çok kaçtır?" 25! için 5 + 1 = 6 sıfır vardır; 26!, 27!, 28!, 29! yeni bir 5 çarpanı eklemez, 30! ise 7 sıfırlıdır. n en çok 29'dur. Sıfır sayısı her 5'in katında bir artar ve arada beş ardışık n aynı sonucu verir.

n! içindeki bir asalın kuvveti

Aynı sayma yöntemi her asal sayı için işler. 20! içinde 2'nin kaçıncı kuvveti vardır? 20'yi art arda 2'ye böl: 10, 5, 2, 1. Toplam 18; yani 20! = 2¹⁸ · m ve m tektir. 20! içinde 3'ün kuvveti: 20 / 3 → 6, 6 / 3 → 2; toplam 8.

Bileşik bir sayının en büyük kuvveti sorulduğunda onu önce asal çarpanlarına ayır. "20! sayısı 12ᵏ ile tam bölünüyorsa k en çok kaçtır?" 12 = 2² · 3'tür. 20! içindeki 2¹⁸, 2² çiftlerinden 9 tane verir; 3⁸ ise 8 tane 3 verir. Her 12 için bir 2² ve bir 3 gerektiğinden, az olan belirler: k = 8.

Kestirme bir hata, yalnızca bir asala bakıp ötekini unutmaktır: 12ᵏ örneğinde yalnızca 2'lere bakan 9 bulur, oysa sınırı 3'ler çizer. Her asal için ayrı sayı hesapla, küçüğünü al.

Birler basamağı ve kalan

5!'ten itibaren her faktöriyel 10'a bölündüğü için birler basamağı 0'dır. Bu yüzden 1! + 2! + … + 50! toplamının birler basamağını yalnızca ilk dört terim belirler: 1 + 2 + 6 + 24 = 33, birler basamağı 3'tür. Aynı düşünceyle bu toplamın 5'e bölümünden kalan da ilk dört terimden gelir: 33'ün 5'e bölümünden kalan 3'tür.

Soru kökleri

Faktöriyel soruları dört türde gelir: sadeleştirme ve işlem ("10! / 8! kaçtır?"), faktöriyelli denklem ("(n + 1)! / (n − 1)! = 42 ise n?"), sondaki sıfır sayısı ve en büyük kuvvet ("20! = 12ᵏ · m ise k en çok?"). İlk ikisinde büyük faktöriyeli küçüğe kadar aç, son ikisinde art arda bölme yöntemini kullan.

Örnek 1 — Oranı sadeleştirmek

Soru: 10! / 8! işleminin sonucu kaçtır?

• A) 2
• B) 10
• C) 80
• D) 90
• E) 100

Çözüm: 10! = 10 · 9 · 8! olarak yazılır; 8! sadeleşir ve 10 · 9 = 90 kalır. Faktöriyelleri sıradan sayılar gibi bölmek (10 / 8) bu işlemle ilgisiz bir sonuç verir. Cevap: D.

Örnek 2 — Ortak çarpana göre yazmak

Soru: (7! + 6!) / 5! işleminin sonucu kaçtır?

• A) 42
• B) 48
• C) 54
• D) 56
• E) 84

Çözüm: Her terimi 5!'e göre yaz: 7! = 7 · 6 · 5! ve 6! = 6 · 5!. Pay 5! · (42 + 6) = 48 · 5! olur; sonuç 48'dir. A, yalnızca 7! / 5!'i hesaplayıp ikinci terimi unutan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

Örnek 3 — Sondaki sıfırlar

Soru: 30! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

• A) 3
• B) 6
• C) 7
• D) 8
• E) 10

Çözüm: [30 / 5] = 6 ve [30 / 25] = 1'dir; toplam 7. B, 25'in taşıdığı ikinci 5 çarpanını atlayan öğrencinin cevabıdır. Cevap: C.

Örnek 4 — Bileşik sayının en büyük kuvveti

Soru: 20! sayısı 12ᵏ ile tam bölünüyorsa k en çok kaçtır?

• A) 6
• B) 8
• C) 9
• D) 10
• E) 18

Çözüm: 12 = 2² · 3'tür. 20! içinde 2'nin kuvveti 10 + 5 + 2 + 1 = 18, 3'ün kuvveti 6 + 2 = 8'dir. 2² çiftlerinden 9 tane, 3'lerden 8 tane vardır; az olan belirler ve k = 8 olur. C, yalnızca 2'lere bakan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

• 0! = 0 sanmak. 0! = 1'dir; n! = n · (n − 1)! bağıntısı n = 1 için de doğru kalmalıdır.
• Faktöriyelleri sıradan sayı gibi bölmek. 10! / 8! = 90'dır; 10 / 8 ile ilgisi yoktur.
• Toplamın faktöriyelini almak. 3! + 3! = 12'dir, 6! değildir; toplamda ortak çarpan parantezine al.
• Sıfır sayısında 25'i unutmak. 30!'de 6 değil 7 sıfır vardır; 25 iki 5 çarpanı taşır.
• Bileşik sayının kuvvetinde tek asala bakmak. 12ᵏ için hem 2² çiftlerini hem 3'leri say, küçüğünü al.
• Birler basamağında bütün terimleri toplamaya çalışmak. 5!'ten sonraki terimler birler basamağına 0 ekler.