Bölen sayısı ve bölenler toplamı

360'ın kaç pozitif böleni vardır? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 diye saymaya başlarsan, sona ulaşmadan bir iki tanesini atlama ihtimalin yüksektir. Oysa 360 = 2³ · 3² · 5 yazılışını gördüğün anda cevap bir çarpma işlemidir: 4 · 3 · 2 = 24. Asal çarpanlara ayırma dersinde bu biçimi bir sayının kimlik kartına benzetmiştik; bu derste o karttan bölen sayısını, bölenlerin toplamını, tek ve çift bölenleri ve belirli bir sayıya bölünen bölenleri okumayı öğreneceğiz.

• Asal çarpanlara ayrılmış biçimden pozitif, tam sayı, asal ve asal olmayan bölen sayısını hesaplarsın.
• Pozitif bölenlerin toplamını çarpanların toplamlarıyla bulursun.
• Tek ve çift bölen sayısını ve belirli bir sayının katı olan bölenlerin sayısını belirlersin.
• Bölen sayısı verilen bir sayının bilinmeyen üssünü bulur, bölen sayısı tek olan sayıların tam kare olduğunu kullanırsın.

Pozitif bölen sayısı

Bir sayının asal çarpanlara ayrılmış biçimi n = aˣ · bʸ · cᶻ ise n'nin pozitif bölen sayısı

(x + 1) · (y + 1) · (z + 1)

olur. Formülün arkasında basit bir seçim vardır. n'nin her pozitif böleni, aynı asalların daha küçük ya da eşit kuvvetlerinin çarpımıdır. 72 = 2³ · 3² için bir bölen kurarken 2'nin üssünü 0, 1, 2 ya da 3 seçebilirsin (4 seçenek), 3'ün üssünü 0, 1 ya da 2 seçebilirsin (3 seçenek). Her seçim çifti farklı bir bölen verir; toplam 4 · 3 = 12 bölen vardır. Formüldeki "+1", üssün 0 seçilebilmesinden, yani o asalın bölende hiç bulunmamasından gelir.

Bölenlerin kendisi de bu seçimlerden okunur: 2⁰ · 3⁰ = 1, 2¹ · 3⁰ = 2, …, 2³ · 3² = 72. Formülü kullanmadan önce sayının gerçekten asal çarpanlarına ayrıldığından emin ol. 72 = 8 · 9 yazıp (1 + 1)(1 + 1) = 4 demek yanlıştır, çünkü 8 ve 9 asal değildir.

Tam sayı, asal ve asal olmayan bölenler

Soru kökündeki tek bir sözcük cevabı değiştirir:

• Tam sayı bölen sayısı: her pozitif bölenin bir de negatifi vardır; sonuç pozitif bölen sayısının 2 katıdır. 30 = 2 · 3 · 5 sayısının 8 pozitif, 16 tam sayı böleni vardır.
• Asal bölen sayısı: yalnızca farklı asal çarpanların sayısıdır. 72'nin asal bölenleri 2 ve 3'tür; iki tane.
• Asal olmayan pozitif bölen sayısı: pozitif bölen sayısından asal bölen sayısı çıkarılır. 72 için 12 − 2 = 10. 1 asal olmadığı için bu sayının içinde kalır.

Pozitif bölenlerin toplamı

n = aˣ · bʸ ise pozitif bölenlerin toplamı

(1 + a + a² + … + aˣ) · (1 + b + b² + … + bʸ)

olur. Çarpım açıldığında, her parantezden bir terim seçilerek oluşan bütün çarpımlar, yani bütün bölenler bir kez ortaya çıkar. 12 = 2² · 3 için (1 + 2 + 4) · (1 + 3) = 7 · 4 = 28'dir; gerçekten 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. 36 = 2² · 3² için (1 + 2 + 4) · (1 + 3 + 9) = 7 · 13 = 91'dir.

Parantezleri yazarken her asalın 0. kuvvetinden, yani 1'den başlamayı unutma. (2 + 4) · (3) yazan öğrenci, 1'i içermeyen bölenleri de kaçırır.

Tek ve çift bölenler

Tek bir bölen 2 çarpanı içeremez. Bu yüzden tek bölen sayısını bulmak için 2'nin üssünü yok say ve kalan asallarla formülü uygula. Çift bölen sayısı ise toplamdan tek bölenleri çıkararak bulunur.

360 = 2³ · 3² · 5 için:

• Toplam pozitif bölen: 4 · 3 · 2 = 24.
• Tek bölen: 2'yi yok say, 3 · 2 = 6.
• Çift bölen: 24 − 6 = 18.

Çift bölenleri doğrudan da sayabilirsin: 2'nin üssü 0 olamaz, 1, 2 ya da 3 olmalıdır (3 seçenek); 3 · 3 · 2 = 18. İki yol aynı sonucu verir.

Belirli bir sayının katı olan bölenler

"72'nin pozitif bölenlerinden kaç tanesi 6'ya bölünür?" 6'ya bölünen her bölen 6 · k biçimindedir ve 6 · k, 72'yi bölüyorsa k da 72 / 6 = 12'yi böler. Tersine, 12'nin her böleni k için 6 · k, 72'nin bir bölenidir. Dolayısıyla aranan sayı 12'nin pozitif bölen sayısıdır: 12 = 2² · 3, (2 + 1)(1 + 1) = 6.

Genel kural: n'nin m'ye bölünen pozitif bölenlerinin sayısı, n / m sayısının pozitif bölen sayısına eşittir (m, n'yi bölmek koşuluyla). 60'ın 5'in katı olan bölenleri 60 / 5 = 12'nin bölenleri kadardır: 6 tane.

Bölen sayısından üsse

Sorular bölen sayısını verip bilinmeyen bir üssü de sorabilir. "2ⁿ · 3² sayısının 18 pozitif böleni vardır, n kaçtır?" (n + 1) · 3 = 18, n = 5. Üs birden çok yerde geçiyorsa önce sayıyı asal çarpanlarına ayır: 12ⁿ = 2²ⁿ · 3ⁿ olduğu için bölen sayısı (2n + 1)(n + 1)'dir. Bunun 28'e eşit olması için n = 3 gerekir (7 · 4 = 28).

Aynı düşünce "pozitif bölen sayısı 6 olan en küçük doğal sayı" sorusunda da işler. 6 = 6 ya da 6 = 3 · 2 olarak yazılır; ilki a⁵ biçimini (en küçüğü 2⁵ = 32), ikincisi a² · b biçimini (en küçüğü 2² · 3 = 12) verir. En küçük sayı 12'dir. Büyük üssü en küçük asala vermek sayıyı küçültür.

Bölen sayısı tek olan sayılar

Bölenler genellikle çiftler hâlinde gelir: 36'nın bölenleri 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9 ve 6 · 6'dır. Son çiftte iki bölen aynı sayıdır ve bir kez sayılır. Bu yüzden pozitif bölen sayısı tek olan sayılar tam karelerdir, tam kare olmayan sayıların bölen sayısı ise çifttir. Formül de aynı şeyi söyler: bütün üsler çiftse her (üs + 1) tektir ve çarpımları da tektir.

Soru kökleri

Bu konunun soruları kökteki sözcüğe göre ayrılır: "pozitif bölen", "tam sayı bölen", "asal bölen", "asal olmayan bölen", "tek bölen", "çift bölen", "… ile bölünebilen bölen" ve "bölenler toplamı". Her birinin cevabı aynı asal çarpan yazılışından çıkar; soruyu okurken ilk iş bu sözcüğün altını çizmektir.

Örnek 1 — Pozitif bölen sayısı

Soru: 72 sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?

• A) 6
• B) 8
• C) 10
• D) 12
• E) 24

Çözüm: 72 = 2³ · 3²'dir. Pozitif bölen sayısı (3 + 1)(2 + 1) = 12 olur. E, tam sayı bölen sayısıdır; A, üslere 1 eklemeyi unutup 3 · 2 yazan öğrencinin cevabıdır. Cevap: D.

Örnek 2 — Çift bölenler

Soru: 360 sayısının kaç tane çift pozitif böleni vardır?

• A) 6
• B) 12
• C) 18
• D) 20
• E) 24

Çözüm: 360 = 2³ · 3² · 5'tir; toplam pozitif bölen 4 · 3 · 2 = 24'tür. Tek bölenler 2'yi içermez: 3 · 2 = 6. Çift bölenler 24 − 6 = 18'dir. A, tek bölen sayısıdır. Cevap: C.

Örnek 3 — Bölenler toplamı

Soru: 36 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

• A) 55
• B) 81
• C) 91
• D) 120
• E) 130

Çözüm: 36 = 2² · 3²'dir. Bölenler toplamı (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9) = 7 · 13 = 91 olur. Kontrol: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 91. A, 36'yı toplama katmayı unutan öğrencinin cevabıdır. Cevap: C.

Örnek 4 — Bölen sayısından üsse

Soru: 2ⁿ · 3² sayısının 18 tane pozitif böleni olduğuna göre n kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 5
• E) 6

Çözüm: Pozitif bölen sayısı (n + 1)(2 + 1) = 3(n + 1)'dir. 3(n + 1) = 18 eşitliğinden n + 1 = 6 ve n = 5 bulunur. E, n + 1'i n sanan öğrencinin cevabıdır. Cevap: D.

• Asal olmayan çarpanlarla formül uygulamak. 72 = 8 · 9 yazıp 4 bölen bulmak yanlıştır; önce 2³ · 3²'ye ayır.
• Üslere 1 eklemeyi unutmak. 72 için 3 · 2 = 6 değil, 4 · 3 = 12 bölen vardır.
• "Tam sayı" sözcüğünü atlamak. Tam sayı bölen sayısı pozitif bölen sayısının iki katıdır.
• Asal olmayan bölenlerde 1'i dışarıda bırakmak. 1 asal değildir; pozitif bölen sayısından yalnızca asal bölenler çıkarılır.
• Bölenler toplamında 1'i unutmak. Her parantez 1 ile başlar: (1 + 2 + 4), (2 + 4) değil.
• Tek bölenlerde 2'yi saymak. Tek bölen 2 çarpanı içeremez; 2'nin üssünü yok say.