İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Oryantasyon ve Sıfırdan Başla · MAT-S-L03

Kesirlerle çalışma

TYT· 8 bölüm

1Kanca

Bir pizzanın 1/4'ünü sen, 2/3'ünü arkadaşın yedi. Geriye ne kaldı? Aceleyle bakan biri 1/4 ile 2/3'ün paylarını ve paydalarını ayrı ayrı toplayıp 3/7 bulabilir; ama bu sonuç yarım pizzadan bile azdır, oysa ikiniz pizzanın büyük bölümünü yediniz. Hatanın kaynağı, farklı büyüklükteki dilimleri aynı cinsten saymaktır: dörtte bir ile üçte bir aynı büyüklükte parçalar değildir. Kesirlerde işlem yapmanın bütün sırrı, parçaları önce aynı büyüklüğe getirmektir. Matematik akademisinin önkoşul zincirinde kesirler, denklemlerden problemlere kadar sonraki hemen her konunun taşıdığı bir halkadır; tanıda bu halkada takılan öğrencinin sonraki konularda da takılması beklenir. Bu derste kesrin ne anlattığını, dört işlemi, kesirleri sıralamayı ve bir sayının kesri kadarını bulmayı ele alıyoruz. Pizzanın sorusuna da dersin içinde döneceğiz.

2Hedefler

  • Kesri bir bütünün eş parçaları olarak yorumlar, denk kesirleri sadeleştirip genişletirsin.
  • Kesirlerde toplama ve çıkarmayı payda eşitleyerek, çarpma ve bölmeyi kurallarıyla yaparsın.
  • Kesirleri payda eşitleme ya da çapraz çarpma ile sıralarsın.
  • Bir sayının kesri kadarını ve kesri verilen bir sayının tamamını bulursun.

3Konu anlatımı

Kesir ne anlatır?

a/b kesrinde payda (b) bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü, pay (a) bu parçalardan kaçının alındığını gösterir. 3/8, sekiz eş parçaya bölünmüş bir bütünün üç parçasıdır. Paydanın 0 olamayacağını bir önceki derslerden biliyorsun: bir bütünü sıfır parçaya bölmek anlamsızdır.

Pay paydadan küçükse kesir 1'den küçüktür ve basit kesir adını alır: 3/8. Pay paydadan büyük ya da ona eşitse kesir 1'e eşit ya da 1'den büyüktür ve bileşik kesir adını alır: 7/3. Bileşik kesir tam sayılı kesir olarak da yazılabilir: 7/3 = 2 1/3, çünkü 7'nin içinde iki tane 3 ve 1 artık vardır. Tersine, 2 1/3 tam sayılı kesrini bileşik kesre çevirmek için tam kısmı paydayla çarpıp paya eklersin: (2 × 3 + 1)/3 = 7/3. İşlem yaparken tam sayılı kesirleri önce bileşik kesre çevirmek, hataları azaltır.

Denk kesirler: sadeleştirme ve genişletme

Bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıyla (0 hariç) çarpmak ya da bölmek, kesrin değerini değiştirmez. Genişletme pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmaktır: 2/3 = 4/6 = 8/12. Sadeleştirme pay ve paydayı ortak bir bölenle bölmektir: 20/28 ifadesinde ikisi de 4'e bölünür ve 5/7 elde edilir. Pay ile paydanın 1'den başka ortak böleni kalmayınca kesir en sade hâlindedir.

Sonuçları her zaman en sade hâlde yazmak iyi bir alışkanlıktır; sadeleştirilmemiş bir sonuç, seçenekler arasında ilk bakışta tanınmayabilir. Sadeleştirmeyi işlemin sonunda değil, mümkün olduğu kadar erken yapmak da hesabı kolaylaştırır.

Toplama ve çıkarma

Kesirleri toplayıp çıkarmak için paydaların eşit olması gerekir; çünkü ancak aynı büyüklükteki parçalar toplanabilir.

  • Paydalar eşitse paylar toplanır ya da çıkarılır, payda aynen kalır: 2/7 + 3/7 = 5/7.
  • Paydalar farklıysa önce ortak bir paydaya genişletilir. Ortak payda olarak paydaların ortak katlarının en küçüğü seçilirse sayılar küçük kalır. 1/4 + 2/3 işleminde 4 ile 3'ün en küçük ortak katı 12'dir: 3/12 + 8/12 = 11/12.

Kancadaki pizzaya dönelim: ikiniz toplam 11/12'sini yediniz. Geriye 1 − 11/12 = 1/12 kaldı. 3/7 cevabı, payları ve paydaları ayrı ayrı toplamaktan doğan bir hataydı; kesirlerde payda asla toplanmaz.

Çarpma

Kesirleri çarparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır: 2/3 × 5/7 = 10/21. Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapmak hesabı küçültür: 4/9 × 3/8 işleminde 4 ile 8'i 4'e, 3 ile 9'u 3'e bölersen 1/3 × 1/2 = 1/6 elde edersin. Bir tam sayıyla çarparken tam sayının paydasının 1 olduğunu düşün: 5 × 2/3 = 10/3.

"Bir sayının kesri" ifadesi çarpma demektir. 60'ın 2/5'i, 60 × 2/5 = 24'tür. Bu hesabı iki adımda düşünmek de yararlıdır: 60'ı beşe böl (12), sonra iki parçayı al (24).

Bölme

Bir kesre bölmek, o kesrin ters çevrilmişiyle çarpmaktır: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. 5/6 ÷ 10/9 işleminde ikinci kesir ters çevrilir: 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4. Ters çevirme yalnızca bölen kesre, yani işaretin sağındaki kesre uygulanır.

Bu kural, "kesri verilen bir sayının tamamını bulma" sorularının da temelidir. Bir sayının 3/5'i 18 ise sayı, 18 ÷ 3/5 = 18 × 5/3 = 30'dur. Aynı hesabı adım adım düşünmek de mümkündür: 3 parça 18 ise 1 parça 6'dır, 5 parçanın tamamı 30'dur.

Kesirleri sıralamak

İki kesri karşılaştırmanın birkaç yolu vardır.

  • Paydalar eşitse payı büyük olan büyüktür: 5/9 > 4/9.
  • Paylar eşitse paydası küçük olan büyüktür: 3/5 > 3/7, çünkü beşe bölünmüş bir bütünün parçaları, yediye bölünmüş olanınkinden büyüktür.
  • İkisi de farklıysa payda eşitle ya da çapraz çarp. 4/7 ile 3/5 karşılaştırılırken 4 × 5 = 20 ile 3 × 7 = 21 bulunur; 21 daha büyük olduğu için 3/5 daha büyüktür.

Kesirleri 1/2 gibi tanıdık bir değerle kıyaslamak da hızlı bir yoldur: 5/11 yarımdan küçük, 6/11 yarımdan büyüktür.

Kesir ve ondalık gösterim

Bazı kesirlerin ondalık karşılıklarını bilmek hesabı hızlandırır: 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25; 3/4 = 0,75; 1/5 = 0,2; 1/10 = 0,1. Bir kesri ondalığa çevirmek için payı paydaya bölersin: 3/8 = 0,375. Ondalık gösterim özellikle kesirleri sıralarken işe yarar, ama her kesir sonlu bir ondalık vermez: 1/3 = 0,333… biçiminde sürer. Bu tür kesirlerle işlem yaparken kesir biçiminde kalmak daha güvenlidir. Devirli ondalıklar ve rasyonel sayılar, önkoşul zincirinde kesirlerin hemen ardından gelen halkadır.

Kalan üzerinden kesir

Problemlerde sık görülen bir kurgu, bir kesrin bütüne değil, kalan kısma uygulanmasıdır. "Parasının 1/5'ini harcadı, kalanın 1/2'sini de biriktirdi" cümlesinde ikinci kesir bütüne değil, kalan 4/5'e uygulanır: 4/5 × 1/2 = 2/5. Bu ayrıntıyı gözden kaçırmak sonucu tamamen değiştirir. Problemler modülünde bu kurguyla ayrıntılı çalışacaksın; şimdilik "kalanın" sözcüğünü gördüğünde kesrin neye uygulandığını sormayı alışkanlık hâline getir.

Soru kökleri

Bu dersin soruları kesirli ifadelerin değerini hesaplamayı, kesirleri sadeleştirip sıralamayı, bir sayının kesri kadarını ya da kesri verilen bir sayının tamamını bulmayı ister. Her soruda önce işlemin türünü belirle: toplama ve çıkarmada payda eşitle, çarpmada sadeleştirerek çarp, bölmede ters çevir.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Payda eşitleme

Soru: 1/4 ile 2/3'ün toplamı kaçtır?

  • A) 3/7
  • B) 11/12
  • C) 3/12
  • D) 2/12
  • E) 9/12

Çözüm: Ortak payda 12'dir: 3/12 + 8/12 = 11/12. 3/7, payları ve paydaları ayrı ayrı toplamaktan doğan yanlış cevaptır. Cevap: B.

Örnek 2 — Bölme

Soru: 5/6 ÷ 10/9 işleminin sonucu kaçtır?

  • A) 3/4
  • B) 50/54
  • C) 4/3
  • D) 25/27
  • E) 1/2

Çözüm: İkinci kesir ters çevrilir: 5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4. Cevap: A.

Örnek 3 — Sıralama

Soru: 4/7 ile 3/5 karşılaştırıldığında hangisi doğrudur?

  • A) 4/7 > 3/5
  • B) İkisi eşittir.
  • C) Karşılaştırılamazlar.
  • D) 3/5 > 4/7
  • E) 4/7 = 5/3

Çözüm: Çapraz çarpma: 4 × 5 = 20, 3 × 7 = 21. 21 büyük olduğu için 3/5 daha büyüktür. Cevap: D.

Örnek 4 — Bir sayının kesri

Soru: 48'in 5/12'si kaçtır?

  • A) 12
  • B) 24
  • C) 20
  • D) 30
  • E) 40

Çözüm: 48 ÷ 12 = 4; 4 × 5 = 20. Cevap: C.

5Tuzaklar

  • Paydaları toplamak. Toplama ve çıkarmada payda eşitlenir, toplanmaz.
  • Bölmede ilk kesri ters çevirmek. Yalnızca bölen, yani sağdaki kesir ters çevrilir.
  • Sonucu sadeleştirmemek. Sadeleştirilmemiş sonuç seçeneklerde tanınmayabilir.
  • Payları eşit kesirlerde paydası büyük olanı büyük sanmak. 3/5 > 3/7.
  • "Kalanın" kesrini bütüne uygulamak. Kesir kalan kısma uygulanır.
  • Tam sayılı kesirle doğrudan işlem yapmak. Önce bileşik kesre çevir.

6Tekrar kartı

  • Payda eş parça sayısı, pay alınan parça sayısıdır.
  • Toplama-çıkarma: payda eşitle; paydalar toplanmaz.
  • Çarpma: pay pay ile, payda payda ile; önce çapraz sadeleştir. "Bir sayının kesri" çarpmadır.
  • Bölme: sağdaki kesri ters çevir ve çarp; kesri verilen sayının tamamı bölmeyle bulunur.
  • Sıralama: payda eşitle ya da çapraz çarp; "kalanın" kesri kalana uygulanır.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    2/5 + 1/5 işleminin sonucu kaçtır?

    1. A)3/5
    2. B)3/10
    3. C)2/25
    4. D)1/5
    5. E)3/25
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Paydalar eşittir; paylar toplanır: 3/5.

  2. Soru 2 · Kolay

    3/4 − 1/2 ifadesinin değeri kaçtır?

    1. A)2
    2. B)1/4
    3. C)1/2
    4. D)4/6
    5. E)3/8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 1/2 = 2/4; 3/4 − 2/4 = 1/4.

  3. Soru 3 · Kolay

    2/3 × 3/8 işleminin sonucu kaçtır?

    1. A)5/11
    2. B)6/11
    3. C)1/4
    4. D)16/9
    5. E)3/4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 6/24 = 1/4; çapraz sadeleştirmeyle de aynı sonuç çıkar.

  4. Soru 4 · Kolay

    18/24 kesrinin en sade hâli hangisidir?

    1. A)9/13
    2. B)2/3
    3. C)5/6
    4. D)3/4
    5. E)4/5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Pay ve payda 6'ya bölünür.

  5. Soru 5 · Orta

    3/5 ÷ 9/10 işleminin sonucu kaçtır?

    1. A)27/50
    2. B)3/2
    3. C)9/10
    4. D)1/3
    5. E)2/3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 3/5 × 10/9 = 30/45 = 2/3.

  6. Soru 6 · Orta

    5/6 + 3/4 toplamı kaçtır?

    1. A)19/12
    2. B)8/10
    3. C)8/24
    4. D)15/24
    5. E)1
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Ortak payda 12: 10/12 + 9/12 = 19/12.

  7. Soru 7 · Orta

    2 1/3 tam sayılı kesrinin bileşik kesir hâli hangisidir?

    1. A)5/3
    2. B)7/3
    3. C)6/3
    4. D)3/7
    5. E)2/3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. (2 × 3 + 1)/3 = 7/3.

  8. Soru 8 · Orta

    3/5, 5/8 ve 2/3 kesirlerinden en büyüğü hangisidir?

    1. A)3/5
    2. B)5/8
    3. C)2/3
    4. D)Üçü eşittir.
    5. E)Belirlenemez.
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Ortak payda 120 ile 72/120, 75/120 ve 80/120 elde edilir.

  9. Soru 9 · Orta

    60'ın 3/4'ü kaçtır?

    1. A)15
    2. B)80
    3. C)40
    4. D)45
    5. E)20
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 60 ÷ 4 = 15; 15 × 3 = 45.

  10. Soru 10 · Orta

    (1/2 + 1/3) × 6 işleminin sonucu kaçtır?

    1. A)1
    2. B)6
    3. C)2
    4. D)3
    5. E)5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Parantez 5/6; 5/6 × 6 = 5.

  11. Soru 11 · Orta

    Bir sayının 2/7'si 12 ise sayı kaçtır?

    1. A)42
    2. B)24
    3. C)36
    4. D)84
    5. E)21
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 12 ÷ 2/7 = 12 × 7/2 = 42.

  12. Soru 12 · Zor

    Bir öğrenci harçlığının 1/4'ünü kitaba, kalanın 1/3'ünü yemeğe harcamıştır. Harçlığının kaçta kaçı kalmıştır?

    1. A)1/3
    2. B)1/2
    3. C)5/12
    4. D)7/12
    5. E)2/3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Kitaptan sonra dörtte üç kalır; yemeğe bunun üçte biri, yani bütünün dörtte biri gider; geriye bütünün yarısı kalır.

  13. Soru 13 · Zor

    (2/3 − 1/4) ÷ 5/6 işleminin sonucu kaçtır?

    1. A)5/12
    2. B)25/72
    3. C)1/2
    4. D)2
    5. E)6/5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Parantez 5/12; 5/12 × 6/5 = 1/2.

  14. Soru 14 · Zor

    a/b = 3/4 ve a + b = 28 ise a kaçtır?

    1. A)7
    2. B)16
    3. C)21
    4. D)12
    5. E)9
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. a ile b 3 ve 4 parçadır; 7 parça 28 ise 1 parça 4'tür; a = 12.

  15. Soru 15 · Zor

    1 + 1/(1 + 1/2) ifadesinin değeri kaçtır?

    1. A)3/2
    2. B)5/2
    3. C)2
    4. D)4/3
    5. E)5/3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 1 + 1/2 = 3/2; 1 ÷ 3/2 = 2/3; 1 + 2/3 = 5/3.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Zihinden hızlı işlem» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    7/8 − 1/4 işleminin sonucu kaçtır?

    1. A)6/4
    2. B)5/8
    3. C)3/4
    4. D)1/2
    5. E)1/8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 1/4 = 2/8; 7/8 − 2/8 = 5/8.

  2. Soru 2 · Orta

    4/9 × 3/2 ÷ 2/3 ifadesi neye eşittir?

    1. A)4/9
    2. B)2/3
    3. C)4/3
    4. D)1
    5. E)9/4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Soldan sağa: 4/9 × 3/2 = 2/3; 2/3 ÷ 2/3 = 1.

  3. Soru 3 · Zor

    72'nin 5/6'sının 1/4'ü kaçtır?

    1. A)15
    2. B)60
    3. C)18
    4. D)45
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 72 × 5/6 = 60; 60 × 1/4 = 15.

  4. Soru 4 · Zor

    5/7, 7/10 ve 3/4 kesirlerinin küçükten büyüğe sıralanışı hangisidir?

    1. A)5/7 < 7/10 < 3/4
    2. B)3/4 < 5/7 < 7/10
    3. C)7/10 < 3/4 < 5/7
    4. D)5/7 < 3/4 < 7/10
    5. E)7/10 < 5/7 < 3/4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Ortak payda 140 ile 100/140, 98/140 ve 105/140 elde edilir.

  5. Soru 5 · Zor

    Bir depo 3/8'i doluyken içine 30 litre su eklenince 5/8'i doluyor. Deponun tamamı kaç litredir?

    1. A)80
    2. B)240
    3. C)120
    4. D)90
    5. E)150
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 30 litre deponun 2/8'i, yani 1/4'üdür; tamamı 120 litredir.

O · S — Oryantasyon ve Sıfırdan Başla

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.