Negatif sayılarla işlemler

Kışın bir sabah termometre −6 °C'yi gösteriyor; öğlene kadar hava 10 derece ısınıyor. Öğle sıcaklığı kaçtır? Çoğu öğrenci bu soruyu zihninde bir termometre çizerek hemen çözer: 4 °C. Ama aynı soru "−6 + 10" diye yazıldığında bazı öğrenciler duraksar, "−(−6)" gibi bir ifadede ise işaretler birbirine karışır. Negatif sayılar gündelik hayatta sezgiyle kullandığımız, ama kâğıt üzerinde hata yapmaya en açık olduğumuz sayılardır. Bir önceki derste işlem önceliğini gördük. Bu derste o kurallara işaretleri ekliyoruz: sayı doğrusunda negatif sayıların yeri, toplama ve çıkarmada işaretin davranışı, çarpma ve bölmedeki işaret kuralı ve üslü ifadelerde parantezin nasıl her şeyi değiştirdiği. Tanıda işaret kaybı yaşayan her öğrenci için bu ders, akademinin en çok geri dönülecek derslerinden biridir.

• Negatif sayıları sayı doğrusuna yerleştirip büyüklüklerini karşılaştırırsın.
• İşaretli sayılarla toplama ve çıkarmayı sayı doğrusu mantığıyla yaparsın.
• Çarpma ve bölmede işaret kuralını uygularsın.
• Üslü ifadelerde (−a)² ile −a² arasındaki farkı ayırt eder, parantez önündeki eksiyi doğru dağıtırsın.

Sayı doğrusu

Sayı doğrusunda 0'ın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. Sağa gittikçe sayılar büyür, sola gittikçe küçülür. Bu yüzden negatif sayılarda sezgi ters çalışır: −3, −8'den büyüktür, çünkü sayı doğrusunda daha sağdadır. "Büyüklük" ile "sıfıra uzaklık" farklı şeylerdir: −8, 0'a −3'ten daha uzaktır, ama daha küçüktür. Bir sayının 0'a uzaklığına mutlak değer denir; ilerideki bir modülde ayrıntısıyla göreceksin.

Termometre, borç ve alacak, deniz seviyesinin altı ve üstü, negatif sayıları sezgiyle kavramanın iyi modelleridir. Bir işlemde işaretler karıştığında bu modellerden birine dön: "−6 derecede 10 derece ısınırsa kaç olur?" sorusu, "−6 + 10" ifadesini anlamlı kılar.

Toplama

İşaretli sayıları toplarken iki durum vardır.

• İşaretler aynıysa, sayılar toplanır ve ortak işaret korunur: (−4) + (−7) = −11. Borca borç eklenmiştir.
• İşaretler farklıysa, büyük olandan küçük olan çıkarılır (işaretlerine bakmadan) ve mutlak değeri büyük olanın işareti verilir: −9 + 5 = −4, çünkü 9 − 5 = 4 ve 9 daha büyük olduğu için işaret eksidir. 12 + (−5) = 7, çünkü 12 büyüktür.

Sayı doğrusunda toplama, pozitif sayı eklerken sağa, negatif sayı eklerken sola gitmektir. −9 + 5 işleminde −9'dan başlayıp 5 adım sağa gidilir ve −4'e varılır.

Çıkarma

Çıkarma, çıkarılan sayının ters işaretlisini toplamaktır: a − b = a + (−b). Bu kural bütün çıkarma işlemlerini toplamaya çevirir.

• 3 − 8 = 3 + (−8) = −5.
• 5 − (−9) = 5 + 9 = 14. Negatif bir sayıyı çıkarmak, pozitifini eklemektir.
• −6 − 4 = −6 + (−4) = −10.

"Eksi eksi artı eder" sözü doğrudur, ama yalnızca yan yana gelen iki eksi işareti için geçerlidir: 5 − (−9) ifadesinde çıkarma işareti ile negatif sayının işareti yan yana gelmiştir. −6 − 4 ifadesinde yan yana iki eksi yoktur; burada iki negatif değer toplanır.

Çarpma ve bölme

Çarpma ve bölmede işaret kuralı sadedir:

Aynı işaretliler pozitif, farklı işaretliler negatif sonuç verir: (−6) × (−4) = 24, (−20) ÷ 5 = −4. Birden çok çarpan varsa negatif çarpanları say: sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir. (−1) × (−2) × (−3) işleminde üç negatif çarpan vardır ve sonuç −6'dır.

İşaret kuralı işlem önceliğini değiştirmez; önce işlem önceliğine göre sırayı belirle, sonra her adımda işareti uygula. (−5) × 4 ÷ (−2) işleminde soldan sağa: (−5) × 4 = −20, (−20) ÷ (−2) = 10.

Üs ve işaret

Negatif sayıların üslerinde parantez her şeyi belirler.

• (−3)² ifadesinde üs parantezin tamamına aittir: (−3) × (−3) = 9.
• −3² ifadesinde üs yalnızca 3'e aittir, eksi sonradan uygulanır: −(3 × 3) = −9.

Bu fark, bir önceki dersteki işlem önceliğinin bir sonucudur: üs, önündeki eksiden önce hesaplanır. Negatif tabanın tek ve çift üsleri de farklı davranır: (−2)² = 4, (−2)³ = −8. Genel olarak negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Bu yüzden (−1)'in kuvvetleri 1 ve −1 arasında gidip gelir: (−1)⁴ = 1, (−1)⁵ = −1.

Parantez önündeki eksi

Bir parantezin önünde eksi varsa, parantezi kaldırırken içindeki her terimin işareti değişir: −(3 − 8) = −3 + 8 = 5. Bu, parantezi −1 ile çarpmakla aynıdır. En sık yapılan hata, eksinin yalnızca ilk terime uygulanıp ikincinin unutulmasıdır: −(3 − 8) ifadesini −3 − 8 = −11 diye açmak yanlıştır. Önce parantezin içini hesaplamak da güvenli bir yoldur: 3 − 8 = −5, −(−5) = 5.

Kesirlerde işaret

Bir kesrin işareti üç yerden birinde durabilir: payda, paydada ya da kesrin önünde. Üçü aynı değeri gösterir: −12/4, 12/(−4) ve −(12/4) ifadelerinin hepsi −3'tür. Pay ve payda birlikte negatifse kesir pozitiftir: (−12)/(−4) = 3. Bu kural bölmedeki işaret kuralının kesir biçiminde yazılmış hâlidir. Kesirli ifadelerde işareti kesrin önüne toplamak, hesabı sadeleştirir ve işaret kaybını önler.

Modelle kontrol etmek

İşaretli bir işlemin sonucundan emin olamadığında onu bir modelle sına. Borç ve alacak modeli çıkarmayı sezgisel kılar: "5 lira param var, 9 liralık bir borcum silindi" durumunda param 14 lira gibi değer kazanır; 5 − (−9) = 14. Deniz seviyesi modeli sıralamayı kolaylaştırır: 30 metre derinlikteki bir balık, 10 metre derinliktekinden daha aşağıdadır; −30 < −10. Model, kuralı ezbere uygulamak yerine sonucun mantıklı olup olmadığını görmeni sağlar.

İşaret hatalarını önlemek

İşaret hataları, işlem hatalarının önemli bir bölümünü oluşturur ve birkaç alışkanlıkla azaltılabilir. Negatif sayıları her zaman parantez içinde yaz: 5 − (−9) biçimi, 5 − −9 biçiminden çok daha az karışıklık yaratır. Uzun bir çarpımda önce yalnızca işareti belirle, negatif çarpanları say ve sonucun işaretini bir kenara yaz; sonra sayıların mutlak değerleriyle çarp. Bir ifadeyi açarken parantez önündeki eksinin her terime ulaştığını tek tek kontrol et. Son olarak sonucun işaretini bir kez daha sorgula: sonuç pozitif mi olmalı, negatif mi?

Soru kökleri

Bu dersin soruları işaretli sayılarla bir ifadenin değerini hesaplamayı, negatif sayıları sıralamayı, üslü ifadelerde parantezin etkisini görmeyi ya da termometre, borç ve deniz seviyesi gibi durumları işleme çevirmeyi ister.

Örnek 1 — Karışık toplama ve çıkarma

Soru: −7 + 12 − 9 işleminin sonucu kaçtır?

• A) −4
• B) 4
• C) −28
• D) 14
• E) −2

Çözüm: Soldan sağa: −7 + 12 = 5; 5 − 9 = −4. Cevap: A.

Örnek 2 — Çarpma ve bölmede işaret

Soru: (−5) × 4 ÷ (−2) ifadesi hangi sayıya eşittir?

• A) −10
• B) 40
• C) −40
• D) 10
• E) 2,5

Çözüm: Soldan sağa: (−5) × 4 = −20; (−20) ÷ (−2) = 10. İki negatif çarpan olduğu için sonuç pozitiftir. Cevap: D.

Örnek 3 — Üs ve parantez

Soru: (−5)² ve −5² ifadelerinin değerleri sırasıyla hangisidir?

• A) −25 ve 25
• B) 25 ve 25
• C) 25 ve −25
• D) −25 ve −25
• E) 10 ve −10

Çözüm: (−5)² = (−5) × (−5) = 25; −5² = −(5 × 5) = −25. Cevap: C.

Örnek 4 — Parantez önünde eksi

Soru: −(3 − 8) × 2 işleminin sonucu kaçtır?

• A) −22
• B) 10
• C) −10
• D) 22
• E) 5

Çözüm: Parantez içi: 3 − 8 = −5; −(−5) = 5; 5 × 2 = 10. Cevap: B.

• Negatif sayılarda büyüklüğü uzaklıkla karıştırmak. −3, −8'den büyüktür.
• Çıkarmayı toplamaya çevirmeyi unutmak. a − b = a + (−b).
• "Eksi eksi artı"yı her yerde uygulamak. Yalnızca yan yana iki eksi için geçerlidir.
• (−3)² ile −3²'yi karıştırmak. İlki 9, ikincisi −9'dur.
• Parantez önündeki eksiyi yalnızca ilk terime uygulamak. Her terimin işareti değişir.
• Birden çok çarpanda negatifleri saymamak. Tek sayıda negatif çarpan sonucu negatif yapar.