İntegral ile alan hesabı

Gülsüm deneme sınavından sonra bir soruyu defterine geri yazıyor: «y = sin x eğrisinin [0, 2π] aralığında x ekseniyle sınırladığı bölgenin alanı kaçtır?» Sınavda hızlıca ilkeli yazmış, [−cos x] ifadesini iki uçta hesaplamış ve −1 − (−1) = 0 bulmuştu. Şıklarda 0 olduğu için işaretleyip geçmişti. Evde grafiği çizince durdu: kâğıtta iki tane belirgin tümsek var, biri eksenin üstünde, öteki altında. İki tümseğin kapladığı yer nasıl sıfır olabilir? Cevap anahtarında 4 yazıyordu. Gülsüm'ün hesabında hata yoktu; sorulan şeyle hesapladığı sayı birbirinden farklıydı. Bu ders o farkı kapatıyor.

• Eğrinin x eksenini kestiği noktaları bulup alanın sınırlarını ve işaret aralıklarını belirlersin.
• Eksenin üstünde ve altında kalan parçaların alanlarını ayrı ayrı hesaplayıp toplarsın.
• Grafikte verilen alanlardan belirli integral değerini, verilen bir alandan bilinmeyen parametreyi bulursun.
• Bir bölgenin alanını y'ye göre integralle hesaplar, doğrusal fonksiyonda sonucu üçgen ve yamuk alanıyla sağlarsın.

İşaretli alandan gerçek alana

«Belirli integral» dersinin son bölümünde, işaretli alan uyarısında, x² − 4 fonksiyonunun [0, 2] aralığındaki integralinin −16/3 çıktığını görmüştük. Riemann toplamında dikdörtgen boyu olarak f(x) kullanıldığından eksenin altındaki her şerit eksi katkı verir. Alan ise bir uzunluk çarpımıdır ve negatif olamaz. Bu ders, işaretli alanı gerçek alana çevirmenin kurallarını kuruyor. Alanı yine ince dikey şeritlerin toplamı olarak düşünelim; tek fark, her şeridin boyunu f(x) yerine |f(x)| ile ölçmektir. Bu yüzden alan, |f(x)|'in integralidir. Yapılacak iş, mutlak değeri nerede açacağımızı bilmektir.

Eğri eksenin üstünde kaldığında

y = 4 − x² parabolüne bakalım. Tepe noktası (0, 4)'tedir ve eğri x eksenini 4 − x² = 0 denkleminin kökleri olan x = −2 ile x = 2'de keser. Bu iki kök arasında fonksiyon pozitiftir; parabolün altında, eksenin üstünde kubbe biçimli kapalı bir bölge oluşur. Bu aralıkta mutlak değer işareti hiçbir şeyi değiştirmez; alan doğrudan integraldir: −2'den 2'ye ∫ (4 − x²) dx = [4x − x³/3] farkı = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.

Dikkat edilecek nokta, soruda hiçbir sınır yazılmamış olmasıdır. «Parabol ile x ekseni arasındaki bölge» denince bölgeyi kapatan noktalar eğrinin eksene değdiği yerlerdir; integralin sınırları kökten çıkar. Sınırı sorudan arayan öğrenci ya hiç sınır bulamaz ya da tahminle −4'ten 4'e gibi bir aralık uydurur.

Eğri eksenin altında kaldığında

y = x² − 2x parabolü x = 0 ile x = 2'de ekseni keser ve bu iki kök arasında negatif değer alır. Örneğin x = 1'de y = −1'dir. İntegral 0'dan 2'ye [x³/3 − x²] farkıyla 8/3 − 4 = −4/3 verir. Bölge eksenin altında olduğundan |f(x)| = −f(x) olur ve alan bu sayının tersidir: 4/3. Eksenin altındaki parça için iki yazım da kullanılır: alan = −∫ f(x) dx ya da alan = |∫ f(x) dx|. İkincisi yalnız tek işaretli bir parça için geçerlidir; birazdan nedenini göreceğiz.

Eksenin iki yanına geçen eğri

Kancadaki soruya dönelim. sin x, 0 ile π arasında pozitif, π ile 2π arasında negatiftir. Bütün aralıkta tek integral alındığında üstteki tümseğin +2'si ile alttakinin −2'si birbirini götürür ve 0 kalır. Alan sorulduğunda aralığı kökten, yani x = π'den ikiye ayırmak gerekir: 0'dan π'ye integral 2, π'den 2π'ye integral −2'dir. Her parçanın mutlak değeri alınıp toplanınca alan 2 + 2 = 4 olur.

Daha az simetrik bir örnek: y = x² − 1 eğrisi ile x ekseni, x = 0, x = 2 doğruları arasındaki bölge. Eğri ekseni x = 1'de keser. 0'dan 1'e integral 1/3 − 1 = −2/3, 1'den 2'ye integral 4/3'tür. Tek parça hâlinde 0'dan 2'ye integral 2/3 çıkar; alan ise 2/3 + 4/3 = 2'dir. İki sayı farklıdır, çünkü tek integral alttaki parçayı çıkarmış, alan ise eklemiştir. Bütün aralığın integralini alıp sonra mutlak değerini yazmak bu yüzden yanlıştır: |2/3| yine 2/3'tür ve 2'yi vermez. Bölme işlemi «Belirli integralin özellikleri» dersindeki toplama kuralının ta kendisidir; yalnız bu kez ayrım noktası olarak kökü seçiyoruz.

Kökler ve sınırlar: dört adım

Eğri, x ekseni ve x = a, x = b doğrularıyla sınırlanan bir bölgenin alanı şu sırayla bulunur:

• Önce f(x) = 0 denklemini çöz ve (a, b) aralığına düşen kökleri ayır.
• Sonra a, b ve bu köklerle aralığı parçalara böl.
• Her parçada fonksiyonun işaretini bir deneme noktasıyla belirle ya da o parçanın integralini hesapla.
• En sonda parçaların integrallerinin mutlak değerlerini topla.

y = x² − 2x eğrisini bu kez −1 ≤ x ≤ 3 aralığında ele alalım. Kökler 0 ve 2, ikisi de aralığın içinde. −1'den 0'a parçanın integrali 4/3, 0'dan 2'ye −4/3, 2'den 3'e yine 4/3 olur. Alan 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4; tek integral ise 4/3'tür. Sınırlar yalnız eğrinin kendi kökleriyle verilmişse ilk adımda bulunan kökler doğrudan sınır olur, ara kök yoksa tek parça yeter.

Simetri işi kısaltabilir. y = x³ − x tek fonksiyondur; kökleri −1, 0 ve 1'dir. −1'den 1'e integral 0'dır; bu, özellikler dersindeki tek fonksiyon kuralıdır. Alan ise iki eş parçanın toplamıdır: 0'dan 1'e integral −1/4 olduğundan alan 2 · 1/4 = 1/2 olur.

Doğrusal fonksiyonda geometriyle sağlama

Eğri bir doğruysa bölgeler üçgen ve yamuktur; integralin verdiği sonucu temel geometri formülleriyle kontrol etmek mümkündür. y = x + 1 için 1'den 3'e bölge, paralel kenarları 2 ve 4, yüksekliği 2 olan bir yamuktur: (2 + 4)/2 · 2 = 6. İntegral de [x²/2 + x] farkıyla 7,5 − 1,5 = 6 verir.

y = 2x − 2 doğrusu 0 ile 3 arasında ekseni x = 1'de keser. Solda tabanı 1, yüksekliği 2 olan bir üçgen eksenin altında kalır (alanı 1); sağda tabanı 2, yüksekliği 4 olan üçgen üstte kalır (alanı 4). Alan 5'tir. 0'dan 3'e integral ise 4 − 1 = 3'tür. Üçgenler bu farkı gözle görülür kılar: integral alttaki üçgeni çıkarmış, alan eklemiştir.

Grafikten alan okumak

Sınavda fonksiyonun kuralı verilmeden yalnız grafik ve bölgelerin alanları da verilebilir. Diyelim ki bir f eğrisi x ekseniyle soldan sağa üç bölge oluşturuyor: alanları 5, 3 ve 2; ortadaki bölge eksenin altında, ötekiler üstünde. Bu durumda en soldan en sağa integral 5 − 3 + 2 = 4, eğri ile eksen arasındaki toplam alan ise 5 + 3 + 2 = 10'dur. Kural basittir: integral istendiğinde altta kalan bölgelerin alanı eksiyle, alan istendiğinde hepsi artıyla yazılır. Ters yönde de çalışır: integral ve toplam alan verilmişse, bu iki denklem üstteki ve alttaki alanları ayrı ayrı bulmaya yeter.

Alanı verilen bölgeden parametre bulmak

y = a − x² (a > 0) parabolünün x ekseniyle kapattığı alan 36 olsun. Kökler ±√a'dır ve alan −√a'dan √a'ya ∫ (a − x²) dx = (4/3) · a√a olarak hesaplanır. a = 4 koyunca (4/3) · 8 = 32/3 çıkar; bu, yukarıdaki kubbeyle aynı sayıdır ve formülü sınar. Şimdi (4/3) · a√a = 36 denklemi a√a = 27 verir, buradan a = 9 bulunur. Parametreli sorularda önce kökleri parametre cinsinden yazmak, sonra alanı onunla ifade etmek gerekir; sınırı sabit sanıp 0'dan 1'e gibi rastgele bir aralık almak bütün hesabı boşa çıkarır.

y eksenine göre alan

Bazı bölgeler soldan sağa değil aşağıdan yukarıya daha kolay taranır. y = √x eğrisi, y ekseni ve y = 2 doğrusu arasındaki bölgeyi düşünelim. Eğriyi x = y² biçiminde yazınca bölgenin her yatay şeridinin uzunluğu y² olur ve alan 0'dan 2'ye ∫ y² dy = 8/3 çıkar. Aynı sonucu x'e göre de bulabiliriz: kenarları 4 ve 2 olan dikdörtgenin alanı 8, eğrinin altında kalan parça ise √x'in 0 ile 4 arasındaki integrali olan 16/3; fark 8 − 16/3 = 8/3. y'ye göre integral tek adımda sonuca vardı. Kural x ekseni için kurduğumuzun aynısıdır: x = g(y) eğrisi y ekseninin solunda kalıyorsa, yani g(y) negatifse, o parçanın integrali eksi çıkar ve mutlak değeri alınır.

Sırada ne var?

Bu dersteki her bölgenin bir kenarı x ekseniydi, yani y = 0 doğrusu. Sonraki derste o kenarın yerini ikinci bir eğri alıyor: bölge iki grafiğin arasına sıkıştığında sınırlar eksen kesişimlerinden değil eğrilerin birbirini kestiği noktalardan gelecek, her parçada hangi eğrinin yukarıda kaldığını belirlemek de hesabın parçası olacak.

Örnek 1 — Eksenin altındaki bölge

Soru: y = x² − 3x eğrisinin iki kökü arasında, eğriyle x ekseninin kapattığı bölgenin alanı kaçtır?

• A) S = −9/2 br²
• B) S = 9 br²
• C) S = 9/2 br²
• D) S = 27/2 br²
• E) S = 3/2 br²

Çözüm: Kökler x² − 3x = 0'dan 0 ve 3'tür; aralarında fonksiyon negatiftir (x = 1'de −2). 0'dan 3'e integral [x³/3 − 3x²/2] farkıyla 9 − 27/2 = −9/2 olur. Alan negatif olamayacağından 9/2'dir. İntegrali olduğu gibi yazan A'yı, yalnız x³/3 teriminin değerini alan B'yi seçer. Cevap: C.

Örnek 2 — Aralığın içinde bir kök

Soru: y = x² − 4 eğrisi, x ekseni, x = 0, x = 3 doğruları arasında kalan bölgelerin toplam alanı kaçtır?

• A) S = 3 br²
• B) S = 16/3 br²
• C) S = −3 br²
• D) S = 7/3 br²
• E) S = 23/3 br²

Çözüm: Kök x = 2 aralığın içindedir. [0, 2] parçasında integral −16/3 çıkar; 2'den 3'e integral (9 − 12) − (8/3 − 8) = 7/3'tür. Alan 16/3 + 7/3 = 23/3 olur. Bölmeden 0'dan 3'e integral alan öğrenci −3'ü bulur, mutlak değerini yazınca da 3'e varır; iki ayrı yanlış yol, aynı hatanın iki yüzüdür. Cevap: E.

Örnek 3 — Grafikten integral

Soru: Sürekli bir f fonksiyonunun grafiği x eksenini yalnız x = −2, x = 1 ve x = 4'te kesiyor. Grafiğin eksenle oluşturduğu bölgelerden [−2, 1] üzerindeki eksenin üstünde ve 6 birimkare, [1, 4] üzerindeki eksenin altında ve 10 birimkaredir. −2'den 4'e ∫ f(x) dx kaçtır?

• A) 16
• B) −4
• C) 4
• D) −16
• E) 6

Çözüm: Üstteki bölge +6, alttaki −10 katkı verir: 6 − 10 = −4. 16, alanların toplamıdır ve integralin değil alanın cevabıdır; 4, işareti ters bağlamaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 4 — Alandan parametre

Soru: Pozitif bir a sayısı için y = a − x² parabolünün x ekseniyle kapattığı bölge 36 birimkarelik alana sahiptir. a kaçtır?

• A) a = 3
• B) a = 27
• C) a = 6
• D) a = 9
• E) a = 18

Çözüm: Kökler −√a ve √a'dır. Bu iki kök arasında integral 2a√a − (2/3) · a√a = (4/3) · a√a olur. (4/3) · a√a = 36 ise a√a = 27 ve a = 9'dur. 27'yi a sanmak son adımı atlamak, 3'ü a sanmak ise √a ile a'yı karıştırmaktır. Cevap: D.

• İntegrali alanla eşitlemek. Eğri aralıkta eksenin iki yanına geçiyorsa tek integral alttaki parçayı çıkarır; sin x için 0'dan 2π'ye integral 0, alan 4'tür.
• Bütün aralığın integraline mutlak değer koymak. |∫ f(x) dx| yalnız tek işaretli bir parçada alanı verir; işaret değişiyorsa önce kökten böl, sonra her parçanın mutlak değerini topla.
• Sınırı soruda aramak. «Eğri ile x ekseni arasındaki bölge» denince sınırlar f(x) = 0'ın kökleridir; x = a ve x = b verilmişse bile aradaki kökler ayrıca bulunmalıdır.
• Grafik sorusunda alanı integral yerine yazmak. Alanlar hep pozitif verilir; integral istenince alttaki bölgelerin önüne eksi konur.
• Y eksenine göre alanda x'e göre integral almak. Bölge y ekseni ve y = c doğrusuyla kapanıyorsa eğri x = g(y) biçiminde yazılır ve y'nin sınırları kullanılır.