İki eğri arasındaki alan

Orhun defterine y = x³ eğrisini ve y = x doğrusunu çizmiş. İkisi üç noktada buluşuyor ve aralarında, orijinin iki yanında, birbirine benzeyen iki küçük yaprak oluşuyor. Taralı bölgenin alanı için ∫ (x³ − x) dx integralini −1 ve 1 sınırlarıyla kuruyor, ilkeli x⁴/4 − x²/2 buluyor, sınırları koyuyor ve sonuç sıfır çıkıyor. Çizimde gözle görülen iki yaprak var, hesap «alan yok» diyor. Orhun önce ilkeli yanlış aldığını düşünüp türevini alıyor; türev tutuyor. Hata integralde değil, integrale neyin yazıldığında: sol yaprakta eğri doğrunun üstünde, sağ yaprakta altında. İki parça birbirini götürmüş. Bu derste iki eğri arasındaki alanı, hangi eğrinin nerede üstte kaldığını gözeterek hesaplıyoruz.

• İki eğrinin kesişim apsislerini ortak denklemden bulur, integralin sınırlarını bu köklerden kurarsın.
• Her aralıkta üstte kalan eğriyi bir test noktasıyla belirler, eğriler yer değiştiriyorsa bölgeyi kesişimlerden bölersin.
• Sağdan ve soldan sınırlanan bölgelerde y'ye göre integral alır, alanı verilen bölgeden bilinmeyen parametreyi çözersin.
• Parabol ile doğru arasındaki alanı kısa formülle sağlar, sonucu |f − g| integraliyle karşılaştırırsın.

İnce şeritten formüle

İki eğrinin arasında kalan bir bölgeyi dikey ince şeritlere ayırdığını düşün. x noktasındaki şeridin genişliği dx kadardır; boyu ise üstteki eğrinin y değeri ile alttakinin y değeri arasındaki farktır. f üstte, g altta ise şeridin boyu f(x) − g(x), alanı ise bu boyun dx genişliğiyle çarpımı kadardır. Bu şeritleri a'dan b'ye toplayıp genişliği sıfıra götürmek bir önceki dersteki fikrin aynısıdır ve şu sonucu verir:

Alan = ∫ₐᵇ (üstteki − alttaki) dx

Burada a ≤ x ≤ b boyunca f(x) ≥ g(x) olduğu için üstteki f, alttaki g'dir.

Bir önceki derste hesaplanan, kenarlarından biri x ekseni olan bölgeler bu formülün özel hâlidir: alttaki eğri orada y = 0 doğrusuydu. Formülde akılda tutulacak tek şey, parantezin içine «üstteki eksi alttaki» yazılmasıdır. Şerit boyu negatif olamaz; çıkarma sırası doğru kurulursa integralin içi bütün aralık boyunca sıfır ya da pozitif kalır.

Sınırlar kesişimden gelir

Soru çoğu zaman a ile b'yi vermez; bölge iki eğrinin buluştuğu yerde kapanır. Buluşma noktalarını bulmak için iki kural eşitlenir: f(x) = g(x). «Parabol ile doğrunun durumu» başlıklı derste bu eşitliğe ortak denklem demiştik; köklerin ortak noktaların apsisleri olduğunu orada görmüştük. Şimdi aynı kökler integralin alt ve üst sınırı olur.

y = x² parabolü ile y = x + 2 doğrusunu ele alalım. Ortak denklem x² = x + 2, yani x² − x − 2 = 0'dır ve çarpanlarına ayrılınca (x + 1)(x − 2) = 0 bulunur; kesişimler x = −1 ve x = 2'dedir. Aynı kökleri diskriminantla da bulabiliriz: Δ = 1 + 8 = 9, kökler (1 ± 3)/2. Bu iki sınır arasında hangisinin üstte olduğunu anlamak için aralıktan bir sayı seçilir. x = 0 için doğru 2, parabol 0 verir; doğru üsttedir. Böylece

Alan = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2

çıkar. Sırayı ters kurup ∫₋₁² (x² − x − 2) dx yazan öğrenci −9/2 bulur. Eksi işareti alanın negatif olduğunu değil, çıkarmanın yanlış yönde yapıldığını söyler.

Test noktası neden yeterli?

f − g farkı sürekli bir fonksiyondur ve yalnız kesişim noktalarında sıfır olur. İki komşu kesişim arasında işaret değiştirseydi, ara değer özelliği gereği arada bir yerde sıfırdan geçmesi gerekirdi; bu da orada bir kesişim daha olduğu anlamına gelirdi. Demek ki iki ardışık kesişim arasındaki her nokta aynı sonucu verir. Tek bir test noktası bütün aralığı temsil eder; bu yüzden hesabı en kolay sayıyı (çoğu zaman 0 ya da 1) seçmek yeterlidir.

Bölge eksenin altına taştığında

y = x² − 5 ile y = x − 3'ü düşünelim. İkisi de y = x² ile y = x + 2'nin beş birim aşağı kaydırılmış hâlidir; bölge bütünüyle x ekseninin altına iner. Eğri ile eksen arasındaki alanda eksenin altı eksi işaretle geliyor ve ayrıca düzeltiliyordu. Burada buna gerek kalmaz: (x − 3) − (x² − 5) farkı yine x + 2 − x²'dir, çünkü kaydırma iki kurala aynı sabiti ekler ve çıkarmada bu sabit gider. Alan yine 9/2'dir. Şeridin boyu iki y değerinin farkıdır; uçların eksenin hangi tarafında durduğu bu farkı etkilemez. Alttaki eğri negatif değerler alsa da, f üstte kaldıkça f − g pozitif kalır.

Aynı gözlem iki parabol arasında da işe yarar. y = x² − 4 ile y = 4 − x² eğrileri x² − 4 = 4 − x², yani x² = 4 denkleminden ±2'de kesişir. x = 0'da ikinci eğri 4, birincisi −4 verir; üstte 4 − x² vardır. Fark 8 − 2x² olur ve ∫₋₂² (8 − 2x²) dx = 32 − 32/3 = 64/3 bulunur. Bölgenin yarısı eksenin altında olduğu hâlde tek integral yetti.

İki parabolün baş katsayıları eşitse farkta x² terimi silinir ve ortak denklem birinci dereceye iner. O zaman en çok bir kesişim kalır; iki eğri tek başlarına sınırlı bir bölge kapatmaz. Soruda bu durumda ek bir dikey doğru verilir.

Eğriler yer değiştirdiğinde

Kancadaki y = x³ ile y = x'e dönelim. Ortak denklem x³ − x = 0, yani x(x − 1)(x + 1) = 0'dır; kesişimler −1, 0 ve 1'dedir. (−1, 0) aralığından −1/2'yi seçelim: x³ = −1/8, x = −1/2 ve −1/8 daha büyüktür, yani bu yaprakta kübik üstte kalır. (0, 1) aralığında 1/2 için 1/8 < 1/2 olur ve doğru üste geçer. Alan iki integralin toplamıdır:

∫₋₁⁰ (x³ − x) dx + ∫₀¹ (x − x³) dx = 1/4 + 1/4 = 1/2.

Orhun'un tek integrali bu iki parçanın işaretli toplamını, 1/4 − 1/4 = 0'ı veriyordu. Kural şudur: kesişimler aralığı parçalara böler, her parçada test noktası üstteki eğriyi seçer, parça alanları pozitif olarak toplanır. Kısaca, alan ∫ |f − g| dx'tir; mutlak değer kesişimlerden bölünerek açılır.

Yatay şeritlerle çalışmak

Bazı bölgeler alttan ve üstten değil, soldan ve sağdan sınırlanır. y² = x parabolü ile x − y = 2 doğrusunun arasını düşünelim. Dikey şeritle bakınca 0 ≤ x ≤ 1 bölümünde şerit parabolün iki kolu arasındadır, 1 ≤ x ≤ 4 bölümünde ise üst kol ile doğru arasındadır. İki ayrı integral ve köklü ifadeler gerekir: ∫₀¹ 2√x dx + ∫₁⁴ (√x − x + 2) dx = 4/3 + 19/6 = 9/2.

Şeritleri yatay koyunca iş kısalır. Eğrileri x = y² ve x = y + 2 diye y cinsinden yazalım. Ortak denklem y² = y + 2 bize y = −1 ve y = 2 sınırlarını verir. y = 0 için doğru 2'de, parabol 0'da durur; sağdaki doğrudur. Formül bu kez «sağdaki eksi soldaki»dir:

Alan = ∫₋₁² (y + 2 − y²) dy = 9/2.

Sonuç ilk örnekle aynıdır, çünkü bu bölge y = x² ile y = x + 2 arasındaki bölgenin y = x doğrusuna göre yansımasıdır; yansıma alanı korur. Bir bölgede dikey şerit iki farklı eğriye çarpıyorsa yatay şeridi denemek çoğu zaman tek integrale indirir.

Alan bilinip eğri bilinmeyince

Bazen alan verilir, eğrilerden biri bilinmez. y = x² ile y = k (k > 0) arasındaki bölge ±√k'da kapanır ve alanı ∫ (k − x²) dx = 2(k√k − k√k/3) = (4/3) · k√k olur. Alan bir sayıya eşitlenince k√k, yani k^(3/2) bulunur, oradan k çözülür. Bu tür sorularda önce alanı parametreye bağlı bir ifade olarak hesaplamak, sonra denklemi kurmak hatayı azaltır; sayıyı önce yerine koymaya çalışmak sınırları belirsiz bırakır.

Parabol ile kiriş: kısa sağlama

Bir parabol ile onu iki noktada kesen doğru arasındaki bölgeye parabol kesmesi denir. Fark fonksiyonu ikinci dereceden bir polinomdur: f(x) − g(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Bunu x₁'den x₂'ye integrallemek her zaman aynı sonuca götürür:

Alan = |a| · (x₂ − x₁)³ / 6.

y = x² ile y = x + 2 için a = 1 ve x₂ − x₁ = 3'tür; 27/6 = 9/2 bulunur, uzun hesapla aynı. Formül iki parabol arasında da çalışır, yeter ki a farkın baş katsayısı olsun: x² − 4 ile 4 − x² için a = 2, aralık 4 birim ve 2 · 64/6 = 64/3.

Aynı sonucun geometrik bir okuması vardır. Parabolün kirişe paralel teğetini çizip kirişle birlikte, kenarları dikey olan bir paralelkenar kurarsak, kesmenin alanı bu paralelkenarın tam 2/3'ü olur. Arşimet bunu kesmenin, tabanı kiriş ve tepesi teğetin değme noktası olan üçgenin 4/3'ü olduğu biçiminde göstermişti; üçgen paralelkenarın yarısı olduğundan iki ifade aynı sayıyı verir. y = x² ile y = k arasında paralelkenar, tabanı 2√k ve yüksekliği k olan dikdörtgendir: 2/3 · 2k√k = (4/3)k√k, yukarıdaki formül. Sınavda bu kural yalnız parabol ile doğru (ya da iki parabol) arasında geçerlidir; kübik eğrilerde kullanılmaz. Asıl yöntem integraldir; kural yalnız sonucu kontrol etmeye yarar.

Eğriyi denkleme bağlamak

Bu derste her eğri y = f(x) biçiminde verildi ve dikey bir doğru onu en çok bir yerde kesti. Merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu çember böyle değildir: içinden geçen dikey bir doğru onu iki noktada keser, bu yüzden tek bir y = f(x) kuralıyla yazılamaz. Sıradaki derste çemberi, merkezinin koordinatları ve yarıçapı üzerinden kurulan bir denklemle tarif edip doğrularla ve noktalarla ilişkisini analitik yoldan inceleyeceğiz.

Örnek 1 — Parabol ile doğru

Soru: y = 2x doğrusu, y = x² − 2x parabolünü iki noktada kesiyor. Bu iki çizginin kapattığı bölge kaç birimkaredir?

• A) alan = 16
• B) alan = 16/3
• C) alan = 32/3
• D) alan = 64/3
• E) alan = 8

Çözüm: Ortak denklem x² − 2x = 2x, yani x(x − 4) = 0; sınırlar 0 ve 4. x = 1 için doğru 2, parabol −1 verir; doğru üsttedir. Alan ∫₀⁴ (4x − x²) dx = 32 − 64/3 = 32/3. Sağlama: fark −x² + 4x için |a| = 1, aralık 4, 64/6 = 32/3. A seçeneği yalnız doğrunun altını, B yalnız parabolün işaretli integralini hesaplar; D formülde 6 yerine 3'e böler. Cevap: C.

Örnek 2 — Üç kesişim, iki parça

Soru: y = x³ ve y = x² + 2x grafikleri birden çok kapalı parça oluşturuyor. Parçaların alanları toplamı nedir?

• A) toplam = 9/4
• B) toplam = 8/3
• C) toplam = 5/12
• D) toplam = 3
• E) toplam = 37/12

Çözüm: x³ − x² − 2x = x(x − 2)(x + 1) = 0, kesişimler −1, 0, 2. x = −1/2'de x³ = −0,125 ve x² + 2x = −0,75; kübik üstte. x = 1'de 1 < 3; parabol üstte. Parçalar ∫₋₁⁰ (x³ − x² − 2x) dx = 5/12 ve ∫₀² (x² + 2x − x³) dx = 8/3. Toplam 5/12 + 32/12 = 37/12. −1 ile 2 sınırlarıyla alınan tek integral −9/4 verir; A bu sayının mutlak değeridir ve iki parçanın birbirinden çıkarıldığı sonuçtur. B ile C yalnız birer parçadır. Cevap: E.

Örnek 3 — Eksenin iki yanına yayılan bölge

Soru: Kolları zıt yönlere açılan y = x² − 2x − 3 ve y = −x² + 4x + 5 parabollerinin çevrelediği bölge kaç birimkaredir?

• A) alan = 125/3
• B) alan = 125/6
• C) alan = 250/3
• D) alan = 64/3
• E) alan = 32

Çözüm: Eşitleyince 2x² − 6x − 8 = 0, yani 2(x − 4)(x + 1) = 0; sınırlar −1 ve 4. x = 0'da ikinci parabol 5, birinci −3 verir; üstte ikinci parabol vardır. Fark −2x² + 6x + 8'dir ve ∫₋₁⁴ (−2x² + 6x + 8) dx = 125/3 çıkar. Birinci parabol (−1, 3) aralığında eksenin altındadır, ama fark aralık boyunca pozitif kaldığı için bölmeye gerek yoktur. Sağlama: |a| = 2, aralık 5, 2 · 125/6 = 125/3. B seçeneği farkın baş katsayısını 1 sayar. Cevap: A.

Örnek 4 — Alanı bilinen bölgede yatay doğru

Soru: Pozitif bir k için y = k yatay doğrusu y = x² parabolünden 36 birimkarelik bir bölge kesip ayırıyor. k kaçtır?

• A) yatay doğru y = 27
• B) yatay doğru y = 3
• C) yatay doğru y = 6
• D) yatay doğru y = 9
• E) yatay doğru y = 81

Çözüm: Kesişimler ±√k. Alan ∫ (k − x²) dx, −√k'dan √k'ya, (4/3)k√k'dır. (4/3)k^(3/2) = 36 ise k^(3/2) = 27, k = 27^(2/3) = 9. Kontrol: ∫₋₃³ (9 − x²) dx = 54 − 18 = 36. B seçeneği kesişim apsisini verir; A, k^(3/2) değerinde durur; C alanı (2/3)k√k sanıp bölgeyi yarım sayar. Cevap: D.

• Çıkarmayı ters sırayla kurmak. Alttakinden üsttekini çıkaran öğrenci alanın eksilisini bulur. Tek parçalı bölgede sonucun mutlak değerini almak kurtarır gibi görünür; eğriler yer değiştirdiğinde ise ters işaretli parçalar birbirini yer. Sıra her aralıkta test noktasıyla kurulur.
• Yer değiştiren eğrileri tek integralde toplamak. y = x³ ile y = x arasında tek integral sıfır, y = x³ ile y = x² + 2x arasında −9/4 verir. Her kesişimde bölmeden alınan integral işaretli toplamdır, alan değildir.
• Eksenin altındaki parçayı ayrıca bölmek. Eğri ile eksen arasında gereken bölme iki eğri arasında gerekmez; fark pozitif kaldıkça eksenin konumu sonucu değiştirmez.
• Kesişim yerine eğrinin eksenle kesiştiği noktaları sınır almak. Sınırlar f(x) = g(x) denkleminden gelir; f(x) = 0'ın kökleri ayrı bir sorunun cevabıdır.
• Yatay şeritte x'e göre yazılmış kuralları kullanmak. y'ye göre integralde eğriler x = h(y) biçimine çevrilir, sınırlar y değerleridir ve fark «sağdaki eksi soldaki» olur.
• |a|(x₂ − x₁)³/6 formülünde a'yı yanlış seçmek. a, parabolün değil farkın baş katsayısıdır; iki parabolde katsayılar toplanabilir ya da birbirini götürebilir.