Belirli integralin özellikleri

Ebru deneme sınavında şu soruya takılıyor: ∫₀³ f(x) dx = 5 ve ∫₀⁷ f(x) dx = 12 verilmiş, ∫₃⁷ f(x) dx soruluyor. f'nin kuralı hiçbir yerde yok. Ebru f'yi ax + b biçiminde varsayıp iki denklem kuruyor, a ile b'yi kesirli sayılar olarak buluyor, sonra yeni sınırlarla integrali yeniden alıyor. Dört dakika sonra 7 sayısına ulaşıyor. Sıra arkadaşı Cengiz aynı soruyu on saniyede bitirmiş: 0'dan 7'ye giden yol, 0'dan 3'e ve 3'ten 7'ye giden iki parçadan oluşur, dolayısıyla cevap 12 − 5'tir. Ebru'nun hesabı yanlış değil, yalnızca gereksiz uzun. Üstelik f doğrusal olmasaydı varsayımı hiçbir şeyi garanti etmezdi; Cengiz'in yolu ise her f için geçerli.

• Sınırların yer değiştirmesini, aralığı bir noktadan bölmeyi ve sabitle çarpımı kullanarak verilen integrallerden yenilerini hesaplarsın.
• Sıfıra göre simetrik bir aralıkta tek ve çift terimleri ayırıp integrali kısaltırsın.
• Parçalı ve mutlak değerli integrandları kırılma noktalarından bölerek integrallersin.
• İntegral değeri verilen bir eşitlikten bilinmeyen sınırı ya da katsayıyı bulursun.

Özelliklerin kaynağı: F(b) − F(a)

Bu dersteki her kural, temel teoremin verdiği tek bir farktan çıkar. f'nin bir ilkeli F olduğunda integralin değeri F(b) − F(a) sayısıdır. İntegralin değerini bilmeden de bu farkın davranışı incelenebilir: uçlar çakıştığında, sıra ters çevrildiğinde ya da araya bir nokta girdiğinde farka neler olduğu birkaç satırlık cebirle görülür ve bu cebir fonksiyonun kuralına hiç bakmaz.

Çakışan ve yer değiştiren sınırlar

Alt ve üst sınır aynı sayıysa F(a) kendisinden çıkarılır ve sonuç sıfırdır: ∫₃³ (x⁴ + 7) dx sıfırdır, integrand ne kadar büyük olursa olsun. Riemann toplamıyla düşünülürse genişliği sıfır olan bir aralıkta hiçbir dikdörtgen yoktur.

Sınırlar yer değiştirince fark F(a) − F(b) olur; bu, öncekinin ters işaretlisidir. Kısaca b'den a'ya integral, a'dan b'ye integralin −1 katıdır. Örneğin ∫₄¹ 2x dx = 1 − 16 = −15 bulunur; doğru sırayla alınan ∫₁⁴ 2x dx ise 15'tir. Burada negatif sonucun nedeni fonksiyonun işareti değil, x'in büyükten küçüğe taranmasıdır: 2x bu aralıkta hep pozitiftir.

Sabit çarpan ve toplam

İlkel alma sabit çarpanı ve toplamı koruduğu için belirli integral de korur: ∫ₐᵇ (k · f(x) + g(x)) dx = k · ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx. Bu yüzden ∫₀² f(x) dx = 3 ve ∫₀² g(x) dx = −1 bilindiğinde, kuralları bilinmeyen iki fonksiyon için bile ∫₀² (4f(x) − 3g(x)) dx = 12 + 3 = 15 hesaplanabilir. Eksi işaretli terim −3 · (−1) = +3 katkı verir; bu işaret, sorularda en çok kaybedilen puandır.

İntegrandın içinde tek başına duran bir sabit de kendi integralini getirir: ∫ₐᵇ c dx = c · (b − a). ∫₁³ (2f(x) + 3) dx yazıldığında 3'ün katkısı 3 değil, aralığın uzunluğu 2 ile çarpılmış 6'dır.

Çarpım için böyle bir kural yoktur. 0'dan 1'e ∫ x · x dx = 1/3 iken ∫₀¹ x dx · ∫₀¹ x dx = 1/2 · 1/2 = 1/4 eder. İntegralin içindeki çarpım dağıtılmaz.

Aralığı bir noktadan bölmek

Kancadaki kestirmenin dayanağı şudur: a'dan c'ye giden integral araya giren bir b noktasıyla ikiye ayrılabilir; önce a'dan b'ye, sonra b'den c'ye gidilir ve iki değer toplanır. İspatı tek satır: (F(b) − F(a)) + (F(c) − F(b)) toplamında F(b) sadeleşir ve F(c) − F(a) kalır. Ebru'nun sorusunda bu eşitlik 12 = 5 + (3'ten 7'ye integral) biçimini alır ve aranan değer 7 çıkar.

Dikkat çekici olan, ara noktanın aralığın içinde bulunmak zorunda olmamasıdır. ∫₀² x dx = 2 sayısını 5 üzerinden bölelim: ∫₀⁵ x dx = 12,5 ve ∫₅² x dx = (4 − 25)/2 = −10,5; toplam yine 2'dir. Sadeleşme cebirsel olduğu için b'nin nerede durduğu önemsizdir, yeter ki f o noktaya kadar tanımlı ve sürekli olsun. «Verilenleri birleştir» türündeki soruların çoğu, sınır çevirme ile bu bölme özelliğinin art arda kullanılmasıdır.

Parçalı fonksiyonlar

Kuralı bir noktada değişen bir fonksiyonu tek ilkelle integrallemek mümkün değildir; integral kırılma noktasından bölünür ve her parçaya kendi kuralı uygulanır. f, 1 dahil 1'e kadar x + 1, 1'den sonra 2x² kuralıyla verilsin. [0, 3] aralığı 1 noktasında ikiye ayrılır:

Soldaki parçada x + 1 kuralı 3/2 verir; sağdaki parçada ∫₁³ 2x² dx = (2/3) · (27 − 1) = 52/3 bulunur. Toplam 3/2 + 52/3 = 113/6.

Kırılma noktası aralığın dışındaysa bölmeye gerek kalmaz: aynı f için ∫₂³ f(x) dx yalnız 2x² kuralıyla hesaplanır. İlk iş, kırılma noktasının sınırlar arasında olup olmadığına bakmaktır.

Mutlak değerli integrandlar

|x − 2| aslında gizli bir parçalı fonksiyondur: x ≥ 2 iken x − 2, x < 2 iken 2 − x'e eşittir. Kırılma noktası, mutlak değerin içini sıfır yapan x = 2'dir. 0'dan 5'e ∫ |x − 2| dx hesabı bu yüzden ikiye bölünür: ∫₀² (2 − x) dx = 2 ve ∫₂⁵ (x − 2) dx = 9/2; toplam 13/2. Mutlak değer işareti hiç yokmuş gibi davranılsaydı ∫₀⁵ (x − 2) dx = 5/2 bulunurdu; aradaki fark, 0 ile 2 arasındaki parçanın işaretinin ters sayılmasından gelir.

İçerideki ifade ikinci dereceden olduğunda kökler bulunur ve aralığın içine düşenler bölme noktası olur. |x² − 1| için kökler −1 ve 1'dir; [0, 2] aralığında yalnız 1 kalır. [0, 1]'de x² − 1 negatif olduğundan ∫₀¹ (1 − x²) dx = 2/3, [1, 2]'de pozitif olduğundan ∫₁² (x² − 1) dx = 4/3 alınır ve toplam 2 olur. İşareti belirlemek için her parçadan bir deneme noktası seçmek yeter: x = 1/2 için içerisi −3/4, x = 3/2 için 5/4'tür.

Simetrik aralık: tek ve çift fonksiyonlar

Çift fonksiyonun grafiği y eksenine, tek fonksiyonunki orijine göre simetrikti («Tek ve çift fonksiyonlar»). [−a, a] aralığında bu simetri integrale doğrudan yansır. Tek fonksiyonda x ile −x noktalarındaki değerler zıt işaretlidir; sol yarıdaki Riemann toplamı sağ yarıdakinin tam tersi çıkar ve ikisi birbirini götürür: ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 0. Çift fonksiyonda iki yarı birbirinin aynısıdır: ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2 · ∫₀ᵃ f(x) dx.

Sınav integrandları çoğu zaman karışıktır. Polinomda tek kuvvetli terimler tek, çift kuvvetli terimler ve sabit çift fonksiyondur; sin x tek, cos x ve |x| çifttir. Toplam özelliği sayesinde karışık bir ifade parçalarına ayrılır, tek kısım silinir, çift kısım ikiye katlanır. ∫₋₂² (x³ − 5x + sin x) dx doğrudan 0'dır. −1'den 1'e ∫ (x³ + 6x² − 4x + 2) dx için x³ ve −4x atılır, kalan 2 · ∫₀¹ (6x² + 2) dx = 2 · (2 + 2) = 8 olur.

İki uyarı: kural yalnız sıfıra göre simetrik aralıkta çalışır; [−1, 3] gibi bir aralıkta tek terim silinmez. Ayrıca katlama yalnız çift kısma uygulanır; bütün integrandı 0'dan a'ya alıp ikiyle çarpmak, tek terimlerin sol yarıdaki eksi katkısını artıya çevirir.

Bilinmeyen sınır ve katsayı

İntegral bir sayıya eşitlenmişse sınırda ya da integrandda duran bilinmeyen için bir denklem elde edilir. −1'den 2'ye ∫ (ax + 1) dx = 6 verilsin. İlkel ax²/2 + x; üst uçta 2a + 2, alt uçta a/2 − 1 değerini alır ve fark (3/2) · a + 3 olur. Eşitlikten a = 2 çıkar. Sınır bilinmiyorsa denklem çoğu zaman ikinci derecedendir ve iki kökten biri, sorudaki koşul (k > 0, m > 1 gibi) ile elenir. Mutlak değerli ya da parçalı integrandda bilinmeyen üst sınırın hangi parçaya düştüğü önce belirlenir; yanlış parça, kökü olmayan ya da koşulu bozan bir denklem verir.

Sıralama özelliği

a < b olmak üzere [a, b] üzerinde f'nin değeri g'ninkini hiçbir noktada aşmıyorsa ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx olur; çünkü her dikdörtgende f'nin yüksekliği g'ninkini aşamaz. Özel hâli: aralıkta f ≥ 0 ise integral negatif çıkamaz. [0, 1]'de x³ ≤ x² ≤ x olduğundan sıfırdan bire integralleri de aynı sırada dizilir: x³ için 1/4, x² için 1/3, x için 1/2. Sınırlar ters yazıldıysa (a > b) eşitsizliğin yönü de döner.

Üst sınırı değişken olan integral

Önceki derste alan fonksiyonunun türevinin f olduğunu görmüştük. Bunun integral gösterimiyle söylenişi şudur: g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ise g'(x) = f(x) ve g(a) = 0. Örneğin g(x) = ∫₁ˣ (t² + 3) dt için g'(2) = 4 + 3 = 7 bulunur; integrali hesaplamaya gerek yoktur.

Bu derste integrali hesaplamadan önce onu bölmeyi, çevirmeyi ve kısaltmayı öğrendik; |x − 2| gibi integrandlarda çıkan sayıyı ise yalnız bir hesap sonucu olarak bıraktık. Sıradaki derste soru değişiyor: bir eğri ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanı istendiğinde, eksenin altına inen parçalar ne yapılmalı ve hangi integral gerçekten alanı ölçer?

Örnek 1 — Verilenlerden yeni integral

Soru: ∫₁⁵ f(x) dx = 9 ve ∫₃⁵ f(x) dx = 4 verildiğinde ∫₁³ (2f(x) + 3) dx kaçtır?

• A) I = 13
• B) I = 16
• C) I = 32
• D) I = 22
• E) I = 10

Çözüm: Bölme özelliğinden ∫₁³ f(x) dx = 9 − 4 = 5. Sabitin katkısı 3 · (3 − 1) = 6 olduğundan sonuç 2 · 5 + 6 = 16'dır. Sabiti aralık uzunluğuyla çarpmayan 13'te, uzunluğu 1'den 5'e kadar sayan 10 + 12 = 22'de, 9 ile 4'ü toplayan 2 · 13 + 6 = 32'de kalır. Cevap: B.

Örnek 2 — Mutlak değeri açmak

Soru: 0'dan 4'e ∫ |x − 1| dx değeri nedir?

• A) I = 4
• B) I = 9/2
• C) I = 3
• D) I = 5
• E) I = 11/2

Çözüm: İçerisi x = 1'de sıfırlanır. ∫₀¹ (1 − x) dx = 1/2 ve ∫₁⁴ (x − 1) dx = 9/2; toplam 5. Mutlak değeri atlayıp ∫₀⁴ (x − 1) dx = 4 yazan A'yı, ilk parçayı hiç hesaba katmayan 9/2'yi işaretler. Cevap: D.

Örnek 3 — Simetrik aralıkta ayıklama

Soru: −2'den 2'ye ∫ (x³ − 3x² + 4x + 1) dx integralinin değeri hangisidir?

• A) J = −12
• B) J = 0
• C) J = −6
• D) J = 12
• E) J = 20

Çözüm: x³ ve 4x tek terimdir, simetrik aralıkta katkıları sıfırdır. Kalan çift kısım için 2 · ∫₀² (−3x² + 1) dx = 2 · (−8 + 2) = −12. Katlamayı unutan −6, bütün integrandı 0'dan 2'ye alıp ikiyle çarpan 2 · 6 = 12 bulur; ikincisi tek terimlerin sol yarıdaki eksi katkısını artı saymaktır. Cevap: A.

Örnek 4 — Parçalı fonksiyonda sınır

Soru: f fonksiyonu x < 1 iken 3x², x ≥ 1 iken 2x + 1 kuralıyla tanımlanıyor. u > 1 ve ∫₀ᵘ f(x) dx = 11 ise u kaçtır?

• A) u = 2
• B) u = −4
• C) u = 4
• D) u = 5/2
• E) u = 3

Çözüm: u > 1 olduğundan aralık 1'den bölünür. ∫₀¹ 3x² dx = 1 ve ∫₁ᵘ (2x + 1) dx = (u² + u) − 2. Toplam u² + u − 1 = 11, yani u² + u − 12 = 0; kökler 3 ve −4'tür. Koşul −4'ü eler. u = 4 alınırsa integral 19, u = 2 alınırsa 5 çıkar. Cevap: E.

• Sınırları çevirince işareti unutmak. b'den a'ya integral a'dan b'ye integralin eksilisidir; ∫₇³ f soruluyorsa cevap 12 − 5 değil, 5 − 12'dir.
• Sabit terimi aralıkla çarpmamak. ∫ₐᵇ c dx = c · (b − a); integrandın içindeki 3, sonuca 3 olarak değil 3 · (b − a) olarak girer.
• Simetri kuralını simetrik olmayan aralıkta kullanmak. Tek terim yalnız [−a, a] üzerinde silinir; [−1, 3] gibi bir aralıkta önce bölmek gerekir.
• Bütün integrandı katlamak. 2 · ∫₀ᵃ yalnız çift kısma uygulanır; tek terimleri de katlamak sonucu değiştirir.
• Mutlak değeri kırılma noktasından bölmemek. İçerinin işaret değiştirdiği kök aralıktaysa integral orada ikiye ayrılır, aksi hâlde negatif parça ters sayılır.
• İçerideki çarpımı dağıtmak. ∫ f · g, ∫ f ile ∫ g'nin çarpımı değildir.