Belirli integral

Şevval koşu bandında dört dakikalık bir ısınma programı yapıyor. Bant hızı her dakikanın başında ekranda görünüyor: 2; 2,5; 3; 3,5 ve son anda 4 metre/saniye. Antrenmandan sonra kaç metre koştuğunu merak ediyor. Hız sabit olsaydı hesap tek çarpmaydı. Hız sürekli değiştiği için Şevval her dakikayı ayrı düşünüyor: o dakikanın başındaki hızla 60 saniye koşmuş saysa 60 · (2 + 2,5 + 3 + 3,5) = 660 metre buluyor; sonundaki hızla saysa 780 metre. Gerçek yol bu iki sayının arasında bir yerde. Dakikayı yarım dakikaya, sonra saniyeye bölse iki tahmin birbirine yaklaşır. Bu derste o yaklaşmanın sonunda varılan sayıya, belirli integrale, bakıyoruz.

• Bir aralıktaki eğri altı bölgeyi eşit genişlikte dikdörtgenlerle yaklaşık hesaplar, alt ve üst toplamı karşılaştırırsın.
• Belirli integrali dikdörtgen toplamlarının limiti olarak yorumlar, ∫ₐᵇ f(x) dx gösterimini okursun.
• Kalkülüsün temel teoremiyle ∫ₐᵇ f(x) dx değerini F(b) − F(a) farkından hesaplarsın.
• Değişken değiştirmede sınırları dönüştürür, hız fonksiyonundan yer değiştirmeyi bulursun.

Eğrinin altında kalan bölge

y = x² parabolünü düşün ve yalnız x = 0 ile x = 1 arasındaki parçasına bak. Bu parçanın altında, x ekseninin üstünde kalan bölge eğri bir kenarla sınırlıdır; üçgen ya da yamuk formülü işe yaramaz. Sorulan şey bu bölgenin alanıdır. Şevval'in koşusu aynı sorunun fiziksel hâlidir: hız–zaman grafiği çizilseydi, koşulan yol hız eğrisinin altında kalan bölgenin alanına eşit olurdu, çünkü sabit hızda yol hız · süredir ve bu çarpım bir dikdörtgenin alanıdır. Bu ders boyunca önce fonksiyonun aralıkta pozitif olduğu durumla çalışıyoruz; negatif değerlere bölümün sonunda döneceğiz.

Dikdörtgenlerle yaklaşmak

[0, 1] aralığını dört eşit parçaya bölelim. Her parçanın genişliği Δx = 1/4'tür; bölme noktaları 0, 1/4, 1/2, 3/4 ve 1'dir. Her parçanın üstüne bir dikdörtgen dikip yüksekliğini fonksiyondan alırız.

Yüksekliği parçanın sol ucundaki değerden alırsak dikdörtgenler 0, 1/16, 4/16 ve 9/16 boyundadır. Toplam alan (1/4) · (0 + 1 + 4 + 9)/16 = 14/64 = 0,21875 olur. x² bu aralıkta arttığı için her parçada en küçük değer sol uçtadır; dikdörtgenler eğrinin altında kalır. Bu toplama alt toplam denir.

Yüksekliği sağ uçtan alırsak boylar 1/16, 4/16, 9/16 ve 16/16 olur, toplam (1/4) · 30/16 = 30/64 = 0,46875 çıkar. Bu kez dikdörtgenler eğrinin üstüne taşar: üst toplam. Aranan alan bu iki sayının arasındadır. Aradaki fark, sağ ve sol uçtaki değerlerin farkıyla genişliğin çarpımıdır: (1 − 0) · 1/4 = 1/4. Parçalar inceldikçe bu fark da küçülür.

Fonksiyon aralıkta azalıyorsa roller değişir: en küçük değer sağ uçta, en büyük değer sol uçta bulunur. Hangi toplamın alt kaldığını uç seçimi değil, fonksiyonun gidişi belirler.

Parça sayısını artırmak

Aralığı n eşit parçaya bölelim. Genişlik 1/n, k'inci parçanın sağ ucu k/n ve oradaki yükseklik (k/n)² olur. Üst toplam

Sₙ = (1/n) · [(1/n)² + (2/n)² + … + (n/n)²] = (1/n³) · (k = 1'den n'ye Σ k²)

biçimine gelir. «Toplam sembolü» dersindeki Σ k² = n(n + 1)(2n + 1)/6 formülü burada iş görür: Sₙ = (n + 1)(2n + 1)/(6n²). n = 4 için bu ifade 5 · 9/96 = 30/64 verir, yukarıdaki hesapla aynı. n büyüdükçe pay ve payda aynı dereceden polinomlar olarak kalır; «Sonsuzda limit» dersindeki baş katsayılar oranı limiti 2/6 = 1/3 diye verir. Alt toplam da (n − 1)(2n − 1)/(6n²) çıkar ve aynı 1/3'e gider. İki toplam aynı sayıya sıkıştığına göre aranan alan tam olarak 1/3'tür.

Her parçadan tek bir nokta seçip f(o nokta) · Δx çarpımlarını topladığımız bu ifadeye Riemann toplamı denir. Seçilen nokta sol uç, sağ uç ya da orta nokta olabilir; sürekli bir fonksiyonda n → ∞ iken hepsi aynı limite gider.

Belirli integralin tanımı ve gösterimi

f, [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. Aralığı n eşit parçaya bölüp Riemann toplamını kurduğumuzda n sonsuza giderken toplamın yaklaştığı sayıya f'nin a'dan b'ye belirli integrali denir ve ∫ₐᵇ f(x) dx diye yazılır. Okunuşu «a'dan b'ye f(x) dx'in integrali»dir. İşaretin altındaki a alt sınır, üstündeki b üst sınırdır. Sınırları alt ve üst indis olarak yazmak her zaman kolay olmadığı için bu derste kimi yerde aynı şeyi «a'dan b'ye ∫ f(x) dx» diye yazacağız; ikisi aynı sayıyı anlatır.

Gösterimin her parçası Riemann toplamından gelir. Uzatılmış S biçimindeki ∫, Σ'nin limit hâlidir; f(x) dikdörtgenin yüksekliği, dx ise sıfıra giden Δx genişliğidir. Bu yüzden ilk örneğimizin sonucu ∫₀¹ x² dx = 1/3 diye yazılır.

Σ'deki indis gibi x de burada yalnız yer tutucudur: ∫₀¹ x² dx ile ∫₀¹ t² dt aynı sayıdır. Sınırlar sabit olduğunda sonuç x'e bağlı değildir.

Kalkülüsün temel teoremi

Her integrali limitle hesaplamak uzun sürer. Kestirme yol, alanın nasıl büyüdüğüne bakmaktan geçer. a'dan başlayıp x'e kadar uzanan eğri altı bölgenin alanına A(x) diyelim. x'i küçük bir h kadar ilerletince alana eni h, boyu yaklaşık f(x) olan ince bir şerit eklenir: A(x + h) − A(x) ≈ f(x) · h. İki tarafı h'ye bölüp h → 0 limitini alınca, «Türevin tanımı» dersindeki fark oranı ortaya çıkar ve A'(x) = f(x) bulunur. Demek ki alan fonksiyonu, f'nin bir ilkel fonksiyonudur.

f'nin herhangi bir ilkel fonksiyonu F ise, aynı türeve sahip iki fonksiyon yalnız bir sabitle ayrıldığından A ile F arasındaki fark sabittir: A(x) = F(x) + c. x = a'da bölge daralıp yok olur, yani A(a) = 0; buradan c = −F(a) çıkar. x = b konulunca

∫ₐᵇ f(x) dx = A(b) = F(b) − F(a)

elde edilir. Bu eşitliğe kalkülüsün temel teoremi denir: türevi f olan herhangi bir F bulunursa, belirli integral F'nin iki uçtaki değerlerinin farkıdır. Kontrol edelim: x²'nin bir ilkeli x³/3'tür ve 1/3 − 0 = 1/3; limitle uzun yoldan bulduğumuz sayı tek satırda geldi.

Köşeli parantez gösterimi ve kaybolan sabit

F(b) − F(a) farkı kısaca [F(x)]ₐᵇ diye yazılır. Örneğin ∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³ = 27/3 − 1/3 = 26/3 olur. Önce parantezin içine ilkel fonksiyon yazılır, sonra üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değer çıkarılır. Sıra önemlidir: alt sınırdakinden üst sınırdakini çıkarmak sonucun işaretini ters çevirir.

Belirsiz integraldeki + c burada neden yazılmaz? Herhangi bir ilkel F(x) + c olsun. Fark alınınca (F(b) + c) − (F(a) + c) = F(b) − F(a) kalır; sabit iki uçta da aynı olduğundan birbirini götürür. Bu yüzden hangi ilkeli seçtiğin sonucu değiştirmez ve en sade olanı, genellikle c = 0 olanı, seçilir.

Değişken değiştirme dersinde sin x · cos x için üç ayrı görünüşte ilkel bulunmuştu: sin²x/2, −cos²x/2 ve −cos(2x)/4. Bunları 0'dan π/2'ye integralde sırayla deneyelim. sin²x/2 için fark 1/2 − 0, −cos²x/2 için 0 − (−1/2) çıkar; −cos(2x)/4 ise üst uçta 1/4, alt uçta −1/4 değerini alır. Sonuç her seferinde 1/2'dir. Aralarındaki sabit farklar, burada yazdığımız c gibi, iki uçta aynı kaldığı için çıkarmada kaybolmuştur.

Fonksiyon mu, sayı mı?

Belirsiz integral ile belirli integral aynı işareti kullansa da farklı türden sonuçlar verir. ∫ x² dx = x³/3 + c bir fonksiyon ailesidir; x'in her değeri için başka bir sonuç üretir. ∫₀³ x² dx ise tek bir sayıdır: 9. Sınavda belirli integral sorusunun cevabında x ya da c kalıyorsa hesap yarıda bırakılmıştır.

Negatif değerler: işaretli alan

Riemann toplamında yükseklik f(x)'ten alındığı için fonksiyon x ekseninin altına indiğinde dikdörtgenlerin «boyu» negatif olur ve toplam negatif katkı alır. Örneğin x² − 4 fonksiyonu [0, 2] aralığında sıfır ya da negatiftir; [x³/3 − 4x]₀² = 8/3 − 8 = −16/3 bulunur. Bölgenin alanı negatif olamaz, bu sayı ise eksiyle çıkıyor. Belirli integral alanı değil işaretli alanı verir: eksenin üstündeki kısım artı, altındaki eksi sayılır. Eğri ile eksen arasındaki gerçek alanı bulmak ayrı bir iştir ve «İntegral ile alan hesabı» dersinde ele alınacak; şimdilik negatif bir sonucun hesap hatası olmadığını, eksenin altını gösterdiğini bilmek yeterli.

Değişken değiştirmede sınırlar

Bir önceki derste u = g(x) dönüşümüyle ilkel bulmayı gördük. Sınırlar eklenince yöntem aynı kalır, yalnız sınırlarla ilgili bir karar vermek gerekir. 0'dan 2'ye ∫ 3x² · √(x³ + 1) dx hesabında iç ifadeye u = x³ + 1 adı verilirse du = 3x² dx olur. Birinci yol sınırları da dönüştürmektir: x = 0 iken u = 1, x = 2 iken u = 9; hesap 1'den 9'a ∫ √u du = [(2/3) · u^(3/2)]₁⁹ = (2/3) · (27 − 1) = 52/3 olur ve x'e geri dönmeye gerek kalmaz. İkinci yol, ilkeli u cinsinden bulup x'e geri yazmak ve eski sınırları kullanmaktır: [(2/3) · (x³ + 1)^(3/2)]₀² = 18 − 2/3 = 52/3. Sonuç değişmez. Hata, ikisini karıştırınca doğar: u'ya geçip x'in sınırlarını, 1 ile 2'yi, olduğu gibi bırakmak bambaşka bir sayı üretir.

Hızdan yer değiştirmeye

Konumun türevi hızdır; o hâlde konum, hızın ilkel fonksiyonudur. Temel teorem bunu doğrudan çevirir: t₁'den t₂'ye ∫ v(t) dt = s(t₂) − s(t₁), yani hız fonksiyonunun integrali o zaman aralığındaki yer değiştirmeyi verir. Şevval'in bant hızı v(t) = 2 + t/120 m/s olarak modellenirse (t saniye), dört dakikalık koşu 0'dan 240'a ∫ (2 + t/120) dt = [2t + t²/240]₀²⁴⁰ = 480 + 240 = 720 metre eder. Kancadaki 660 ve 780 metrelik tahminlerin tam arasındadır. Hız bir süre negatif olursa, yani cisim geri dönerse, o bölümün katkısı eksi sayılır; integral bu durumda kat edilen toplam yolu değil, başlangıç ile bitiş arasındaki net konum farkını verir.

Bir sayıyı artık iki yoldan bulabiliyoruz: incelen dikdörtgenlerin limitiyle ya da bir ilkel fonksiyonun uçlardaki farkıyla. Sonraki derste sayıyı hesaplamadan önce integralin kendisi üzerinde işlem yapmayı öğreneceğiz: sınırların yerini değiştirmek, aralığı bir ara noktadan bölmek, simetrik aralıkta tek ve çift fonksiyonları tanımak, mutlak değerli ve parçalı fonksiyonları parça parça integrallemek.

Örnek 1 — Temel teorem

Soru: ∫₁³ (2x + 1) dx integralinin değeri nedir?

• A) I = 8
• B) I = 12
• C) I = 10
• D) I = 6
• E) I = 14

Çözüm: Bir ilkel fonksiyon x² + x'tir. [x² + x]₁³ = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10. Yalnız üst sınırdaki değeri yazıp duran öğrenci 12'yi, sınırların farkını 2 alıp integrandı 3'te hesaplayıp 2 · 7 = 14 yazan öğrenci de E'yi işaretler. Cevap: C.

Örnek 2 — Sağ uçlu dikdörtgenler

Soru: y = x² + 1 eğrisinin altındaki bölge, [0, 2] aralığı dört eşit parçaya bölünerek dikdörtgenlerle kaplanıyor; her dikdörtgenin yüksekliği parçanın sağ ucundaki değerden alınıyor. Dikdörtgenlerin toplam alanı kaçtır?

• A) S₄ = 5,75
• B) S₄ = 3,75
• C) S₄ = 11,5
• D) S₄ = 14/3
• E) S₄ = 4,75

Çözüm: Genişlik 2/4 = 0,5; sağ uçlar 0,5; 1; 1,5; 2. Yükseklikler 1,25; 2; 3,25; 5 ve toplamları 11,5'tir. Genişlikle çarpınca 11,5 · 0,5 = 5,75 bulunur. Genişlikle çarpmayı unutan 11,5'te, sol uçları kullanan (1 + 1,25 + 2 + 3,25) · 0,5 = 3,75'te kalır. Tam değer 8/3 + 2 = 14/3 ≈ 4,67'dir; f bu aralıkta arttığı için sağ uçlu toplam onu aşar. Cevap: A.

Örnek 3 — Sınırları dönüştürmek

Soru: 0'dan 1'e ∫ 6x · (x² + 1)² dx integralinin değeri nedir?

• A) 1
• B) 8
• C) 21
• D) 7
• E) 3

Çözüm: u = x² + 1 için du = 2x dx, dolayısıyla 6x dx = 3 du. x = 0 iken u = 1, x = 1 iken u = 2 olur. İntegral 1'den 2'ye ∫ 3u² du = [u³]₁² = 8 − 1 = 7'dir. Sınırları dönüştürmeden 0 ile 1'de bırakan öğrenci [u³]₀¹ = 1 bulur; alt sınırı hiç çıkarmayan da 8'de kalır. Cevap: D.

Örnek 4 — Hızdan yer değiştirme

Soru: Duran bir araç t = 0 anında harekete geçiyor ve hızı v(t) = 0,3t² m/s oluyor. İlk 10 saniyede aldığı yol kaç metredir?

• A) s = 300 m
• B) s = 30 m
• C) s = 60 m
• D) s = 150 m
• E) s = 100 m

Çözüm: Hız hep pozitif olduğundan yer değiştirme alınan yola eşittir. 0'dan 10'a ∫ 0,3t² dt = [0,1t³]₀¹⁰ = 100 m. Son hızı (30 m/s) süreyle çarpıp 300 bulmak, hızı sabitmiş gibi kabul etmektir; v(10) = 30'u doğrudan cevap sanmak da yerle hızı karıştırır. Cevap: E.

• Belirli integralin sonucuna + c eklemek. Sabit, üst ve alt sınırdaki değerlerin farkında birbirini götürür; sonuç tek bir sayıdır.
• Farkı ters almak. [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a); alt sınırdaki değerden üst sınırdakini çıkarmak işareti ters çevirir.
• Alt sınırdaki değeri sıfır sanmak. F(a) yalnız a = 0 ve F(0) = 0 olduğunda kaybolur; [x³ − 2x]₁² hesabında F(1) = −1'dir ve çıkarılınca +1 eklenmiş olur.
• Dönüşümden sonra eski sınırları kullanmak. u'ya geçildiyse sınırlar da u'ya çevrilir; çevrilmeyecekse önce x'e geri dönülür.
• Negatif sonucu alan diye okumak. Belirli integral işaretli alandır; eksenin altındaki parça eksi sayılır.
• Dikdörtgen toplamında genişliği unutmak. Riemann toplamı yükseklikler toplamı değil, yükseklik · Δx çarpımlarının toplamıdır.