Grafik çizimi

Şebnem, y = x³ − 3x² − 9x + 3 kuralının grafiği için üç değer hesaplıyor: x = −3'te −24, x = 1'de −8, x = 5'te 8. Her adımda değer 16 artıyor, üç nokta kusursuz biçimde aynı doğrunun üstüne düşüyor ve Şebnem cetvelini alıp eğik bir çizgi çekiyor. Arkadaşı Vedat −1 ve 3 apsislerini de deneyince tablo bozuluyor: bu iki noktada değerler 8 ve −24 çıkıyor. Eğri −1'de 8'e tırmanmış, 3'te −24'e inmiş, ardından yeniden yükselmiş. Seçilen noktalar tesadüfen dalganın tam ortasına denk gelmiş. Bu derste nokta seçmeyi şansa bırakmıyoruz: tanım kümesinden ikinci türeve kadar sıralı adımlarla, eğrinin döndüğü ve büküldüğü yerleri önceden bulup grafiği bir değişim tablosuna dökmeyi öğreniyoruz.

• Bir polinom ya da rasyonel fonksiyon için tanım kümesi, eksen kesişimleri, simetri, uç davranışı ve asimptotları sırayla bulursun.
• f' ve f'' işaretlerini tek bir değişim tablosunda birleştirip grafiğin artış, azalış ve çukurluk yönünü okursun.
• Üçüncü ve dördüncü dereceden polinomların grafik biçimini baş katsayıdan ve ekstremum sayısından tahmin edersin.
• f(x) = k denkleminin kök sayısını yatay doğruyla, f' grafiğinden de f'nin davranışını belirlersin.

Neden birkaç nokta yetmiyor

Kancadaki üç nokta yanıltıcıydı, çünkü bir eğrinin karakterini belirleyen noktalar rastgele seçilmiş apsislerde değil, türevin sıfırlandığı ya da işaret değiştirdiği yerlerde bulunur. «Artan ve azalan fonksiyonlar», «Ekstremum noktaları» ve «İkinci türev ve büküm» derslerinde bu yerleri tek tek bulmayı gördük; «Sonsuzda limit» dersinde de grafiğin uçlarda neye yaslandığını hesapladık. Grafik çizimi bunları belli bir sırayla bir araya getirmektir. Sıra şöyledir:

1. Tanım kümesi.
2. Eksenleri kestiği noktalar.
3. Simetri (tek ya da çift olup olmadığı).
4. Uçlardaki davranış ve asimptotlar.
5. f' ile artış-azalış aralıkları ve ekstremumlar.
6. f'' ile bükülme yönünün değiştiği yerler.
7. Değişim tablosu ve birkaç ek nokta.

İlk dört adım: grafiğin iskeleti

Tanım kümesi, eğrinin hangi apsislerde var olduğunu söyler. Polinomlar her gerçel sayıda tanımlıdır; rasyonel bir ifadede paydayı sıfırlayan değerler dışarıda kalır ve çoğu zaman orada bir dikey asimptot belirir. Eksen kesişimleri için x = 0 yazılır (y eksenini kestiği nokta) ve f(x) = 0 çözülür (x eksenini kestiği noktalar). Kökü kolay bulunmayan bir polinomda en azından işaret değişimine bakılır. Kancadaki fonksiyonun değeri −3'te negatif, −1'de pozitif; 0'da pozitif, 1'de negatif; 3'te negatif, 5'te pozitiftir. Bu üç işaret değişimi eğrinin x eksenini üç ayrı aralıkta kestiğini gösterir; sayısal hesap kökleri yaklaşık −2,06; 0,31 ve 4,76 olarak verir.

Simetri işi yarıya indirir. «Tek ve çift fonksiyonlar» dersinde gördüğümüz gibi f(−x) = f(x) ise grafik y eksenine göre, f(−x) = −f(x) ise orijine göre simetriktir. x⁴ − 2x² için sağ yarıyı çizip aynalamak yeter.

Uçlarda polinomun baş terimi karar verir: kancadaki kübik ifade sağa doğru sınırsız büyür, sola doğru sınırsız küçülür. Rasyonel fonksiyonda pay ve paydanın dereceleri yatay asimptotu belirler. Payın derecesi paydanınkinden tam bir fazla olduğunda eğrinin eğik bir doğruya yaklaştığı da olur; bu durum bu dersin kapsamında değildir.

Türevlerle yön ve bükülme

Beşinci adımda f'(x) = 0 çözülür ve f' işaretinin değiştiği noktalar ekstremum olarak işaretlenir. Kancadaki fonksiyonun türevi 3x² − 6x − 9 olur ve kökleri −1 ile 3'tür.

f' iki kökün dışında pozitif, arasında negatiftir. Eğri −1'e kadar yükselir, −1'den 3'e dek alçalır, sonra yeniden yükselir. Yerel maksimum (−1, 8), yerel minimum (3, −24) noktasıdır.

Altıncı adımda f''(x) = 6x − 6 bulunur. x < 1 için f'' < 0 ve grafiğin çukurluğu aşağı bakar (∩); x > 1 için f'' > 0 ve çukurluk yukarı döner (∪). İşaret x = 1'de değiştiği için (1, −8) büküm noktasıdır (inflection point). Konveks ve konkav sözcükleri kitaptan kitaba ters anlamda kullanıldığından burada «çukurluk yukarı / aşağı» deyişini tutuyoruz.

Değişim tablosu

Bulunanlar tek bir tabloda toplanır. Sütunlar kritik apsisler ve aralarındaki aralıklardır; satırlar f', f'' işaretlerini ve f'nin davranışını taşır:

Tabloya ek olarak birkaç nokta yazılır: (−3, −24), (−1, 8), (0, 3), (1, −8), (3, −24), (5, 8). Bu altı nokta ve tablodaki işaretler eğrinin biçimini sabitler. Şebnem'in üç noktasının neden aynı doğruya düştüğü de buradan anlaşılır: −3 ile 5 büküm apsisi 1'in iki yanında eşit uzaklıktadır ve f(−3) ile f(5) değerlerinin ortalaması büküm değeri −8'e eşittir.

Üçüncü derece polinomun biçimleri

«İkinci türev ve büküm» dersinde gördüğümüz gibi kübik bir polinomun bükülme yönü yalnız x = −b/(3a) apsisinde değişir ve eğri bu noktaya göre simetriktir. Çizim açısından asıl soru kaç tepe ve kaç çukur olacağıdır. f' ikinci dereceden olduğundan cevabı f'nin diskriminantı verir:

• f'nin iki farklı kökü varsa iki ekstremum vardır. a > 0 iken eğri önce yükselir, yerel maksimumdan iner, yerel minimumdan sonra yeniden yükselir; a < 0 iken sıra tersine döner. Büküm apsisi iki ekstremum apsisinin tam ortasına düşer: kancada (−1 + 3)/2 = 1.
• f'nin çift katlı kökü varsa ekstremum yoktur; eğri o noktada yatay teğetle düzleşir ve bükülür. x³ − 3x² + 3x örneğinde türev 3x² − 6x + 3 bir tam karedir ve tek kökü 1'dir; (1, 1) hem yatay teğetin değdiği nokta hem büküm noktasıdır.
• f'nin gerçel kökü yoksa ekstremum yine yoktur, eğri hep aynı yönde ilerler. x³ + x kuralının türevi olan 3x² + 1 hep pozitiftir; büküm orijinde, ama oradaki teğet yatay değildir.

Kübik bir polinomda yalnız bir tane yerel ekstremum bulunamaz: sayı 0 ya da 2 olur.

Dördüncü derece: W ve M

f(x) = x⁴ − 2x² çifttir ve x eksenini −√2, 0, √2 noktalarında keser. f'(x) = 4x³ − 4x ifadesi −1, 0 ve 1'de işaret değiştirir: (−1, −1) ve (1, −1) yerel minimum, (0, 0) yerel maksimum. f''(x) = 12x² − 4 ise x = ±1/√3'te işaret değiştirir; iki büküm noktasının ordinatı −5/9'dur. Pozitif baş katsayılı ve üç ekstremumlu bu biçim W harfine benzer; baş katsayıyı negatif yapan −x⁴ + 2x² grafiği aynı resmin x eksenine göre yansımasıdır ve M harfini andırır. Dördüncü derecede ekstremum sayısı 1 ya da 3'tür; x⁴ − 4x³ gibi bir fonksiyonda f' = 4x²(x − 3) sıfırda işaret değiştirmez, dolayısıyla tek ekstremum x = 3'tedir. Pozitif baş katsayılı her dördüncü derece polinom iki uçta da +∞'a gider; bu yüzden bir en küçük değeri vardır ve bu, yerel minimumların küçüğüdür.

Rasyonel fonksiyon ve asimptotlar

Örnek olarak (x + 1)/(x − 2) kuralıyla verilen f fonksiyonunu alalım. Tanım kümesi R − {2}'dir. Eğri x eksenini (−1, 0), y eksenini (0, −1/2) noktasında keser. Pay ile paydanın dereceleri aynı, baş katsayıları 1 ve 1 olduğundan yatay asimptot y = 1'dir; x → 2⁺ iken f → +∞, x → 2⁻ iken f → −∞ olduğundan x = 2 dikey asimptottur. Bölüm kuralı

f'(x) = −3/(x − 2)², f''(x) = 6/(x − 2)³

verir. f' hiçbir yerde sıfır değildir ve hep negatiftir: eğri (−∞, 2) ve (2, +∞) aralıklarının her birinde azalır, ekstremumu yoktur. f'' işareti x − 2'nin işaretini izler: solda çukurluk aşağı, sağda yukarı bakar. Bükülme yönü x = 2'de değişir, ama 2 tanım kümesinde olmadığı için orada büküm noktası yoktur. Ek noktalar: (−4, 1/2), (1, −2), (3, 4), (5, 2). Sol kol y = 1'in altından asimptota yaklaşır ve aşağı doğru dikey asimptota iner; sağ kol yukarıdan gelir ve y = 1'in üstünde kalır. Eğri asimptotların kesiştiği (2, 1) noktasına göre simetriktir.

Burada bir ayrıntı sık atlanır: f her iki aralıkta azalan olduğu hâlde bütün tanım kümesinde azalan değildir. f(1) = −2 ve f(3) = 4 değerlerinde apsis büyürken değer de büyümüştür.

f' grafiğinden f'yi okumak

Sınavlarda çoğu zaman f'nin kuralı yerine yalnız türevinin grafiği verilir. Bu grafiği okurken iki bilgi karıştırılmamalıdır. f' eğrisinin eksenin hangi yanında durduğu, f'nin artıp azaldığını gösterir. f' eğrisinin kendi eğimi ise f'' işaretidir ve f'nin çukurluk yönünü söyler. «Artan ve azalan fonksiyonlar» dersindeki tuzak burada yeniden kurulur: x ekseninin üstünde kalan ama alçalan bir f' grafiği görüldüğünde f yine artmaktadır; yalnız artış hızı yavaşlamaktadır.

f'(x) = x² − 2x − 8 parabolünü düşünelim: x eksenini −2 ve 4'te keser, tepe noktası (1, −9)'dur. f' −2'de eksiden artıya değil, artıdan eksiye geçer; f'nin −2'de yerel maksimumu, 4'te yerel minimumu vardır. f' grafiğinin en alt noktası x = 1'dedir; orada f'' işaret değiştirir ve f'nin büküm noktası x = 1'dedir. f' parabolünün tepe noktasını f'nin ekstremumu sanmak, bu tür sorularda sık düşülen bir hatadır.

Kök sayısını grafikle bulmak

f(x) = k denkleminin kaç çözümü olduğu, y = k yatay doğrusunun grafiği kaç noktada kestiği sorusudur. Değişim tablosu bunu doğrudan söyler. Kancadaki fonksiyonun yerel maksimumu 8, yerel minimumu −24'tür ve iki uç ±∞'a gider:

Parametre denklemin içine gömülüyse önce yalnız bırakılır: x³ − 3x² − 9x + 3 − k = 0 yazılmış bir denklem, k sağ tarafa geçirilince tabloyla okunur. k = 0 satırı, eksen kesişimlerinde bulduğumuz üç kökü doğrular. Rasyonel fonksiyonda da aynı fikir işler: k = (x + 1)/(x − 2) denklemi k = 1 dışındaki her k için tam bir çözüm verir, çünkü y = 1 yatay asimptottur ve iki kol da bu değere hiç ulaşmaz.

Grafiğin tepesi ile bir problemin en iyisi

Bu derste yerel maksimum ve minimumu eğrinin biçimini çizmek için kullandık. Sonraki ders aynı türev bilgisini bir soruya yöneltiyor: bir alan, bir maliyet ya da bir uzaklık tek bir değişkene bağlanıp fonksiyon olarak yazıldığında, o büyüklüğün izin verilen değerler arasında ulaşabileceği en yüksek ya da en düşük düzeyi bulmak. Orada yerel tepe ve çukurların yanında, değişkenin sınırlarında alınan değerler de yarışa giriyor.

Örnek 1 — Tablodan aralık seçmek

Soru: g(x) = x³ + 6x² + 9x − 4 kuralıyla verilen g, hangi aralıkta hem azalır hem de grafiğinin çukurluğu yukarı bakar?

• A) x ∈ (−3, −2)
• B) x ∈ (−2, −1)
• C) x ∈ (−1, +∞)
• D) x ∈ (−3, −1)
• E) x ∈ (−∞, −3)

Çözüm: g'(x) = 3x² + 12x + 9 türevi −3 ve −1'de sıfırlanır, bu iki kök arasında negatiftir; g, (−3, −1) aralığında azalır. g''(x) = 6x + 12 ifadesi x > −2 için pozitiftir. İki koşulun ortak kısmı (−2, −1) olur. A seçeneği azalış aralığının çukurluğu aşağı olan parçasıdır; D seçeneği yalnız birinci türeve bakar; C seçeneğinde çukurluk yukarıdır ama g artar. Cevap: B.

Örnek 2 — Rasyonel fonksiyonun iskeleti

Soru: p(x) = (3x + 2)/(x − 1) fonksiyonu için asimptotların kesim noktası ve p'nin tanım kümesindeki aralıklardaki davranışı hangi seçenekte doğru verilmiştir?

• A) (1, 3); her aralıkta artan
• B) (3, 1); her aralıkta azalan
• C) (1, −2); her aralıkta azalan
• D) (1, 3); her aralıkta azalan
• E) (−1, 3); her aralıkta azalan

Çözüm: Payda x = 1'de sıfırlanır, pay orada 5 olduğundan x = 1 dikey asimptottur. Dereceler eşit, yatay asimptot y = 3'tür. Kesim noktası (1, 3). Bölüm kuralında pay 3(x − 1) − (3x + 2) = −5 olur, payda (x − 1)² pozitiftir; türev her yerde negatiftir. B seçeneği koordinatların yerini değiştirir; C seçeneği yatay asimptot yerine p(0) = −2 değerini koyar. Cevap: D.

Örnek 3 — f' grafiğinden yargı

Soru: Bir f fonksiyonunun türevinin grafiği, x eksenini −2 ve 4 noktalarında kesen, kolları yukarı bakan ve tepe noktası (1, −9) olan bir paraboldür. f'nin yerel maksimum noktasının apsisi x₁, büküm noktasının apsisi x₂ ise x₁ + x₂ kaçtır?

• A) x₁ + x₂ = −3
• B) x₁ + x₂ = 5
• C) x₁ + x₂ = −1
• D) x₁ + x₂ = 2
• E) x₁ + x₂ = 3

Çözüm: f' −2'nin solunda pozitif, −2 ile 4 arasında negatiftir; f −2'de artmayı bırakıp azalmaya başlar, yerel maksimum x = −2'dedir. f' grafiğinin en alçak noktası x = 1'dir, f'' orada işaret değiştirir ve büküm x = 1'dedir. Toplam −2 + 1 = −1. B seçeneği yerel maksimumu 4'e koyar; D seçeneği büküm yerine türevin iki kökünü toplar. Cevap: C.

Örnek 4 — Yatay doğruyla kök sayısı

Soru: 2x³ + 3x² − 12x + 1 = k eşitliği üç farklı gerçel x için sağlanıyorsa k'nin alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

• A) 26 tam sayı
• B) 28 tam sayı
• C) 27 tam sayı
• D) 20 tam sayı
• E) 15 tam sayı

Çözüm: h(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 1 için türev 6x² + 6x − 12 olur ve kökleri −2 ile 1'dir. Yerel maksimum h(−2) = 21, yerel minimum h(1) = −6. Yatay doğrunun eğriyi üç kez kesmesi için bu iki değerin arasından geçmesi gerekir: −6 < k < 21. Bu aralıkta −5'ten 20'ye kadar 26 tam sayı vardır. B seçeneği uçları da sayar; oysa k = 21 ve k = −6 için doğru teğet olur ve iki kök kalır. D seçeneği yalnız pozitif değerleri sayar. Cevap: A.

• Rastgele noktaları birleştirmek. Türevin işaret değiştirdiği apsisleri bulmadan seçilen noktalar dalgayı atlayabilir; kancadaki üç nokta bir doğru gösteriyordu.
• f' grafiğinin tepesini f'nin ekstremumu sanmak. f' grafiğinin en yüksek ya da en alçak noktası f'nin büküm noktasıdır; f'nin ekstremumu f' grafiğinin x eksenini işaret değiştirerek kestiği yerdedir.
• f'' = 0 olan her noktayı büküm saymak. İşaret değişmiyorsa ya da nokta tanım kümesinde değilse büküm yoktur; (x + 1)/(x − 2) çukurluk yönünü x = 2'de değiştirir ama orada büküm noktası yoktur.
• Parçalı aralıklarda azalanı tüm tanım kümesine yaymak. f' < 0 iki ayrı aralıkta geçerliyse f her birinde azalır; R − {2} üzerinde azalan demek yanlıştır.
• Kök sayısında teğet durumu unutmak. k yerel ekstremum değerine eşitse yatay doğru o noktada teğet olur ve bir kök eksilir; aralık açık uçlu yazılır.