Maksimum-minimum problemleri

Ceyda'nın önünde kenarı 24 cm olan kare bir karton var. Dört köşesinden kenarı x olan birer kare kesecek, kenarları yukarı kıvırıp üstü açık bir kutu yapacak ve kutunun alabileceği en büyük hacmi soruyor. Hacmi x(24 − 2x)² diye yazıyor, türevi sıfırlıyor, iki kök buluyor: 4 ve 12. «Daha derin kesersem kutu daha çok alır» diye 12'yi seçiyor. Kâğıt üstünde denediğinde şaşırıyor: 12 cm'lik kareler kesilince tabana hiç karton kalmıyor, hacim sıfır. Öteki köke dönüp cevap kutusuna «4» yazıyor; oysa soru kesilecek kareyi değil hacmi, 1024 cm³'ü istiyordu. Türevi doğru alan bir öğrenci bu tür problemde iki yerden puan kaybeder: değişkenin hangi aralıkta anlamlı olduğunu ve sorunun tam olarak neyi sorduğunu atlayarak.

• Sözel bir problemde en büyüğü veya en küçüğü aranan niceliği seçer, kısıt denklemiyle onu tek değişkenli bir fonksiyona indirirsin.
• Değişkenin tanım aralığını problemin geometrisinden ya da bağlamından çıkarır, kritik noktaları ve uçları birlikte karşılaştırırsın.
• Kutu, silindir, uzaklık, sayı ve kâr problemlerinde bulunan değeri sorunun istediği niceliğe çevirerek cevabı yazarsın.

Problemden fonksiyona: altı adımlı şablon

«Ekstremum noktaları» dersinde fonksiyon hazır veriliyordu; bu dersin sorularında ise fonksiyonu öğrenci kurar. Sözel bir optimizasyon problemini çözerken şu sıra işe yarar:

1. Uç değeri aranan niceliği adlandır (hacim, alan, uzaklık, maliyet, kâr).
2. Bu niceliği tek bir değişkenle yaz. İki değişken çıkarsa aralarındaki kısıtı (sabit toplam, sabit hacim, eğri denklemi) kullanıp birini yok et.
3. Değişkenin alabileceği değerleri belirle: uzunluk pozitif olur, kesilen parça kartondan büyük olamaz.
4. Türevi al, sıfır yapan ya da tanımsız kılan noktaları bul.
5. Aralığın içindeki kritik noktaları ve varsa uçları karşılaştır.
6. Sorunun istediği büyüklüğü hesapla: bazen değişkenin kendisi, bazen fonksiyonun değeri, bazen bunlardan türeyen bir uzunluk.

Ceyda'nın kutusu üzerinden adımları izleyelim. Kesilen karenin kenarı x olunca kutunun tabanı kenarı 24 − 2x olan bir kare, yüksekliği x olur. Hacim V(x) = x(24 − 2x)²'dir. Tabanın kenarı pozitif kalmalı, x de pozitif olmalı; tanım aralığı 0 < x < 12 çıkar. Türev çarpım kuralıyla V'(x) = (24 − 2x)² − 4x(24 − 2x) = (24 − 2x)(24 − 6x) olur ve 12 ile 4'te sıfırlanır. 12 aralığın ucudur; kesimin artık yapılamadığı sınırı gösterir. İçeride tek aday x = 4 kalır. Uçlara yaklaşırken hacim sıfıra iner, 4'te ise V(4) = 4 · 16² = 1024 olur. Sorulan hacimse cevap 1024 cm³'tür; sorulan kesimin boyuysa 4 cm.

Aralığın uçları ve dış kökler

Kapalı aralıkta en büyük değerin bir uçta çıkabileceğini önceki iki dersten biliyoruz. Problemlerde aralık çoğu kez açık gelir, çünkü uçlar fiziksel olarak anlamsız bir şekle karşılık gelir: yüksekliği sıfır olan kutu, genişliği sıfır olan dikdörtgen. Bu durumda uçlardaki değeri yine de düşünmek gerekir. Fonksiyon her iki uca yaklaşırken içerideki aday değerin altında kalıyorsa (kutuda 0'a inmesi gibi), bulunan tek kritik nokta gerçekten en büyük değeri verir.

Bazen kısıt problemin içinden gelir. Bir atölye günde en çok 6 birim üretebiliyorsa ve kâr fonksiyonunun yerel maksimumu x = 9'da bulunuyorsa, 9 hiç aday olamaz; karşılaştırma [0, 6] aralığının uçları ve içerideki kritik noktalarla yapılır. Türevin kökünü bulup aralığa bakmadan seçenekle eşleştirmek, bu tür sorularda hazır bekleyen çeldiriciye gider.

Parabol yolu ile türev yolu

«Parabol ve grafiği» dersinde 40 metre telle duvar önüne çevrilen bahçenin en büyük alanını türevsiz, tepe noktasından bulmuştuk. İkinci dereceden her problem böyle çözülebilir ve türev aynı sonucu verir. Toplamı 20 olan iki gerçek sayıdan biri x ise öteki 20 − x olur. Çarpımları P(x) = x(20 − x) bir paraboldür; tepe noktası x = 10'dadır. Türevle bakınca P'(x) = 20 − 2x sıfırlandığında yine x = 10 çıkar ve en büyük çarpım 100 olur. Kareler toplamı x² + (20 − x)² ise kolları yukarı bakan bir paraboldür; türevi 4x − 40 aynı noktada sıfırlanır ve en küçük değer 200'dür.

Fark üçüncü dereceye çıkınca görülür. Toplamı 12 olan iki pozitif sayıdan birinin karesi ile ötekinin çarpımı x²(12 − x)'tir. Burada tepe noktası formülü yoktur; türev 24x − 3x² = 3x(8 − x) olur, aralıkta tek aday x = 8 kalır ve en büyük değer 64 · 4 = 256'dır. Eşit paylaştırma (6 ve 6) yalnız 216 verir. Sayıları ortadan bölmek her problemde doğru sezgi değildir.

Kısıtla değişken azaltma: silindir

Hacmi 54π cm³ olan kapalı bir silindirik kutu en az malzemeyle yapılmak isteniyor. En küçük yapılacak nicelik yüzey alanıdır: S = 2πr² + 2πrh. İki değişken var; hacim kısıtı πr²h = 54π eşitliğinden h = 54/r² bulunur. Yerine koyunca S(r) = 2πr² + 108π/r olur ve r > 0 aralığında incelenir. Türev 4πr − 108π/r² sıfırlandığında r³ = 27, r = 3 çıkar; bu durumda h = 6 olur ve S = 18π + 36π = 54π cm² bulunur. r sıfıra yaklaşınca ya da büyüdükçe S sınırsız arttığı için tek kritik nokta en küçük değeri verir; «İkinci türev ve büküm» dersindeki ikinci türev testi de aynı sonuca ulaşır: S''(3) = 4π + 216π/27 > 0. Yükseklik çapa eşit çıktı; bu oran kapalı silindirde her hacim için geçerlidir.

Uzaklıkta kare kökten kurtulmak

y = x² eğrisi üzerinde, (0, 2) noktasına en yakın noktayı arayalım. Eğri üzerindeki nokta (x, x²) ise uzaklık √(x² + (x² − 2)²) olur. Kökün türevi zahmetlidir. Uzaklık negatif olmadığı için, en küçük uzaklık ile uzaklığın karesinin en küçük olduğu yer aynıdır; bu yüzden d² = x⁴ − 3x² + 4 incelenir. Türevi 4x³ − 6x = 2x(2x² − 3) olur ve 0 ile ±√6/2 noktalarında sıfırlanır. x = 0 için d² = 4 olur; bu bir yerel maksimumdur, eğrinin tabanı (0, 2) noktasına yakın görünse de ondan uzaktır. x² = 3/2 için d² = 9/4 − 9/2 + 4 = 7/4 bulunur. En küçük uzaklık √7/2'dir ve iki noktada alınır. Son adımda karekök geri alınmalıdır: 7/4 uzaklığın karesidir.

Eğri altına yerleşen dikdörtgen ve kâr

y = 12 − x² parabolü ile x ekseni arasına, bir kenarı eksen üzerinde duran dikdörtgen yerleştirilsin. Simetri nedeniyle sağ üst köşe (x, 12 − x²) alınır; taban 2x, yükseklik 12 − x² olur. Alan A(x) = 24x − 2x³, aralık 0 < x < √12'dir. A'(x) = 24 − 6x² sıfırlanınca x = 2 bulunur ve alan 4 · 8 = 32 olur. Tabanı x yazıp 2'yi unutan çözüm alanı yarıya indirir.

Ekonomide de aynı şablon kullanılır. Varsayımsal bir atölyenin kârı K(x) = −x² + 25x − 100 olsun; x satılan ürün sayısıdır. Tepe x = 12,5'te bulunur, ama yarım ürün satılamaz. Tam sayılar arasında 12 ve 13 karşılaştırılır; ikisinde de kâr 56'dır. Değişkenin tam sayı olması gereken problemde türevin kökü bir tam sayı değilse, ona komşu iki tam sayı denenir.

Türevden fonksiyona geri dönmek

Bu derste hep fonksiyonu kurup türevini aldık. Bir atölyenin maliyeti x³ − 9x² + 12x + 100 olsun; türevi 3x² − 18x + 12, yani her ek birimin maliyetini veren marjinal maliyettir. Elinde yalnız bu türev olan biri maliyet fonksiyonunu geri kurabilir mi? Sabit gider 100 türev alınırken kaybolduğu için türevden geriye tek bir fonksiyon değil, birbirinden bir sabitle ayrılan bir fonksiyon ailesi çıkar. Türevi bilinen fonksiyonu bulma işi sıradaki dersin, belirsiz integralin konusudur.

Örnek 1 — Kapasiteli kâr

Soru: Varsayımsal bir atölyede x yüz adet ürünün satış geliri 60x bin TL, üretim maliyeti x³ − 9x² + 12x + 100 bin TL'dir. Atölye en çok 1200 adet üretebiliyorsa elde edilebilecek en büyük kâr kaç bin TL'dir?

• A) yüz adet sayısı 8
• B) kâr = 44
• C) kâr = 448
• D) kâr = 348
• E) kâr = 384

Çözüm: Kâr gelirden maliyetin çıkarılmasıyla bulunur: K(x) = −x³ + 9x² + 48x − 100, aralık 0 ≤ x ≤ 12. K'(x) = −3x² + 18x + 48 = −3(x − 8)(x + 2) olur; −2 aralık dışındadır. Adaylar K(0) = −100, K(8) = −512 + 576 + 384 − 100 = 348 ve K(12) = 44'tür. En büyüğü 348'dir. A seçeneği kârı değil üretim düzeyini verir; B kapasite ucuna bakar; C sabit gider 100'ü çıkarmayı unutur. Cevap: D.

Örnek 2 — Eğri üzerinde en yakın nokta

Soru: y = √x eğrisi üzerindeki noktaların (4, 0) noktasına olan en küçük uzaklığı kaçtır?

• A) d = √15/2
• B) d = 15/4
• C) d = 2
• D) d = 7/2
• E) d = √7

Çözüm: Eğrideki nokta (x, √x) için d² = (x − 4)² + x = x² − 7x + 16, x ≥ 0. Türev 2x − 7 olur, x = 7/2'de sıfırlanır ve d² = 49/4 − 49/2 + 16 = 15/4 çıkar. Sol uçta d² = 16 olduğundan daha büyüktür. Karekök alınınca d = √15/2 bulunur. B seçeneği kökü geri almayı unutur; D en yakın noktanın apsisini verir; C eğrinin (4, 2) noktasıyla ölçülen dik uzaklıktır. Cevap: A.

Örnek 3 — Üstü açık kutuda en az malzeme

Soru: Tabanı kare, üstü açık, hacmi 32 cm³ olan bir kutu yapılacaktır. Kullanılan kartonun alanı en az kaç cm² olur?

• A) alan = 64
• B) alan = 4
• C) alan = 32
• D) alan = 80
• E) alan = 48

Çözüm: Taban kenarı x, yükseklik h olsun. Kısıt x²h = 32, yani h = 32/x². Malzeme bir taban ile dört yan yüzdür: S = x² + 4xh = x² + 128/x, x > 0. S'(x) = 2x − 128/x² sıfırlanınca x³ = 64, x = 4 olur; h = 2 ve S = 16 + 32 = 48. x sıfıra yaklaşınca da büyüdükçe de S sınırsız arttığından bu değer en küçüktür. A seçeneği kutuyu kapalı sayıp tabanı iki kez yazar ve x = 4'te 2 · 16 + 32 bulur; B taban kenarıdır. Cevap: E.

Örnek 4 — Alanın en büyük olduğu anda çevre

Soru: y = 9 − x² parabolü ile x ekseni arasına, bir kenarı x ekseni üzerinde olan dikdörtgenler yerleştiriliyor. Alanı en büyük olan dikdörtgenin çevresi kaçtır?

• A) çevre = 20
• B) çevre = 12√3
• C) çevre = 12 + 4√3
• D) çevre = 12 + 2√3
• E) çevre = 18

Çözüm: Sağ üst köşe (x, 9 − x²), 0 < x < 3. Alan A = 2x(9 − x²) = 18x − 2x³; A' = 18 − 6x² sıfırlanınca x = √3 bulunur. Taban 2√3, yükseklik 6 olur. Çevre 2 · 2√3 + 2 · 6 = 12 + 4√3. B seçeneği çevre yerine en büyük alanı yazar; A çevrenin kendi en büyük değeridir (x = 1'de alınır) ve başka bir dikdörtgene aittir; D tabanı 2x yerine x alır. Cevap: C.

• Değişkeni bulup orada durmak. Soru hacim, alan ya da uzaklık istiyorsa x'in değeri ilk ara sonuçtur; seçeneklerde x hep hazır bekler.
• Tanım aralığını atlamak. Kutuda x = 12, kapasiteli kârda x = 9 türevin köküdür ama aday değildir; kök aralık dışındaysa en büyük değer çoğu zaman uçtadır.
• Her kritik noktayı aranan değer sanmak. y = x² eğrisinde x = 0 türevi sıfırlar ama (0, 2) noktasına en uzak yerel noktadır; adayların değerleri hesaplanıp karşılaştırılır.
• Uzaklığın karesini cevap yazmak. d² ile çalışmak hesabı kolaylaştırır; son adımda karekök alınmazsa 7/4 ya da 15/4 gibi bir seçeneğe düşülür.
• Simetrik dikdörtgende tabanı yarım almak. Köşe (x, y) ise taban 2x'tir; x alınırsa alan yarıya iner, çevre de değişir.
• Tam sayı koşulunu unutmak. Ürün, kişi, adet gibi niceliklerde türevin kökü kesirli çıkarsa komşu iki tam sayı denenir.