İkinci türev ve büküm

Turgay'ın bisiklet uygulaması, kalkıştan sonraki ilk dört saniyenin hızını metre/saniye cinsinden kaydetmiş: 0, 7, 12, 15, 16. Sayılara bakan arkadaşı «Hızlanmış işte» diyor. Turgay itiraz ediyor: «Hızlandım, ama her saniye bir öncekinden daha az hızlandım.» Artışlar gerçekten 7, 5, 3, 1 diye küçülüyor. İkisi de haklı. Arkadaşı hızın büyüdüğünü söylüyor; Turgay ise hızın ne kadar çabuk büyüdüğüne, yani hızın kendi değişim hızına bakıyor. Konumun türevi hızdı. Hızın türevi, başka bir deyişle konumun ikinci türevi, ivmedir: bu bisiklette pozitif, ama saniyeden saniyeye küçülüyor. Bu derste ikinci türevin hem fizikteki hem grafikteki anlamını, eğrinin hangi yöne büküldüğünü ve bükülme yönünün değiştiği noktaları inceliyoruz.

• İkinci türevi birinci türevin değişim hızı olarak yorumlar, konumdan hıza ve hızdan ivmeye geçersin.
• f''(x) işaretinden grafiğin çukurluk yönünü ve bu yönün değiştiği büküm noktalarını bulursun.
• f''(a) = 0 olan bir noktanın büküm noktası olup olmadığını işaret değişimiyle sınarsın.
• İkinci türev testiyle yerel ekstremumun türünü belirler, testin sonuç vermediği durumu tanırsın.

Eğimin de bir eğimi var

«Türev alma kuralları» dersinde f'' gösterimini yalnız hesap olarak gördük: birinci türevin kendisi de x'e bağlı bir fonksiyondur ve yeniden türetilebilir. Şimdi o hesaba bir anlam veriyoruz. f'(x), grafiğin x noktasındaki teğet eğimidir. f''(x) ise bu eğimin x arttıkça ne hızla değiştiğini söyler. x³ fonksiyonunun birinci türevi 3x², ikinci türevi 6x'tir. Eğim x = −2 noktasında 12, x = −1 noktasında 3, orijinde 0'dır; eğim sola doğru dikleşip sağa doğru yataylaşıyor, yani azalıyor. Bu bölgede f'' negatiftir. x > 0 tarafında eğim 3, 12, 27 diye büyür ve f'' pozitiftir. Fonksiyon iki bölgede de artandır; aradaki farkı, artışın hızlanıp hızlanmadığını, ikinci türev gösterir.

Konum, hız, ivme

«Türevin tanımı» dersinde konum fonksiyonu s(t) olan bir cismin anlık hızı v(t) = s'(t) diye tanımlanmıştı. Hızın türevi ivmedir: a(t) = v'(t) = s''(t). Kancadaki bisiklette hız v(t) = 8t − t² olarak modellenirse ivme a(t) = 8 − 2t olur. İlk dört saniye boyunca ivme pozitif ama küçülüyor; t = 4'te sıfıra iner. Hız hâlâ artıyordur, yalnız artış yavaşlamıştır. Birimler de bu zinciri izler: konum metre, hız m/s, ivme m/s².

Hız ile ivmenin işaretleri birlikte okununca cismin hızlanıp yavaşladığı anlaşılır. Burada «hızlanmak» hızın mutlak değerinin, yani süratin artması demektir. v ile a aynı işaretliyse sürat artar; zıt işaretliyse cisim yavaşlar. Geri geri giden (v < 0) bir cisme pozitif ivme uygulanırsa cisim frenlenir.

Çukurluk yönü

Bir aralıkta f''(x) pozitifse birinci türev o aralıkta artar: teğetler soldan sağa dikleşir. Eğri bu durumda yukarı doğru kıvrılır ve teğet doğrularının üstünde kalır; buna grafiğin çukurluğunun yukarı bakması denir. y = x² parabolü her yerde böyledir, çünkü ikinci türevi 2'dir. Bir aralıkta f''(x) < 0 ise eğim azalır, eğri aşağı kıvrılır, teğetlerinin altında kalır ve çukurluğu aşağı bakar; y = −x² bunun örneğidir.

Adlandırma kitaptan kitaba değişir. Çukurluğu yukarı bakan eğri için çoğu kaynak «konveks (dışbükey)», çukurluğu aşağı bakan için «konkav (içbükey)» der; bazı kaynaklarda ise bu iki sözcük ters anlamda kullanılır. Soruda bu sözcüklerden biri geçiyorsa önce metnin tanımına bak; «çukurluk yukarı / aşağı» ifadesi yanlış anlaşılmaz. İngilizce kaynaklardan gelen «konkav yukarı (∪) / konkav aşağı (∩)» deyişi de aynı ayrımı anlatır.

Çukurluk yönü artanlık ve azalanlıktan bağımsızdır. y = x² parabolü x < 0 için azalır, x > 0 için artar; ikisinde de çukurluğu yukarıdır. Artış-azalış birinci türevin işaretinden, kıvrılma yönü ikinci türevin işaretinden okunur.

Büküm noktası

Grafiğin çukurluk yönünün değiştiği ve fonksiyonun tanımlı ve sürekli olduğu noktaya büküm noktası denir; bazı kaynaklar dönüm noktası adını kullanır. f(x) = x³ grafiği x < 0'da aşağı, x > 0'da yukarı kıvrılır; (0, 0) bir büküm noktasıdır ve teğet orada eğriyi keser.

İki kez türevlenebilen bir fonksiyonda büküm noktasında f''(a) = 0 olmak zorundadır, ama bu eşitlik tek başına yetmez. f(x) = x⁴ için f''(x) = 12x² olur ve f''(0) = 0'dır. Yine de 12x² sıfırın iki yanında pozitiftir; grafik x = 0'ın her iki tarafında yukarı kıvrılır ve orada büküm yoktur. Belirleyici olan, ikinci türevin o noktada işaret değiştirmesidir. f''(x) = 20x²(x − 3) gibi çarpanlara ayrılmış bir ikinci türevde çift katlı kök (x = 0) işaret değiştirmez, tek katlı kök (x = 3) değiştirir; büküm yalnız x = 3'te olur. Bu yüzden f'' = 0 denkleminin kökleri bulunduktan sonra her kökün iki yanında ikinci türevin işareti tabloyla kontrol edilir.

Üçüncü dereceden polinomun büküm noktası

Kübik bir polinomun katsayıları en yüksek dereceli terimden başlayarak a, b, c, d (a ≠ 0) olsun. İkinci türev 6ax + 2b doğrusal ifadesidir ve tek kökü x = −b/(3a)'dır. Doğrusal bir ifade kökünde mutlaka işaret değiştirdiğinden her üçüncü dereceden polinomun tam bir büküm noktası vardır. f(x) = 2x³ − 6x² + 3 için −b/(3a) = 6/6 = 1 ve f(1) = −1 olur; büküm noktası (1, −1)'dir.

Bu nokta aynı zamanda grafiğin simetri merkezidir: büküm noktasının apsisi x₀ ise her h için f(x₀ + h) + f(x₀ − h) = 2f(x₀) sağlanır. Yukarıdaki örnekte f(1 + h) + f(1 − h) açıldığında h'li terimler birbirini götürür ve −2 kalır. Simetri sayesinde polinomun katsayıları bilinmeden bile bir değerden «aynalı» değere geçilebilir.

İkinci türev testi

f'(a) = 0 olan bir noktada teğet yataydır. «Ekstremum noktaları» dersindeki birinci türev testi, f'(x) işaretinin bu noktanın iki yanında nasıl değiştiğine bakıyordu. İkinci türev aynı soruya tek bir değerle cevap verebilir. f'(a) = 0 ve f''(a) > 0 ise eğri o noktada yukarı kıvrılan bir çukurun dibindedir: yerel minimum vardır. f'(a) = 0 ve f''(a) < 0 ise eğri tepeye ulaşmış ve aşağı kıvrılıyordur: yerel maksimum vardır.

x³ − 27x + 5 fonksiyonunda türev 3x² − 27 olur ve x = 3 ile x = −3'te sıfırlanır. İkinci türev 6x olduğundan f''(3) = 18 pozitiftir ve x = 3 yerel minimum verir; f''(−3) = −18 negatiftir ve x = −3 yerel maksimum verir. Değerler f(3) = −49 ve f(−3) = 59'dur.

Test sustuğunda

f'(a) = 0 ve f''(a) = 0 ise ikinci türev testi hiçbir şey söylemez. x⁴, −x⁴ ve x³ fonksiyonlarının üçünde de x = 0'da birinci ve ikinci türev sıfırdır; oysa birinde yerel minimum, birinde yerel maksimum, ötekinde büküm noktası vardır. Bu durumda birinci türev testine dönülür: f'(x) işareti a'nın iki yanında yazılır. Testin sustuğu nokta «ekstremum yok» demek değildir.

Parametreli sorular

Büküm noktası verilen bir polinomda bilinmeyen katsayı f''(x₀) = 0 denkleminden çıkar. Nokta koordinatıyla verilmişse ikinci denklem f(x₀) = y₀'dır. f(x) = x³ + ax² + 5x − 1 grafiğinin büküm noktasının apsisi 2 ise f''(2) = 12 + 2a = 0 ve a = −6 olur. Ters yönde de soru kurulabilir: dördüncü dereceden bir polinomun hiç büküm noktası olmaması, ikinci dereceden f''(x) ifadesinin hiç işaret değiştirmemesi demektir. Bunun koşulu diskriminantın sıfırdan büyük olmamasıdır; diskriminant tam sıfırsa f'' bir tam kare olur, çift katlı kökünde işaret değiştirmez ve büküm yine oluşmaz.

Bir sonraki adım

Artık bir fonksiyon için iki işaret tablosu kurabiliyoruz: birinci türevden artış-azalış ve ekstremumlar, ikinci türevden çukurluk yönü ve büküm noktaları. «Grafik çizimi» dersinde bu iki tabloyu aynı sayı doğrusuna yerleştirip tanım kümesi, eksenleri kestiği noktalar ve uçlardaki davranışla birleştirerek eğrinin kendisini kâğıda dökeceğiz.

Örnek 1 — Konumdan ivmeye

Soru: Bir cismin konumu s(t) = t³ − 6t² + 9t metredir. t = 3 saniyedeki ivmesi nedir?

• A) a(3) = 0 m/s²
• B) a(3) = 18 m/s²
• C) a(3) = 6 m/s²
• D) a(3) = −6 m/s²
• E) a(3) = 30 m/s²

Çözüm: Hız s'(t) = 3t² − 12t + 9, ivme s''(t) = 6t − 12'dir. t = 3'te ivme 18 − 12 = 6 m/s² olur. A seçeneği o anki hızdır (3 · 9 − 36 + 9 = 0): cisim duruyor ama ivmesi sıfır değil. B seçeneği −12 terimini unutur, E seçeneği onun işaretini çevirir. Cevap: C.

Örnek 2 — Çukurluğun aşağı baktığı aralık

Soru: f(x) = x⁴ − 54x² + 1 grafiğinin çukurluğu hangi aralıkta aşağı bakar?

• A) −3 < x < 0
• B) −3 < x < 3
• C) |x| > 3
• D) 0 < x < 3
• E) −3√3 < x < 3√3

Çözüm: Birinci türev 4x³ − 108x, ikinci türev 12x² − 108 = 12(x − 3)(x + 3) olur. İkinci türev −3 ile 3 arasında negatif, dışında pozitiftir; çukurluk (−3, 3) aralığında aşağı bakar. Büküm apsisleri −3 ile 3'tür, çünkü ikinci türev ikisinde de işaret değiştirir. C seçeneği çukurluğun yukarı baktığı bölgedir; E seçeneği ise birinci türevin kökleri olan ±3√3'ten kurulmuştur. Cevap: B.

Örnek 3 — Büküm noktası ve simetri

Soru: f(x) = 2x³ − 6x² + 3 grafiğinin büküm noktası hangisidir?

• A) (1, −1)
• B) (0, 3)
• C) (2, −5)
• D) (3, 3)
• E) (−1, −5)

Çözüm: İkinci türev 12x − 12'dir; sıfırı x = 1'dir ve doğrusal olduğu için orada işaret değiştirir. f(1) = 2 − 6 + 3 = −1. Kural olarak −b/(3a) = 6/6 = 1 de aynı apsisi verir. B ve C, f'(x) = 6x² − 12x = 0 denkleminin kökleridir; yani ekstremum noktalarıdır. D seçeneği formüldeki 3'ü unutup −b/a = 3 yazandan gelir. Cevap: A.

Örnek 4 — Parametre ve ikinci türev testi

Soru: g(x) = x³ + ax² − 24x fonksiyonunun türevi x = −2'de sıfırdır. Fonksiyonun x = −2'deki davranışı hangisidir?

• A) Yerel minimum, değeri 28
• B) Yerel maksimum, değeri 28
• C) Yerel maksimum, değeri −80
• D) Büküm noktası
• E) Yerel minimum, değeri −80

Çözüm: g'(x) = 3x² + 2ax − 24 olduğundan 12 − 4a − 24 = 0 ve a = −3 bulunur. g''(x) = 6x − 6 için g''(−2) = −18 < 0; ikinci türev testi yerel maksimum söyler. Değer g(−2) = −8 − 12 + 48 = 28'dir. −80 değeri öteki kritik nokta x = 4'teki yerel minimumdur. Cevap: B.

• f''(a) = 0 gördüğü yeri büküm noktası ilan etmek. x⁴'te f''(0) = 0 ama grafik iki yanda da yukarı kıvrılır. İşaret değişimini kontrol et; çift katlı kök işaret değiştirmez.
• Çukurluğu artanlıkla karıştırmak. f'' > 0, fonksiyonun değil eğimin arttığını söyler. Azalan bir fonksiyonun da çukurluğu yukarı bakabilir.
• İkinci türev testi sustuğunda «ekstremum yok» demek. Birinci ve ikinci türev aynı noktada sıfırsa üç sonuç da mümkündür; birinci türev testine dön.
• Hız ile ivmenin işaretini tek başına okumak. Pozitif ivme her zaman hızlanma değildir; v < 0 iken a > 0 cismi frenler.
• Konveks ve konkav sözcüklerine güvenmek. Kitaplar arasında anlamları tersine dönebilir; çukurluk yönünü ikinci türevin işaretinden kendin kur.