Ekstremum noktaları

Mihriban, x³ + 6x² + 12x − 2 kuralıyla verilen f fonksiyonunun türevini 3x² + 12x + 12 olarak buluyor, sıfıra eşitliyor ve tek kök olarak x = −2'yi elde ediyor. Defterine «x = −2'de yerel ekstremum var, değeri f(−2) = −10» yazıp sonraki soruya geçiyor. Cevap anahtarı ise «fonksiyonun ekstremumu yoktur» diyor. Türev doğru, denklem de doğru çözülmüş. Yanılgı, türevin sıfırlandığı yeri kendiliğinden bir tepe ya da çukur saymakta: türev 3(x + 2)² diye yazılabilir ve −2'nin solunda da sağında da artı işaretlidir. Eğri orada bir an yataylaşır, sonra tırmanmayı sürdürür. Bu derste bir noktanın gerçekten tepe ya da çukur olup olmadığını türevin işaretinden okumayı, aday noktaları eksiksiz listelemeyi ve kapalı bir aralıkta en büyük ile en küçük değeri bulmayı öğreniyoruz.

• Yerel ve mutlak maksimum-minimumu tanımından ayırt eder, ekstremum noktasını ve ekstremum değerini karıştırmadan yazarsın.
• Tanım kümesindeki kritik noktaları (f'(x) = 0 ya da f' tanımsız) eksiksiz listeler, birinci türev testiyle her birinin maksimum mu, minimum mu, hiçbiri mi olduğuna karar verirsin.
• Kapalı aralıkta kritik noktalardaki ve uçlardaki değerleri karşılaştırarak en büyük ve en küçük değeri bulursun.
• Ekstremum bilgisinden bilinmeyen katsayıları hesaplar, üçüncü dereceden polinomun ekstremum sayısını türevin diskriminantından okursun.

Parabolün tepesinden eğrinin tepelerine

«Parabol ve grafiği» dersinde y = ax² + bx + c eğrisinin tepe noktasını T(r, k) ile bulmuştuk: a > 0 iken eğrinin en alçak, a < 0 iken en yüksek noktasıdır. Bu dersin konusu olan ekstremum, o tepenin her fonksiyona genişletilmiş hâlidir. Üçüncü dereceden bir eğride tablo biraz karışır. x³ − 3x kuralının birkaç değeri:

Eğri x = −1 dolayında bir tepe yapar, x = 1 dolayında bir çukura iner, sonra sınırsız yükselir. x = −1'deki 2 değeri yakın komşularının hepsinden büyüktür; ama tablonun son sütunundaki 18 ondan büyüktür. Bu tepe yalnız kendi çevresinde en yüksek noktadır.

Yerel ve mutlak ekstremum

c noktasını içine alan ve tanım kümesinde kalan bir açık aralıkta her x için f(x) ≤ f(c) oluyorsa f, c'de yerel (bağıl) maksimum değerini alır. Aynı aralıkta her x için f(x) ≥ f(c) ise c'de yerel minimum vardır. İkisinin ortak adı yerel ekstremumdur. Sorular üç farklı şey isteyebilir: ekstremumun apsisi c, ekstremum değeri f(c) ve ekstremum noktası (c, f(c)). x³ − 3x için yerel maksimum noktası (−1, 2), yerel maksimum değeri 2'dir.

Karşılaştırma bütün tanım kümesinde (ya da soruda verilen aralıkta) yapılırsa söz konusu olan mutlak ekstremumdur: f(c) her f(x)'ten büyük ya da ona eşitse f(c) fonksiyonun en büyük değeri, her f(x)'ten küçük ya da ona eşitse en küçük değeridir. Parabolün tepesi hem yerel hem mutlak ekstremumdur. x³ − 3x ise gerçek sayılarda her iki yönde sınırsız gittiği için en büyük de en küçük de değere sahip değildir.

«Yerel» sözcüğünün ne kadar dar bir karşılaştırma anlattığını x + 1/x fonksiyonu açıkça gösterir. x = −1'de yerel maksimum değeri −2, x = 1'de yerel minimum değeri 2'dir. Maksimum değerin minimum değerden küçük çıkması bir çelişki doğurmaz; iki değer farklı komşuluklarda kıyaslanmıştır.

Adaylar: kritik noktalar

Pürüzsüz bir tepede teğet yataydır. Tepeye tırmanırken teğetin eğimi pozitif, inerken negatiftir; arada sıfırdan geçer. Türevli bir fonksiyonun yerel ekstremumunda bu yüzden f'(c) = 0 olur. Fakat eğri her yerde türevli olmayabilir. Mutlak değer fonksiyonu |x| orijinde sivrilir: soldan eğim −1, sağdan +1'dir ve f'(0) yoktur. Yine de f(0) = 0 fonksiyonun en küçük değeridir. Aday listesi bu iki türü birlikte içermelidir:

Kritik nokta: c, f fonksiyonunun tanım kümesinden alınmış olsun. f'(c) = 0 ise ya da türev c'de tanımsızsa c'ye kritik nokta denir.

«Tanım kümesinde» şartı göz ardı edilemez. x + 1/x için türev 1 − 1/x² olur ve x = 0'da tanımsızdır; ama 0 fonksiyonun tanım kümesinde olmadığı için kritik nokta sayılmaz, f(0) zaten hesaplanamaz. Açık aralığın içindeki her yerel ekstremum bir kritik noktadır. Tersi ise doğru değildir ve Mihriban'ın düştüğü yer burasıdır.

Birinci türev testi

«Artan ve azalan fonksiyonlar» dersinde f' > 0 olan aralıkta fonksiyonun arttığını, f' < 0 olan aralıkta azaldığını gördük. Bir kritik noktanın ne olduğuna bu bilgiyle, c'nin hemen solundaki ve hemen sağındaki türev işaretine bakarak karar verilir:

Çalıştığımız x³ − 3x örneğinin türevi çarpanlara ayrılır: 3(x − 1)(x + 1). Kökler arasından birer sayı denemek yeter: f'(−2) = 9, f'(0) = −3, f'(2) = 9. x = −1'de işaret artıdan eksiye döner, bu bir maksimumdur; x = 1'de eksiden artıya döner, bu bir minimumdur. f(x) = x³ için ise f'(x) = 3x² bulunur ve f'(−0,1) = f'(0,1) = 0,03 olur. Teğet x = 0'da yataydır ama işaret değişmez; fonksiyon o noktadan geçerken artmayı bırakmaz.

Türev çarpanlarına ayrılmışsa kısa yol vardır: tek katlı (ya da tek kuvvetli) çarpanın kökünde işaret değişir, çift kuvvetli çarpanın kökünde değişmez. Bir fonksiyonun türevi (x + 1)² ile (x − 3) çarpımı olsun; örneklem f'(−2) = −5, f'(0) = −3, f'(4) = 25 verir; x = −1'de ekstremum oluşmaz, x = 3 ise yerel minimumdur.

Test köşede de aynen işler. |x| için 0'ın solunda türev −1, sağında +1'dir; işaret eksiden artıya döndüğü için x = 0 yerel minimumdur.

Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer

Kapalı bir [a, b] aralığında sürekli olan fonksiyon bu aralıkta en büyük ve en küçük değerini mutlaka alır. Bu değerler ya aralığın içindeki bir kritik noktada ya da uçlardan birinde ortaya çıkar. Yöntem üç adımdır: (a, b) içindeki kritik noktaları bul; bu noktalarda ve a ile b'de fonksiyonun değerini hesapla; listeden en büyüğü ve en küçüğü seç. Burada işaret testine gerek kalmaz, çünkü adaylar doğrudan birbiriyle kıyaslanır.

x³ − 3x fonksiyonu [0, 2] aralığında incelensin. İçerideki tek kritik nokta 1'dir. Tablodan okunan üç aday değer sırasıyla 0, −2 ve 2'dir (x = 0, 1, 2). En büyük değer 2'dir ve bir uçta, x = 2'de alınır; en küçük değer −2'dir. [−2, 3] aralığında adaylar dörde çıkar: iki uç (−2 ve 3) ile iki kritik nokta (−1 ve 1). Değerleri −2, 18, 2 ve −2'dir. En büyük değer 18 yine bir uçtan gelir; en küçük değer −2 ise sol uçta ve x = 1 noktasında, iki kez alınır. Aralığın dışına düşen bir kritik nokta listeye hiç yazılmaz.

Ekstremum koşulundan katsayıya

«x = c'de yerel ekstremum var ve f(c) = k» bilgisi iki denklem demektir: f'(c) = 0 ve f(c) = k. Kuralı x³ + ax + b olan f, x = 1'de yerel ekstremuma sahip ve f(1) = 2 olsun. 3 + a = 0 eşitliği a = −3 verir; 1 − 3 + b = 2 eşitliği de b = 4. Bulduktan sonra bir kontrol gerekir: türev 3x² − 3 olur, bir onun tek katlı köküdür ve işaret eksiden artıya döner; gerçekten bir minimumdur. Bu kontrol formalite değildir. x³ + ax fonksiyonunun x = 0'da yerel ekstremumu istensin: f'(0) = a = 0 bulunur, ama a = 0 iken fonksiyon x³'e döner ve ekstremumu yoktur. Böyle bir a değeri hiç yoktur.

Üçüncü dereceden polinomda ekstremum sayısı

f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) için türev ikinci derecedendir: f'(x) = 3ax² + 2bx + c. «İkinci dereceden denklemler ve diskriminant» dersindeki Δ burada karar verir. Δ > 0 ise türevin iki farklı, tek katlı kökü vardır; her birinde işaret değişir ve fonksiyonun biri maksimum biri minimum olmak üzere iki ekstremumu olur. Δ = 0 ise kök çift katlıdır, işaret değişmez ve ekstremum yoktur; Mihriban'ın fonksiyonu bu durumdaydı. Δ < 0 ise türev hiç sıfırlanmaz ve yine ekstremum yoktur. Kübik polinomun ya iki ekstremumu vardır ya hiç yoktur; tek ekstremumlu kübik olmaz.

f(x) = x³ + 3x² + mx için f'(x) = 3x² + 6x + m ve Δ = 36 − 12m bulunur. m < 3 iken iki ekstremum vardır, m ≥ 3 iken hiç yoktur. Sınır değeri m = 3 «yok» tarafına düşer, çünkü o zaman türev, 3 ile (x + 1)² ifadesinin çarpımına iner.

Türevin türevine doğru

Bu derste bir kritik noktanın tepe mi çukur mu olduğuna, iki yanındaki f' işaretine bakarak karar verdik. Bir sonraki derste aynı karar türevin türevi f'' ile, yalnız c noktasındaki işaretinden veriliyor; o ikinci türev ayrıca eğrinin yukarı mı aşağı mı kıvrıldığını ve kıvrılma yönünün değiştiği büküm noktalarını da gösteriyor.

Örnek 1 — Yerel maksimum noktası

Soru: f(x) = x³ − 9x² + 24x − 10 fonksiyonunun yerel maksimum noktası hangisidir?

• A) (4, 6)
• B) (2, 10)
• C) (2, 0)
• D) (10, 2)
• E) (−1, −44)

Çözüm: Türev 3x² − 18x + 24 olup kökleri 2 ve 4'tür. Örneklem f'(0) = 24, f'(3) = −3, f'(5) = 9 verir; x = 2'de işaret artıdan eksiye döner: yerel maksimum. f(2) = 8 − 36 + 48 − 10 = 10, nokta (2, 10). A seçeneği yerel minimum noktasıdır; C seçeneği ordinat yerine türevin değerini yazar; D apsis ile ordinatın yerini değiştirir. Cevap: B.

Örnek 2 — Çift katlı kök

Soru: f(x) = x⁴ − 4x³ fonksiyonu için hangisi doğrudur?

• A) x = 0'da yerel maksimum, x = 3'te yerel minimum vardır.
• B) Yalnız x = 3'te yerel minimum vardır ve değeri −27'dir.
• C) Hem x = 0'da hem x = 3'te yerel minimum vardır.
• D) Yalnız x = 3'te yerel maksimum vardır ve değeri −27'dir.
• E) Fonksiyonun hiç yerel ekstremumu yoktur.

Çözüm: f'(x) = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3). Kritik noktalar 0 ve 3'tür. f'(−1) = −16 ve f'(1) = −8 olduğundan x = 0'ın iki yanında türev negatiftir; x² çarpanı çift kuvvetli olduğu için işaret değişmez, ekstremum yoktur. f'(4) = 64 > 0 olduğundan x = 3'te işaret eksiden artıya döner: yerel minimum, f(3) = 81 − 108 = −27. A seçeneği her kritik noktayı ekstremum sayar. Cevap: B.

Örnek 3 — Kapalı aralıkta uçlar

Soru: f(x) = 2x³ − 9x² + 12x fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki en büyük değeri ile en küçük değerinin farkı kaçtır?

• A) maks − min = 1
• B) maks − min = 5
• C) maks − min = 9
• D) maks − min = 4
• E) maks − min = 14

Çözüm: Türev 6x² − 18x + 12, yani 6(x − 1)(x − 2); her iki kritik nokta da aralığın içindedir. Adaylar: f(0) = 0, f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 54 − 81 + 36 = 9. En büyük değer 9 (x = 3), en küçük değer 0 (x = 0); ikisi de uçtadır. Fark 9 − 0 = 9. A seçeneği yalnız kritik noktalardaki 5 ile 4'ü karşılaştırır; B seçeneği en büyük değeri doğru bulur ama en küçük değer olarak sol ucu atlayıp yerel minimum 4'ü kullanır. Cevap: C.

Örnek 4 — Koşuldan iki katsayı

Soru: a ve b gerçek sayılardır. ax³ + bx² kuralıyla tanımlı fonksiyonun yerel ekstremum noktalarından biri (1, 2) ise b − a kaçtır?

• A) b − a = 10
• B) b − a = 4
• C) b − a = −10
• D) b − a = 2
• E) b − a = 8

Çözüm: Türev 3ax² + 2bx olur. Koşullar: f'(1) = 3a + 2b = 0 ve f(1) = a + b = 2. İkinci denklemin iki katı ilkinden çıkarılınca a = −4, ardından b = 6 bulunur. Kontrol: türev −12x² + 12x, yani −12x(x − 1); f'(0,5) = 3 > 0, f'(2) = −24 < 0, x = 1'de işaret artıdan eksiye döner, nokta gerçekten bir maksimumdur. b − a = 6 − (−4) = 10. B seçeneği bx²'nin türevini 2bx yerine bx yazan hatadan gelir (a = −1, b = 3); C seçeneği farkı ters sırayla alır. Cevap: A.

• f'(c) = 0'ı ekstremumun kendisi sanmak. x³ ve (x − 1)² çarpanlı türevlerde teğet yataydır ama işaret değişmez; karar her zaman iki yandaki işaretle verilir.
• Köşeleri aday listesine almamak. |x − 4| ya da |x² − 4x| gibi ifadelerde türevin tanımsız olduğu noktalar da kritik noktadır ve çoğu zaman ekstremumun tam yeridir.
• Tanım kümesi dışındaki noktayı kritik saymak. x + 4/x için x = 0 türevi tanımsız yapar ama fonksiyon orada yoktur; listeye girmez.
• Kapalı aralıkta uçları unutmak. En büyük ya da en küçük değer sıklıkla uçta çıkar; yalnız kritik noktaları karşılaştıran çözüm seçeneklerde hazır bekler.
• Nokta, apsis ve değeri karıştırmak. «Ekstremum noktası» (c, f(c)) ister, «ekstremum değeri» f(c), «nerede» sorusu c; üçü ayrı seçenek olarak dizilir.
• Katsayı bulduktan sonra kontrolü atlamak. f'(c) = 0 tek başına yetmez; bulunan katsayılarla türevin c'de işaret değiştirdiğini göster.