Artan ve azalan fonksiyonlar

Feyza, f(x) = x³ − x/2 fonksiyonu için −2'den 2'ye kadar tam sayılarda bir değer tablosu yapıyor: −7; −0,5; 0; 0,5; 7. Her satırda sayı büyüdüğü için defterine «f artandır» yazıyor. Sıra arkadaşı Gökhan iki değer daha hesaplıyor: f(−0,2) = 0,092 ve f(0,2) = −0,092. Soldaki girdi daha büyük çıktı vermiş; demek ki 0'ın çevresinde grafik bir süre aşağı iniyor. Tam sayılardaki tablo bu inişi göremedi, çünkü tablo yalnız seçilen noktalara bakar. Aralığın içindeki her noktayı birden yoklamanın yolu türevin işaretidir: bu derste f'(x)'in işaret tablosunu kurup bir fonksiyonun hangi aralıklarda yükseldiğini, hangilerinde alçaldığını kesin olarak bulacağız.

• Bir aralıkta artanlık ve azalanlığı x₁ < x₂ tanımıyla ifade eder, türevin işaretiyle ilişkilendirirsin.
• f'(x)'in işaret tablosunu kurarak polinom, rasyonel, üstel ve logaritmik fonksiyonların artan ve azalan aralıklarını tanım kümesiyle birlikte bulursun.
• Fonksiyonun her yerde ya da verilen bir aralıkta artan veya azalan olmasını sağlayan parametre değerlerini diskriminant ve işaret bilgisiyle hesaplarsın.
• Türev fonksiyonunun grafiği ya da çarpanları verildiğinde asıl fonksiyonun yönünü okur, artanlığı birebirlik ve ters fonksiyonun varlığıyla bağlarsın.

Tanım: girdi büyüyünce çıktı ne yapıyor

«Fonksiyon grafiği okuma» dersinde artanlığı göz kararıyla, grafiğin soldan sağa yükselmesi olarak tanımıştık. Kesin tanım şöyledir: I bir aralık olsun. I içindeki her x₁ < x₂ çifti için f(x₁) < f(x₂) oluyorsa f, I aralığında artandır; her x₁ < x₂ için f(x₁) > f(x₂) oluyorsa azalandır. Sabit fonksiyon ne artan ne azalandır.

Bu tanımı daha önce iki kılıkta kullandık. «Dizi kavramı» dersinde aₙ₊₁ − aₙ farkının işaretine bakmıştık; orada girdiler yalnız ardışık doğal sayılardı. «Üstel fonksiyon» dersinde aˣ'in artan ya da azalan oluşunu tabanın 1'den büyük ya da küçük olmasından okumuştuk. Şimdi istediğimiz şey, her fonksiyona uyan ve aralığın bütün noktalarını kapsayan tek bir ölçüt.

Kancadaki tablo ölçüt olamaz: beş noktada artış görmek, aralardaki sonsuz çoklukta noktayı garanti etmez. Tanımdaki «her x₁ < x₂» ifadesi tam olarak bu yüzden oradadır.

Teğetin eğiminden yönün kendisine

Önceki derste f'(a)'nın, grafiğin (a, f(a)) noktasındaki teğetinin eğimi olduğunu gördük. Eğimi pozitif olan bir doğru üzerinde x büyüdükçe y de büyür. Bir aralığın her noktasında teğet yukarı bakıyorsa grafik o aralıkta düşemez. Bunun kesin gerekçesi lise düzeyinde ispatsız kullanılan bir teoremdir: x₁ < x₂ iken iki noktayı birleştiren kirişin eğimi, (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁), aradaki en az bir c noktasında f'(c)'ye eşittir (ortalama değer teoremi). f' aralıkta hep pozitifse bu kesir de pozitiftir; paydası pozitif olduğu için f(x₂) > f(x₁) çıkar. Sonuç:

• I aralığının her noktasında f'(x) > 0 ise f, I üzerinde artandır.
• I aralığının her noktasında f'(x) < 0 ise f, I üzerinde azalandır.
• I üzerinde her yerde f'(x) = 0 ise f orada sabittir.

Kancadaki fonksiyona dönelim: f'(x) = 3x² − 1/2 ifadesi x² < 1/6 iken, yani yaklaşık −0,408 ile 0,408 arasında negatiftir. Gökhan'ın bulduğu iniş tam bu dar bölgededir.

İşaret tablosuyla aralıkları bulmak

Yöntem, «İkinci dereceden eşitsizlikler» dersinin ikinci yarısında kurduğumuz tablonun aynısıdır; tek fark, işaretine bakılan ifadenin f değil f' olmasıdır.

f(x) = x³ − 3x² − 24x + 5 fonksiyonunun türevini çarpanlarına ayıralım: 3x² − 6x − 24 = 3(x + 2)(x − 4). Kökler −2 ve 4. En sağ aralıkta baş katsayı pozitif olduğundan işaret «+»'dır; tek katlı köklerden geçerken değişir:

Fonksiyon (−∞, −2) ve (4, ∞) aralıklarının her birinde artan, (−2, 4) aralığında azalandır. f sürekli olduğundan uç noktaları köşeli parantezle yazmak da yanlış olmaz; bu derste aralıkları açık yazıyoruz, seçeneklerdeki yazımı da buna göre okumak gerekir.

Burada bir yazım inceliği var: «(−∞, −2) ∪ (4, ∞) birleşiminde artan» demek yanlıştır. f(−2) = 33 iken f(4,5) = −72,625 bulunur; soldaki nokta daha yüksektir. Artanlık aralık aralık söylenir, iki ayrı aralığın birleşimi tek bir artan bölge değildir.

Rasyonel fonksiyonda tanımsız nokta

f(x) = (x² + 15)/(x − 1) fonksiyonunda bölüm kuralı f'(x) = (x² − 2x − 15)/(x − 1)² = (x + 3)(x − 5)/(x − 1)² verir. Tabloya payın kökleri −3 ve 5'in yanında paydanın kökü 1 de yazılır, çünkü fonksiyon orada tanımsızdır ve aralıklar o noktada kesilir. (x − 1)² çift katlı olduğundan işaret 1'den geçerken değişmez:

f, (−3, 1) ve (1, 5) aralıklarının her birinde azalandır ama (−3, 5) diye tek parça yazılamaz: 1 tanım kümesinde değildir. «Fonksiyon türleri» dersinde 1/x için gördüğümüz durum aynıdır: türevi −1/x² olduğundan iki kolun her birinde azalır, oysa f(−1) = −1 < f(1) = 1.

Türevin tek bir noktada sıfır olması

f(x) = x³ için f'(x) = 3x² ifadesi 0'da sıfırdır, başka her yerde pozitiftir. Fonksiyon yine bütün gerçek sayılarda artandır: x₁ < x₂ ise x₁³ < x₂³ olur. Grafik 0'da bir an yataylaşır ama yön değiştirmez. Genel kural: f' bir aralıkta ≥ 0 ise ve yalnız tek tük noktalarda sıfırlanıyorsa (sıfır olduğu bir alt aralık yoksa) f yine artandır. Çift katlı kök tabloda işareti değiştirmediği için bu durum tablodan da okunur: x³ + 3x² + 3x fonksiyonunun türevi 3(x + 1)²'dir ve fonksiyon bütün ℝ'de artandır.

Her yerde artan olma şartı ve parametre

Türevi ikinci dereceden bir ifade olan bir fonksiyonun ℝ'nin tamamında artan olması, f'(x) ≥ 0 eşitsizliğinin her x için sağlanması demektir. Aynı M14 dersinde «her x için pozitif» şartını a > 0 ve Δ < 0 diye yazmıştık; burada ona bir eşitlik payı eklenir: baş katsayı a > 0 ve Δ ≤ 0. Eşitlik bu kez kabul edilir, çünkü Δ = 0 iken f' tek bir noktada sıfırlanır ve x³ örneğindeki gibi artanlık bozulmaz.

f(x) = x³ + mx² + 3x için f'(x) = 3x² + 2mx + 3 olur. Δ = 4m² − 36 ≤ 0 şartı −3 ≤ m ≤ 3 verir. m = 3 için f(x) = (x + 1)³ − 1 çıkar ve artandır; uç değerlerin dahil olduğu buradan da görülür. Baş katsayı bir parametre içeriyorsa, katsayının sıfır olduğu durum ayrıca denenir; o zaman f' ikinci dereceden olmaktan çıkar ve diskriminant şartı uygulanamaz.

Bir aralıkta azalanlık istenince bütün ℝ'ye bakılmaz. f(x) = x² − 2kx + 5 için f'(x) = 2(x − k) olur; fonksiyonun (−∞, 4) aralığında azalan olması, bu aralığın her noktasının k'nın solunda kalmasını ister: k ≥ 4.

Artanlık, birebirlik ve ters fonksiyon

Tanım kümesinin tamamında artan bir fonksiyon iki farklı girdiye aynı çıktıyı veremez; bu, «Fonksiyon türleri: birebir, örten, içine» dersinde yatay doğru testiyle gördüğümüz birebirliğin ta kendisidir. Türev bu yüzden birebirliği sınamanın hızlı bir yoludur. f(x) = x³ + 4x − 1 fonksiyonunun türevi 3x² + 4 her yerde pozitiftir; f birebirdir, ℝ'den ℝ'ye örtendir de, ve «Ters fonksiyon» dersindeki ölçüt gereği tersi vardır. Ters fonksiyonun kuralını yazmadan bile değer bulunur: f(1) = 4 olduğundan f⁻¹(4) = 1'dir.

Türev fonksiyonunun grafiğinden okuma

Bazı sorular f'yi değil, f' fonksiyonunun grafiğini verir. Bu grafikte bakılacak tek şey eğrinin x ekseninin üstünde mi altında mı olduğudur: türev eğrisinin eksenin üstünde kaldığı aralıklarda f artar, altında kaldığı aralıklarda f azalır. f' grafiğinin kendisinin yükselip alçalması f hakkında bu soruya cevap vermez. Kolları yukarı bakan, x eksenini 0 ve 4'te kesen bir f' parabolü 2'ye kadar alçalır, ama f fonksiyonunun yönünü belirleyen bu değil, parabolün (0, 4) bölgesinde eksenin altında kalmasıdır: f orada azalandır.

Yönün değiştiği noktalar

İlk tablodaki −2 ve 4 noktalarında f' işaret değiştirdi, grafik de yükselişten inişe ya da inişten yükselişe geçti. Bu noktaların her birinde f fonksiyonunun çevresindeki değerlere göre nasıl bir değer aldığını ve bu noktaları türevle nasıl adlandıracağımızı bir sonraki ders, ekstremum noktaları, ele alıyor.

Örnek 1 — Üçüncü dereceden polinom

Soru: f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 4 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık hangisidir?

• A) (−1, 2)
• B) (−2, 1)
• C) (1, ∞)
• D) (−∞, −2)
• E) (−2, 2)

Çözüm: f'(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x + 2)(x − 1). Baş katsayı pozitif olduğu için türev kökler arasında negatiftir: (−2, 1). A seçeneği köklerin işaretlerini ters çevirir; C ve D seçenekleri artan bölgelerdir. Cevap: B.

Örnek 2 — Payda sıfırı tabloda

Soru: f(x) = (x² + 5)/(x − 2) fonksiyonunun artan olduğu aralıklar hangileridir?

• A) (−1, 2) ve (2, 5)
• B) (−∞, 2) ve (2, ∞)
• C) (−∞, −1) ve (5, ∞)
• D) (−∞, −5) ve (1, ∞)
• E) yalnız (5, ∞)

Çözüm: Bölüm kuralıyla f'(x) = (2x(x − 2) − (x² + 5))/(x − 2)² = (x² − 4x − 5)/(x − 2)²; pay (x + 1)(x − 5) diye ayrılır. Tabloda −1, 2 ve 5 yer alır; paydadaki kare 2'de işareti değiştirmez. İşaretler soldan sağa +, −, −, + olur. A seçeneği azalan bölgeleri verir; D seçeneği payın köklerini yanlış işaretle alır. Cevap: C.

Örnek 3 — Her yerde artanlık için parametre

Soru: f(x) = x³ − mx² + 12x − 7 fonksiyonu bütün gerçek sayılarda artan olduğuna göre m'nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?

• A) 11 değer
• B) 13 değer
• C) 12 değer
• D) 7 değer
• E) 25 değer

Çözüm: f'(x) = 3x² − 2mx + 12 her x için ≥ 0 olmalıdır. Baş katsayı 3 > 0, Δ = 4m² − 144 ≤ 0, yani m² ≤ 36 ve −6 ≤ m ≤ 6. Bu aralıkta −6'dan 6'ya 13 tam sayı vardır. A seçeneği Δ < 0 yazarak ±6'yı dışarıda bırakır; oysa m = 6'da f' = 3(x − 2)² olur ve f yine artandır. Cevap: B.

Örnek 4 — Türevin çarpanları verildiğinde

Soru: Türevi f'(x) = (x − 4)(x + 5)(x − 2)² olan f fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık hangisidir?

• A) (−5, 4)
• B) (2, 4)
• C) (−∞, −5)
• D) (−5, 2)
• E) (4, ∞)

Çözüm: En sağda bütün çarpanlar pozitiftir. 4 tek katlı olduğundan işaret «−» olur; 2 çift katlı olduğundan «−» kalır; −5'ten geçerken «+» olur. f' bütün (−5, 4) aralığında ≤ 0'dır ve yalnız x = 2'de sıfırdır; bu tek nokta azalanlığı bozmaz. B ve D seçenekleri aralığı 2'de gereksiz yere böler. Cevap: A.

• Artan aralıkları birleşim sembolüyle tek bölge saymak. x³ − 3x² − 24x + 5, (−∞, −2) ve (4, ∞) aralıklarının her birinde artar; f(−2) = 33 > f(4,5) olduğundan birleşimde artan değildir.
• Türevin tek noktada sıfır olmasını yön değişimi sanmak. x³ ve x³ − 3x² + 3x + 7 bütün ℝ'de artandır; çift katlı kökte f' işaret değiştirmez.
• Parametre sorusunda Δ < 0 yazmak. f'(x) ≥ 0 istendiği için Δ ≤ 0 alınır; sınır değerleri dışarıda bırakan şık hazır bekler.
• Tanım dışı noktayı tablodan atmak. Rasyonel fonksiyonda paydanın kökü, logaritmalıda x > 0 sınırı tabloya girer; (−2, 2) gibi tanım kümesini aşan aralık yazılmaz.
• f' grafiğinin yükselişini f fonksiyonunun yükselişi sanmak. f fonksiyonunun yönü, f' grafiğinin eksenin üstünde ya da altında olmasıyla belirlenir, eğrinin eğimiyle değil.