Türevin geometrik anlamı ve teğet denklemi

Ayça, y = x³ − 3x grafiğini milimetrik kâğıda çizmiş, cetvelini (2, 2) noktasına dayamış. Cetvel orada eğriyi sıyırıyor, ne üstüne çıkıyor ne altına iniyor. Ayça kalemi cetvel boyunca sola doğru uzatınca çizgi aşağıda, (−4, −52) civarında eğriyi bir kez daha kesiyor. Sıra arkadaşı Batu hemen itiraz ediyor: «Teğet eğriye tek noktada değer; bu çizgi iki yerde buluşuyor, demek ki teğet değil.» Hangisi haklı? Cetvelin eğimi 9 çıkıyor, bu da f'(2)'nin değeriyle aynı. Bu derste eğrinin bir noktasındaki teğeti türevle kuruyor, Batu'nun «tek ortak nokta» ölçütünün nerede işleyip nerede çöktüğünü görüyoruz.

• Bir eğrinin verilen noktasındaki teğetin ve normalin denklemini fonksiyonun o noktadaki değerinden ve türevinden yazarsın.
• Eğimi ya da yönü verilen teğetin değme noktasını f'(x) = m denklemini çözerek bulursun.
• Eğri dışındaki bir noktadan çizilen teğetleri ve aynı noktada birbirine teğet olan iki eğrinin parametrelerini değer ve türev eşitlikleriyle hesaplarsın.
• Teğetin eksenlerle sınırladığı üçgenin alanını eksen kesimlerinden bulursun.

Bir nokta ve bir eğim: doğru hazır

«Türevin tanımı» dersinde kirişler (a, f(a)) noktasında dönüp bir sınır doğruya yerleşmişti ve bu teğetin eğimi f'(a) çıkmıştı. Bir doğruyu belirlemek için bir noktası ile eğimi yeterlidir; «Doğru denklemleri» dersindeki nokta-eğim biçimi y − y₁ = m(x − x₁) tam bu ikisini ister. Nokta (a, f(a)), eğim f'(a) olunca teğetin denklemi şöyle yazılır:

y − f(a) = f'(a) · (x − a).

Kancadaki eğri için f(x) = x³ − 3x ve a = 2 alalım. Değer f(2) = 8 − 6 = 2, türev f'(x) = 3x² − 3 olduğundan eğim f'(2) = 9'dur. Denklem y − 2 = 9(x − 2), düzenlenince y = 9x − 16 olur. Kontrol için x = 2 yazılır: 18 − 16 = 2, yani doğru gerçekten eğrinin o noktasından geçiyor. Eğimi sayısal olarak sınamak da kolaydır: x = 2,000001 ile x = 1,999999 arasındaki fark oranı 9'a milyonda birden yakın çıkar.

Bu formülde iki sayı farklı işler görür: f(a) doğrunun nereden geçtiğini, f'(a) ise ne kadar dik durduğunu söyler. Birini ötekinin yerine koymak en sık yapılan hatadır; ikisi de aynı a noktasında hesaplanır.

Teğet eğriyi yeniden kesebilir

Batu'nun itirazını cebirle sınayalım. Teğet ile eğrinin ortak noktaları x³ − 3x = 9x − 16 denkleminden gelir. Her şey sola toplanınca x³ − 12x + 16 = 0 olur ve bu ifade (x − 2)²(x + 4) çarpanlarına ayrılır. x = 2 çift kat köktür: doğru eğriye orada değiyor. x = −4 ise ayrı bir kesişimdir; f(−4) = −64 + 12 = −52 ve doğruda 9 · (−4) − 16 = −52. Ayça'nın cetveli gerçekten teğettir ve eğriyi uzakta bir kez daha keser.

«Parabol ile doğrunun durumu» dersinde teğetliği ortak denklemin Δ = 0 olmasıyla belirlemiştik. Orada ortak denklem ikinci dereceden olduğu için çakışık kök, tek ortak nokta demekti. Türev yolu bu yöntemin genellemesidir. Polinom eğrilerde değme noktası, eğri ile teğetin farkının her zaman çift kat köküdür; fark üçüncü ya da daha yüksek dereceden olunca yanında başka kökler de kalabilir. Bu yüzden teğeti «eğriye tek noktada değen doğru» diye tanımlamak yalnız parabolde işe yarar. Genel ölçüt, doğrunun eğimini eğrinin o noktadaki türevine eşitlemektir.

Normal: teğete dik doğru

Değme noktasından geçip teğete dik duran doğruya normal doğrusu (normal line) denir. «Doğrular arası ilişkiler» dersindeki diklik şartı m₁ · m₂ = −1 olduğundan normalin eğimi −1/f'(a) olur:

y = f(a) − (x − a)/f'(a) (türev sıfırdan farklıyken).

f(x) = √x eğrisine x = 4'te bakalım. f(4) = 2 ve f'(x) = 1/(2√x) olduğundan f'(4) = 1/4. Teğet y = x/4 + 1, normal ise eğimi −4 olan y = −4x + 18 doğrusudur. f'(a) = 0 olduğunda formül çalışmaz, çünkü teğet yataydır; ona dik olan normal x = a biçiminde dikey bir doğrudur. Bir parabolün tepesinde normal, simetri ekseninin ta kendisidir.

Eğimi verilen teğet

Soru bazen noktayı değil, eğimi verir: «y = 4x + 1 doğrusuna paralel teğet» ya da «eğimi 9 olan teğet». O zaman bilinmeyen değme noktasının apsisidir ve f'(x) = m denklemi çözülür. f(x) = x³ − 3x için 3x² − 3 = 9 eşitliğinden x² = 4 bulunur; eğimi 9 olan iki teğet vardır, biri x = 2'de, öteki x = −2'de değer. Parabolde ise f'(x) = m birinci dereceden bir denklemdir ve tek çözüm verir; M14'te bulduğumuz x = (m − b)/2a formülü bu denklemin çözümünden başka bir şey değildir.

Doğruya dik teğet istenirse eğim önce −1/m olarak çevrilir, sonra aynı denklem kurulur.

Yatay ve dikey teğet

f'(x) = 0 olan noktalarda teğet yataydır ve denklemi y = f(a) biçimindedir. f(x) = x³ − 3x eğrisinde 3x² − 3 = 0 eşitliğinin kökleri 1 ile −1'dir; teğetler y = −2 ve y = 2 doğrularıdır. Grafikte bu noktalar eğrinin yön değiştirdiği yerler gibi görünür, ama yatay teğetin varlığı tek başına bir dönüş garantisi değildir: y = x³ eğrisinin orijindeki teğeti y = 0'dır ve eğri orada yön değiştirmeden doğrunun bir yanından öbür yanına geçer.

Dikey teğet ise türevin sonlu bir sayı olmadığı yerde ortaya çıkar. «Türevin tanımı» dersindeki ∛x örneğinde fark oranı sınırsız büyüyordu; benzer biçimde √x eğrisi x = 0'da y eksenine yaslanarak başlar. Dikey doğrunun eğimi tanımsız olduğundan bu teğet nokta-eğim formülüyle yazılamaz; denklemi x = a biçimindedir.

Eğri dışındaki bir noktadan teğet

Verilen nokta eğrinin üzerinde değilse değme noktası bilinmez. Ona (t, f(t)) adı verilir, teğet bu noktada kurulur ve dışarıdaki noktanın bu doğruyu sağlaması istenir. f(x) = x² ve P(1, −3) için t noktasındaki teğet y − t² = 2t(x − t) olur. x = 1, y = −3 yazılınca −3 − t² = 2t − 2t², düzenlenince t² − 2t − 3 = 0 gelir ve kökleri 3 ile −1'dir. P'den iki teğet çıkar: y = 6x − 9 ve y = −2x − 1. İkisi de x = 1'de −3 değerini verir. Burada en sık hata, P'nin apsisini doğrudan türeve yazıp f'(1)'i eğim sanmaktır; P eğrinin üzerinde olmadığı için o sayının bu doğrularla bir ilgisi yoktur.

İki eğri aynı noktada teğet

İki eğri bir noktada birbirine teğetse orada aynı noktadan geçerler ve ortak bir teğet doğruları vardır. Bu iki şart iki denklem verir: f(a) = g(a) ve f'(a) = g'(a). Parametreli sorularda bu iki eşitlik, bilinmeyenleri bulmaya yetecek kadar bilgi taşır.

y = eˣ eğrisine başlangıç noktasından geçen bir y = mx doğrusu teğet olsun. Değme noktası t ise eᵗ = m · t ve eᵗ = m eşitlikleri birlikte sağlanmalıdır. İkincisini birincide yerine koyunca m = m · t, yani t = 1 ve m = e bulunur. Doğru y = ex, eğriye (1, e) noktasında dokunur.

Teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgen

Teğet iki ekseni de kesiyorsa koordinat eksenleriyle bir dik üçgen sınırlar. Dik kenarlar eksen kesimlerinin mutlak değerleridir: x eksenini kestiği yer y = 0 yazılarak, y eksenini kestiği yer x = 0 yazılarak bulunur ve alan bu iki uzunluğun çarpımının yarısıdır.

y = 1/x eğrisinde (a, 1/a) noktasındaki eğim −1/a²'dir ve teğet y = −x/a² + 2/a olur. Kesimler x = 2a ve y = 2/a çıkar; alan (1/2) · 2a · (2/a) = 2. Sonuç a'ya bağlı değildir: bu hiperbole hangi noktada teğet çizilirse çizilsin, eksenlerle oluşan üçgenin alanı 2 birimkaredir.

Üstel, logaritmik ve trigonometrik eğrilerde teğet

Önceki iki derste bulduğumuz türevler teğeti hemen verir. y = eˣ için x = 0'da değer ve eğim 1'dir, teğet y = x + 1 olur. y = ln x için x = 1'de değer 0, eğim 1'dir ve teğet y = x − 1 çıkar. Bu iki doğru y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir; ters fonksiyonların grafikleri gibi teğetleri de yer değiştirir. y = sin x eğrisinin orijindeki teğeti y = x'tir; küçük açılarda sin x ≈ x yaklaşımının grafikteki karşılığı budur. Bu noktalarda hesap kolaydır, çünkü e⁰ = 1, ln 1 = 0, sin 0 = 0 ve cos 0 = 1 sayıları denklemi sadeleştirir.

Eğimin işareti neyi söylüyor?

Bu derste f'(a)'yı hep tek bir noktada kullandık. Eğrinin üzerinde soldan sağa yürüdükçe teğet döner: eğimi pozitifken doğru sağa doğru yükselir, negatifken alçalır. Bir sonraki derste bu işaretin tek noktadan bir aralığa yayıldığında fonksiyon hakkında ne söylediğine bakıyoruz: f'(x) bir aralık boyunca pozitif kalırsa grafik orada yükselir mi, artan ve azalan bölgeler türevin işaret tablosundan nasıl okunur?

Örnek 1 — Değer ve eğim yerinde

Soru: f(x) = x³ − 2x² + 3 eğrisine apsisi 2 olan noktada çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) y = 4x + 3
• B) y = 3x − 2
• C) y = 4x − 5
• D) y = 4x − 8
• E) y = −x/4 + 7/2

Çözüm: Değer f(2) = 8 − 8 + 3 = 3. Türev f'(x) = 3x² − 4x olduğundan eğim f'(2) = 12 − 8 = 4. Nokta-eğim biçimi y − 3 = 4(x − 2) verir, düzenlenince y = 4x − 5. Kontrol: x = 2'de 8 − 5 = 3. A seçeneği f(2)'yi y eksenini kesme yeri sanır; B seçeneği değer ile eğimi yer değiştirir (y − 4 = 3(x − 2)); D seçeneği f(2)'yi hiç eklemez; E seçeneği teğetin değil normalin denklemidir. Cevap: C.

Örnek 2 — Normal ve x ekseni

Soru: f(x) = √x eğrisinin x = 4 noktasındaki normali x eksenini hangi noktada keser?

• A) (−4, 0)
• B) (9/2, 0)
• C) (7/2, 0)
• D) (12, 0)
• E) (4, 0)

Çözüm: f(4) = 2 ve f'(4) = 1/(2 · 2) = 1/4. Normalin eğimi bunun ters işaretli tersi olan −4'tür: y − 2 = −4(x − 4). y = 0 yazılınca −2 = −4x + 16 ve x = 18/4 = 9/2. A seçeneği teğetin x eksenini kestiği yerdir; C seçeneği normal eğimini +4 alır; D seçeneği eğimin yalnız işaretini çevirip −1/4 kullanır. Cevap: B.

Örnek 3 — Dışarıdaki noktadan iki teğet

Soru: (2, 0) noktasından y = x³ eğrisine çizilebilen teğetlerin eğimleri toplamı kaçtır?

• A) toplam = 12
• B) toplam = 9
• C) toplam = 54
• D) toplam = 0
• E) toplam = 27

Çözüm: Değme noktası (t, t³) olsun; oradaki teğet y − t³ = 3t²(x − t). (2, 0) noktasını yazınca −t³ = 6t² − 3t³, yani 2t³ − 6t² = 0 ve 2t²(t − 3) = 0 bulunur. t = 0'daki teğet y = 0 doğrusudur, eğimi 0; t = 3'teki teğetin eğimi 3 · 9 = 27'dir. İkinci teğet y = 27x − 54 olur ve gerçekten x = 2'de 0 verir. Toplam 0 + 27 = 27. A seçeneği (2, 0)'ı eğrinin üzerinde sanıp 3 · 2² yazar; D seçeneği yalnız yatay teğeti görür. Cevap: E.

Örnek 4 — Logaritmaya teğet parabol

Soru: f(x) = ax² + bx ve g(x) = ln x eğrileri x = 1 noktasında birbirine teğettir. Buna göre a − b farkı kaçtır?

• A) a − b = 0
• B) a − b = 1
• C) a − b = −2
• D) a − b = 2
• E) a − b = 3

Çözüm: İki şart kurulur. Değerler eşit: a + b = ln 1 = 0. Türevler eşit: 2a + b = 1/1 = 1. Birinciyi ikinciden çıkarınca a = 1, oradan b = −1 gelir. x² − x parabolü x = 1'de 0 değerini ve 1 eğimini taşır; böylece iki eğri de (1, 0) noktasından eğimi 1 olan y = x − 1 teğetiyle geçer. a − b = 1 − (−1) = 2. B seçeneği yalnız a'yı yazar; C seçeneği farkın işaretini ters alır. Cevap: D.

• Değerle eğimi yer değiştirmek. Teğetin geçtiği nokta (a, f(a)), dikliğini belirleyen sayı f'(a). Değeri eğim, eğimi y ekseni kesimi sanan seçenekler her soruda hazır bekler.
• Normalin eğimini yalnız işaret değiştirerek yazmak. Normal eğimi −1/f'(a)'dır; −f'(a) ya da 1/f'(a) yazmak dikliği bozar. f'(a) = 0 iken normal dikeydir: x = a.
• Eğri dışındaki noktayı değme noktası sanmak. Nokta eğrinin üzerinde değilse (t, f(t)) bilinmeyeniyle teğet kurulur ve nokta bu denkleme yazılır; noktanın apsisini türeve koymak yanlış eğim verir.
• «Tek ortak nokta» ölçütünü her eğriye taşımak. Δ = 0 yöntemi parabolde çalışır; kübik eğrilerde teğet eğriyi başka bir yerde yeniden kesebilir. Teğetlik türev eşitliğiyle denetlenir.
• İki eğrinin teğetliğinde tek şart kurmak. Yalnız f(a) = g(a) kesişim demektir; teğetlik için f'(a) = g'(a) şartı da gerekir.
• Üçgen alanında eksi uzunluk. Eksen kesimi negatif çıkabilir; kenar uzunluğu onun mutlak değeridir.