Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevi

Yeşim hesap makinesine (2^0,001 − 1)/0,001 yazıyor ve 0,6934 okuyor. Bu sayı, 2ˣ eğrisinin x = 0 civarındaki fark oranıdır: x yalnızca binde bir arttığında fonksiyonun ne kadar arttığının, bu artışa bölünmüş hâli. Aynı işlemi 3 tabanıyla yapınca 1,0992 çıkıyor. Biri 1'in altında, öteki üstünde. Yeşim'in aklına şu soru takılıyor: 2 ile 3 arasında, bu oranı tam 1 yapan bir taban var mı? Var, ve M16'da tanıdığımız e sayısının ta kendisi. Bu derste eˣ fonksiyonunun türevinin neden yine eˣ olduğunu, oradan aˣ, ln x ve log_a x türevlerine nasıl geçildiğini ve bunların zincir, çarpım, bölüm kurallarıyla nasıl birlikte çalıştığını görüyoruz.

• eˣ, aˣ, ln x ve log_a x fonksiyonlarının türevini yazar, her birinin gerekçesini fark oranından ya da taban değiştirmeden açıklarsın.
• e^(g(x)), a^(g(x)) ve ln g(x) biçimindeki bileşik ifadeleri zincir kuralıyla türetir, ln g(x) için g(x) > 0 şartını denetlersin.
• Logaritmanın çarpım, bölüm ve kuvvet özellikleriyle ifadeyi önce sadeleştirir, türevi daha kısa yoldan alırsın.
• Çarpım ve bölüm kuralını üstel ve logaritmik çarpanlarla birlikte uygular, türevin bir noktadaki değerini e ve ln içeren tam ifadeyle bulursun.

Üstel fonksiyonun fark oranı

f(x) = aˣ için x noktasında h kadar ilerleyelim. Üs kuralı a^(x + h) = aˣ · aʰ eşitliğini verir, bu yüzden fark oranı

(a^(x + h) − aˣ)/h = aˣ · (aʰ − 1)/h

biçiminde iki çarpana ayrılır. Birinci çarpan aˣ, h'ye bağlı değildir. İkinci çarpan (aʰ − 1)/h ise x'e bağlı değildir; yalnız tabana bağlıdır. h → 0 iken bu ikinci çarpanın limitine k(a) dersek türev f'(x) = aˣ · k(a) olur. Demek ki üstel bir fonksiyonun türevi fonksiyonun kendisiyle orantılıdır; orantı katsayısı tabandan gelir. k(a), kancadaki Yeşim'in hesapladığı oranın h küçüldükçe yerleştiği sayıdır:

2 için değerler 0,6931'e, 3 için 1,0986'ya yerleşir. Bunlar ln 2 ve ln 3'ün yaklaşık değerleridir. Tabanı e olan sütun ise 1'e iner. Lise düzeyinde e sayısının bu özelliği bir tanım gibi kullanılır: h → 0 iken (eʰ − 1)/h → 1.

Türevi kendisine eşit fonksiyon

k(e) = 1 olduğundan

(eˣ)' = eˣ

bulunur. Bu eşitliğin anlamı somuttur: eˣ grafiğinin her noktasında, fonksiyonun o andaki değişim hızı, o noktadaki değerine eşittir. x = 2'de fonksiyon e² ≈ 7,389 değerini alır ve x = 2'deki türevi de e²'dir. Bu özelliği taşıyan fonksiyonlar yalnız c · eˣ biçimindekilerdir (c = 0 dahil); lise düzeyinde bu bilgi ispatsız kullanılır. Sabitle çarpım kuralı aynen işler: (5eˣ)' = 5eˣ.

Herhangi bir taban

aˣ'in türevini yazmak için tabanı e'ye çevirmek yeter. ln'in tanımından a = e^(ln a), dolayısıyla aˣ = e^(x · ln a) olur. «Zincir kuralı» dersindeki iç-dış ayrımıyla, dıştaki e üzeri türevi değişmeden kalır, içteki x · ln a'nın türevi ln a çarpanını ekler:

(aˣ)' = aˣ · ln a.

Tablodaki k(2) ≈ 0,6931 = ln 2 bu formülün sayısal yüzüdür. Taban 1'den küçükse ln a negatiftir ve türev negatif çıkar: ((1/2)ˣ)' = −(1/2)ˣ · ln 2. Bu, (1/2)ˣ'in azalan olmasıyla uyumludur. Burada sık yapılan hata kuvvet kuralını üstel fonksiyona uygulamaktır: x · 2^(x − 1) yanlıştır, çünkü değişken üstte durmaktadır ve kuvvet kuralı yalnız xⁿ gibi tabanı değişken, üssü sabit ifadeler içindir.

Üste bir fonksiyon geldiğinde

Üs yalnız x değil de bir g(x) ise zincir kuralı iç türevi ekler:

(e^(g(x)))' = e^(g(x)) · g'(x), (a^(g(x)))' = a^(g(x)) · ln a · g'(x).

e^(x² − 3x) için türev e^(x² − 3x) · (2x − 3) olur; x = 3'te üs 0'dır ve türev değeri 1 · 3 = 3 bulunur. 3^(2x + 1) için türev 3^(2x + 1) · ln 3 · 2'dir; x = 0'da 3 · ln 3 · 2 = 6 ln 3 çıkar. Üsteki ifade ne kadar karışık olursa olsun, türevde üstel çarpan aynen yazılır; değişen yalnız yanına gelen çarpanlardır.

Doğal logaritmanın türevi

ln x, eˣ'in ters fonksiyonudur ve bu ilişki türevini de belirler. M12'deki ters fonksiyon dersinde grafiklerin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu görmüştük. eˣ grafiğindeki (t, eᵗ) noktasında değişim hızı eᵗ'dir. Simetride bu nokta ln x grafiğindeki (eᵗ, t) noktasına gider, yatay ve dikey artışlar yer değiştirir, oran da tersine döner: 1/eᵗ. Bu noktada x = eᵗ olduğu için oran 1/x'tir:

(ln x)' = 1/x, x > 0.

Sayısal sınama aynısını söyler: x = 2 noktasında (ln 2,001 − ln 2)/0,001 ≈ 0,49988 bulunur, yani 1/2'ye çok yakın. Şart önemlidir: ln x yalnız pozitif x için tanımlıdır, dolayısıyla türevi de yalnız orada sorulabilir.

Başka tabanda logaritma

M16'daki taban değiştirme kuralı log_a x = ln x / ln a eşitliğini verir. ln a bir sabit olduğu için

(log_a x)' = 1/(x · ln a)

bulunur. Onluk logaritmada (log x)' = 1/(x · ln 10) olur. Paydadaki ln a, üstel türevde paya gelen ln a'nın aynası gibidir: biri çarpar, öteki böler.

İçeride bir fonksiyon: ln g(x)

İç fonksiyonun pozitif kaldığı (g(x) > 0) her x değerinde

(ln u)' = u'/u, burada u = g(x).

Kural kolay hatırlanır: iç fonksiyonun türevi paya, kendisi paydaya yazılır. ln(x² + 1) için 2x/(x² + 1); ln(3x − 6) için 3/(3x − 6) = 1/(x − 2) bulunur ve ikincisi yalnız x > 2'de anlamlıdır. Payda sıfırı ya da g'nin negatif olduğu bir noktayı türev formülüne yazmak sonuç gibi görünen bir sayı üretebilir; bu yüzden türev değeri istenen noktanın önce tanım kümesinde olup olmadığına bakılır.

Bir sürpriz: ln(5x) için türev 5/(5x) = 1/x'tir, yani ln x ile aynıdır. Nedeni logaritmanın çarpım özelliğidir: ln(5x) = ln 5 + ln x ve ln 5 sabittir.

Önce sadeleştir, sonra türet

Logaritma özellikleri türevi kısaltır. ln((x² + 1)³) için zincirle 3(x² + 1)² · 2x/(x² + 1)³ yazılabilir, ama kuvvet özelliğiyle ifade 3 ln(x² + 1) olur ve türev hemen 6x/(x² + 1) çıkar. ln(x/(x + 1)) için bölüm kuralı yerine ln x − ln(x + 1) yazılır; türev, ln x teriminden gelen 1/x ile ln(x + 1) teriminden gelen 1/(x + 1) arasındaki farktır; ortak paydada 1/(x(x + 1)) olur.

Bu sadeleştirme tanım kümesine dikkat ister. x/(x + 1) > 0 şartı x < −1 ya da x > 0 verir, ama ln x − ln(x + 1) yazımı yalnız x > 0'da geçerlidir. x < −1 bölgesinde ifade ln(−x) − ln(−x − 1) biçimindedir; türevi yine 1/(x(x + 1)) çıkar. Yani bulunan türev formülü iki bölgede de doğrudur, sadeleştirme adımı ise yalnız birinde yazılabilir. Sınavda önce tanım kümesini bulmak bu ayrımı görünür kılar.

Çarpım, bölüm ve zincir birlikte

Türev alma kuralları dersindeki çarpım ve bölüm kuralları burada aynen geçerlidir; yeni olan yalnız çarpanların türevleridir:

• (x · eˣ)' = eˣ + x · eˣ = eˣ(x + 1).
• (eˣ/x)' = (eˣ · x − eˣ · 1)/x² = eˣ(x − 1)/x².
• (x² · ln x)' = 2x · ln x + x² · (1/x) = 2x · ln x + x.

Sonuçlarda eˣ çarpanını ortak paranteze almak, sonraki adımlarda ifadeyi okumayı kolaylaştırır.

Bir noktada türev değeri

Sorular çoğu zaman türevin kendisini değil, bir noktadaki değerini ister. e ve ln içeren noktalar özellikle seçilir, çünkü ln e = 1, ln 1 = 0 ve e⁰ = 1 hesabı sadeleştirir. f(x) = x² · ln x için f'(e) = 2e · ln e + e = 3e bulunur. Cevap genellikle 3e, 2 ln 5 ya da 1/(2e²) gibi tam ifadedir; ondalık yaklaşığa çevirmek seçeneklerle karşılaştırmayı zorlaştırır.

Değişken hem tabanda hem üste

xˣ gibi bir ifadede ne kuvvet kuralı ne de üstel kural tek başına işler. Tabanı e'ye çevirerek xˣ = e^(x · ln x) yazılır (x > 0) ve zincirle türev xˣ · (ln x + 1) olur. x = 2'de bu 4(ln 2 + 1) eder. Bu tür ifadelerde çözümün bütün yükünü e tabanına yazma adımı taşır.

Türev değerinin grafikteki karşılığı

Bu dersin hesaplarında f'(a) hep bir sayı olarak çıktı: 3, 6 ln 3, 3e. Bir sonraki ders bu sayının grafikte nereye düştüğünü soruyor: eğrinin o noktadaki teğetinin eğimini ve eğimi bilinen teğetin denklemini nasıl kuracağımızı.

Örnek 1 — Üste ikinci dereceden ifade

Soru: h(x) = e^(x² − 4x) fonksiyonu için h'(1) kaçtır?

• A) h'(1) = 2/e³
• B) h'(1) = −2/e³
• C) h'(1) = −3/e³
• D) h'(1) = −2e³
• E) h'(1) = 1/e³

Çözüm: Zincir kuralıyla h'(x) = e^(x² − 4x) · (2x − 4). x = 1'de üs 1 − 4 = −3, iç türev 2 − 4 = −2'dir: h'(1) = −2 · e⁻³ = −2/e³. A seçeneği iç türevin işaretini kaçırır; C seçeneği iç türev yerine üssün kendisini yazar; E seçeneği zincir çarpanını hiç koymaz. Cevap: B.

Örnek 2 — Önce sadeleştirmek

Soru: F(x) = ln((x² + 1)³/x) fonksiyonu için F'(1) değeri nedir?

• A) F'(1) = 3
• B) F'(1) = 4
• C) F'(1) = 2
• D) F'(1) = 1/2
• E) F'(1) = −2

Çözüm: x > 0 bölgesinde ifade 3 ln(x² + 1) − ln x olarak yazılır. Türevi alınca 6x/(x² + 1) − 1/x elde edilir; x yerine bir yazıldığında 3 − 1 = 2 bulunur. A seçeneği − ln x teriminin türevini unutur; B seçeneği onu çıkarmak yerine ekler. Cevap: C.

Örnek 3 — Bölüm kuralı ve üstel pay

Soru: k(x) = eˣ/x olduğuna göre k'(2) kaçtır?

• A) k'(2) = e²/2
• B) k'(2) = 3e²/4
• C) k'(2) = −e²/4
• D) k'(2) = e²/4
• E) k'(2) = e²

Çözüm: k'(x) = (eˣ · x − eˣ)/x² = eˣ(x − 1)/x². x = 2'de e² · 1/4 = e²/4. A seçeneği k(2)'nin kendisidir; B seçeneği bölüm kuralındaki çıkarmayı toplama yapar; C seçeneği paydaki terimlerin sırasını ters kurar. Cevap: D.

Örnek 4 — Başka tabanda logaritma ve tanım kümesi

Soru: m(x) = log₂(x² − 5x + 6) için m'(4) kaçtır?

• A) m'(4) = 3/(2 ln 2)
• B) m'(4) = 3/2
• C) m'(4) = (3 ln 2)/2
• D) m'(4) = 1/(2 ln 2)
• E) m'(4) = 3/(4 ln 2)

Çözüm: Önce tanım kümesi: (x − 2)(x − 3) çarpımına ayrılan x² − 5x + 6 pozitif olmalıdır, bu da x < 2 ya da x > 3 demektir; x = 4 bu kümededir. Türev (2x − 5)/((x² − 5x + 6) · ln 2) olur. x = 4'te pay 3, iç ifade 2'dir: 3/(2 ln 2). B seçeneği ln 2 paydasını unutur, C seçeneği onu paya yazar. Cevap: A.

• Kuvvet kuralını üstel fonksiyona uygulamak. (2ˣ)' = x · 2^(x − 1) yazılmaz; değişken üstteyse türev 2ˣ · ln 2'dir.
• ln a çarpanının yerini karıştırmak. Üstel türevde ln a çarpar: (aˣ)' = aˣ · ln a. Logaritma türevinde böler: (log_a x)' = 1/(x · ln a).
• İç türevi unutmak. (e^(3x − 6))' = 3e^(3x − 6) ve (ln(x² + 4x))' = (2x + 4)/(x² + 4x); iç türev olmadan yazılan sonuç seçeneklerde hazır bekler.
• Tanım kümesi dışındaki noktada türev hesaplamak. ln g(x) için önce g(x) > 0 bölgesi bulunur; formül tanımsız noktada da bir sayı üretebilir.
• ln(x²) = 2 ln x eşitliğini her x için kullanmak. Bu sadeleştirme yalnız x > 0'da geçerlidir; ln(x²), x < 0 için de tanımlıdır.