Trigonometrik fonksiyonların türevi

Şenol, kareli defterine y = sin x grafiğini özenle çizmiş, eline bir cetvel alıp eğriye değdiriyor. Başlangıç noktasında cetvel 45 derecelik bir eğimle duruyor, yani eğim 1. Tepeye, x = π/2'ye kaydırınca cetvel yatay kalıyor; eğim 0. x = π'de eğri aşağı inerken eğim −1 oluyor, 3π/2'deki çukurda yine 0, 2π'de yeniden 1. Şenol bu eğimleri küçük noktalarla grafiğin altına işaretleyip birleştirince kâğıtta tanıdık bir dalga beliriyor: kosinüs. Rastlantı mı, yoksa sinüsün eğimi gerçekten her noktada kosinüse mi eşit? Bu derste sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın türevlerini tanımdan kuruyor, zincir kuralıyla birleştiriyor ve türevi bir noktada hesaplarken açının birimine dikkat ediyoruz.

• Sinüsün türevinin kosinüs, kosinüsün türevinin −sin x olduğunu türevin tanımı ile temel trigonometrik limitlerden gerekçelendirirsin.
• tan x ve cot x türevlerini bölüm kuralıyla türetir, iki biçimini de sorunun gerektirdiği yerde kullanırsın.
• sin(ax + b), sin²x, cos³x, tan(x²) gibi bileşik ifadelerin türevini zincir kuralı ve özdeşliklerle sadeleştirerek bulursun.
• Türevi bir noktada radyanla hesaplar, sinüs ve kosinüsün yüksek mertebeden türevlerini dörtlü döngüden okursun.

Eğimden doğan dalga

Kancadaki cetvel deneyi bir sezgi verir: sinüsün en dik çıktığı yerde kosinüs 1, sinüsün tepe ya da çukur yaptığı yerde kosinüs 0, sinüsün en dik indiği yerde kosinüs −1'dir. Beş noktalık bu eşleşme bir kanıt değildir; ama hangi sonucu aradığımızı söyler. Kanıtı türevin tanımı verir: h → 0 iken fark oranının, yani fonksiyondaki artışın h'ye bölümünün limiti f'(x)'tir.

(sin x)' için tanımdan gerekçe

Toplam-fark formülleri dersindeki açılım sin(x + h) = sin x · cos h + cos x · sin h biçimindedir. Fark oranının payına yerleştirip terimleri sin x ve cos x etrafında toplayalım:

[sin(x + h) − sin x]/h = sin x · (cos h − 1)/h + cos x · (sin h)/h.

x sabit tutuluyor, değişen yalnız h. Trigonometrik limitler dersinde iki sonuç elde etmiştik: h → 0 iken (sin h)/h kesri 1'e, (1 − cos h)/h kesri 0'a gider. Birinci terim sin x · 0'a, ikincisi cos x · 1'e yaklaşır. Böylece her gerçek x için

(sin x)' = cos x.

Bu iki limit radyan ölçüsüyle kurulmuştu; dolayısıyla elde ettiğimiz kural da yalnız x radyan olduğunda bu kadar yalındır.

Kosinüste işaret neden eksi?

Aynı yol kosinüse uygulanır. cos(x + h) = cos x · cos h − sin x · sin h açılımıyla fark oranı cos x · (cos h − 1)/h − sin x · (sin h)/h olur. İlk terim yine 0'a, ikincisi −sin x'e gider:

(cos x)' = −sin x.

Eksi işareti açılımdaki eksiden gelir ve grafikle de uyuşur: x = 0'dan hemen sonra kosinüs 1'den aşağı iner, yani eğimi negatiftir, −sin x de (0, π) aralığında negatiftir.

Tanjant ve kotanjant: bölüm kuralı

Tanjantı sinüsün kosinüse bölümü olarak yazıp türev alma kuralları dersindeki bölüm kuralını uygulayalım. Pay cos x · cos x − sin x · (−sin x) = cos²x + sin²x olur; temel özdeşlik bu toplamı 1'e indirir:

(tan x)' = 1/cos²x = 1 + tan²x.

İkinci biçim, 1/cos²x kesrinin (cos²x + sin²x)/cos²x olarak bölünmesinden çıkar. Kotanjant için cot x = cos x/sin x alınır; pay −sin²x − cos²x = −1 olduğundan

(cot x)' = −1/sin²x = −(1 + cot²x).

Bu kurallar fonksiyonun tanımlı olduğu yerde geçerlidir: tanjant için cos x ≠ 0, kotanjant için sin x ≠ 0 olmalıdır. Hangi biçimin seçileceğine soru karar verir. Türev değeri istenirken açının kosinüsü biliniyorsa 1/cos²x, ifade zaten tan x ile kurulmuşsa 1 + tan²x işi kısaltır. Tanjantın türevi her noktada en az 1'dir; grafiği tanımlı olduğu her aralıkta sürekli yükselir.

Zincirle birleşen trigonometri

Zincir kuralı dersindeki «dış türev çarpı iç türev» işlemi burada her adımda devreye girer. Sinüsün içinde doğrusal bir ifade varsa iç türev bir sabittir:

(sin(ax + b))' = a · cos(ax + b), (cos(ax + b))' = −a · sin(ax + b).

Örneğin (cos 5x)' = −5 sin 5x olur. Kuvvet dışarıda olduğunda zincirin dış halkası kuvvet kuralıdır. sin²x, (sin x)² demektir; türevi 2 sin x · cos x çıkar; bu çarpım, M15'te gördüğümüz iki kat açı eşitliği sayesinde sin 2x'e kısalır. cos³x için dış türev 3cos²x, iç türev −sin x'tir; çarpım −3cos²x · sin x olur. Kuvvet sinüsün içine girince sıra değişir: sin(x²) ifadesinde dış fonksiyon sinüs, iç fonksiyon x²'dir ve türev 2x · cos(x²) olur. sin²x ile sin(x²) yazıda birbirine çok benzer ama zincirin halkaları ters sıradadır. Tanjantta da aynı düzen işler: (tan(x²))' = 2x/cos²(x²), ya da diğer biçimiyle 2x · (1 + tan²(x²)).

Türev değeri ve açının birimi

Bir noktadaki türev istendiğinde önce türev fonksiyonu bulunur, sonra nokta yerine konur. f(x) = sin x için f'(π/6) = cos(π/6) = √3/2'dir. Buradaki π/6 bir radyan değeridir ve kuralların hepsi bu birimle kurulmuştur.

Açı derece olarak verilirse fonksiyon gerçekte g(x) = sin(πx/180) olur; çünkü x derecelik bir açı πx/180 radyana karşılık gelir. Zincir kuralı iç türev olarak π/180'i getirir: g'(x) = (π/180) · cos(πx/180). Trigonometrik limitler dersinde açı derece alınınca sinüsün x'e bölümü π/180'e yaklaşıyordu; o katsayı burada türevin önüne yerleşir. x = 30 derecede eğim yaklaşık 0,01511'dir, √3/2 ≈ 0,866 değil. Sınavda birim yazılmamışsa açı radyan okunur ve bu katsayı hiç görünmez.

Önce sadeleştir, sonra türev al

Trigonometrik ifadelerde özdeşlik çoğu zaman hesabın yarısını yapar. sin²x + cos²x ifadesinin türevini kuralla alalım: 2 sin x cos x − 2 cos x sin x = 0. Sonuç şaşırtıcı değildir; ifade her x için 1'e eşit bir sabittir ve sabitin türevi sıfırdır. Bu, kuralların birbiriyle tutarlı olduğunu gösteren küçük bir denetimdir.

Daha kalabalık bir örnek: sin⁴x − cos⁴x, iki kare farkı olarak (sin²x − cos²x)(sin²x + cos²x) biçiminde yazılır. İkinci çarpan 1'dir, birinci çarpan da iki kat açıdan −cos 2x'e eşittir. Türev doğrudan 2 sin 2x bulunur. Aynı sonuca dördüncü kuvvetlerin türevlerini tek tek alarak da ulaşılır, ama yol iki katı uzar ve işaret hatasına açıktır. Benzer biçimde sin x/(1 + cos x) kesrinde bölüm kuralının payı cos x + cos²x + sin²x = 1 + cos x olur; paydanın bir kopyası sadeleşir ve türev 1/(1 + cos x) kalır.

Yüksek mertebe: dört adımlık döngü

Sinüsten başlayıp art arda türev alalım: önce cos x, sonra −sin x, ardından −cos x; dördüncü adımda yeniden sin x gelir. Döngünün uzunluğu 4'tür; dolayısıyla (sin x)⁽ⁿ⁾ ifadesi n'nin 4'e bölümünden kalana bakılarak okunur. Kalan 0 ise sin x, 1 ise cos x, 2 ise −sin x, 3 ise −cos x. Kosinüs bu çemberde bir adım önden başlar; türevleri sırasıyla −sin x, −cos x, sin x ve yeniden cos x olur. İçeride ax varsa her türev bir a çarpanı daha ekler; (sin 2x)⁽¹⁰⁾ için 10'un 4'e bölümünden kalan 2'dir ve sonuç −2¹⁰ · sin 2x = −1024 sin 2x olur.

Ters trigonometrik fonksiyonların (arcsin, arctan) türevleri bu modülün kural listesinde yer almıyor; burada açılmıyor.

Bir adımda kendine dönen fonksiyon

Sinüs türev altında dört adımda başa döndü. Peki türevi doğrudan kendisine eşit olan bir fonksiyon var mıdır? 2ˣ gibi bir üstel fonksiyonun eğimi tabana nasıl bağlıdır ve logaritmanın eğimi neden 1/x ile ilgilidir? Bu sorular e sayısını türevin merkezine taşır; üstel ve logaritmik fonksiyonların türevi bu kuralları birbirine bağlayan adımdır.

Örnek 1 — Çarpımda kaybolan terim

Soru: f(x) = x · sin x + cos x olduğuna göre f'(π/3) kaçtır?

• A) f'(π/3) = π/3
• B) f'(π/3) = (1 − √3)/2
• C) f'(π/3) = √3 + π/6
• D) f'(π/3) = π/6
• E) f'(π/3) = 1/2

Çözüm: Çarpım kuralı x · sin x için sin x + x · cos x verir; cos x'in türevi −sin x'tir. Toplamda sin x terimleri birbirini götürür ve f'(x) = x · cos x kalır. cos(π/3) = 1/2 olduğundan f'(π/3) = π/6 bulunur. Kosinüsün türevini +sin x alan öğrenci 2 sin x + x cos x yazar ve C'ye düşer; x · sin x'in türevini yalnız cos x sanan, çarpım kuralını atlayıp cos x − sin x ile B'yi bulur. Sayısal kontrol: h = 10⁻⁶ ile simetrik fark oranı 0,523599 verir. Cevap: D.

Örnek 2 — Karenin içindeki zincir

Soru: f(x) = sin²(3x) için f'(π/12) değeri nedir?

• A) f'(π/12) = 1
• B) f'(π/12) = 6
• C) f'(π/12) = 3
• D) f'(π/12) = 3/2
• E) f'(π/12) = 3√3/2

Çözüm: Dış halka kare: 2 sin 3x. Ortadaki halka sinüs: cos 3x. En içteki 3x'in türevi 3. Çarpım 6 sin 3x cos 3x = 3 sin 6x olur. x = π/12'de 6x = π/2 ve sin(π/2) = 1 olduğundan f'(π/12) = 3'tür. İçteki 3'ü unutan sin 6x yazar ve A'ya, iki kat açıyı kullanmadan 6'yı bırakan B'ye düşer. Cevap: C.

Örnek 3 — Payda sadeleşen bölüm

Soru: f(x) = sin x/(1 + cos x) olduğuna göre f'(π/3) kaçtır?

• A) f'(π/3) = 2/3
• B) f'(π/3) = 1/2
• C) f'(π/3) = 4/9
• D) f'(π/3) = 3/2
• E) f'(π/3) = 2

Çözüm: Bölüm kuralının payı cos x · (1 + cos x) − sin x · (−sin x) = cos x + cos²x + sin²x = 1 + cos x olur. Payda (1 + cos x)²'dir; bir kopya sadeleşir ve f'(x) = 1/(1 + cos x) kalır. cos(π/3) = 1/2 için 1/(3/2) = 2/3 bulunur. Payda yalnız cos²x + sin²x = 1'i görüp cos x terimini atlayan 1/(1 + cos x)² = 4/9 ile C'ye, kesri ters çeviren D'ye gider. Cevap: A.

Örnek 4 — Onuncu türev

Soru: f(x) = sin 2x olduğuna göre f⁽¹⁰⁾(π/4) değeri kaçtır?

• A) f⁽¹⁰⁾(π/4) = 1024
• B) f⁽¹⁰⁾(π/4) = −512
• C) f⁽¹⁰⁾(π/4) = 0
• D) f⁽¹⁰⁾(π/4) = −20
• E) f⁽¹⁰⁾(π/4) = −1024

Çözüm: Her türev bir 2 çarpanı ekler ve sinüsü döngüde bir adım ilerletir. 10'un 4'e bölümünden kalan 2'dir; döngünün ikinci adımı −sin'dir. f⁽¹⁰⁾(x) = −2¹⁰ · sin 2x olur. x = π/4'te sin(π/2) = 1 ve sonuç −1024'tür. İşareti döngüden okumayan A'yı, katsayıyı 2 · 10 sanan D'yi seçer; C ise sinüs ile kosinüsü karıştırıp cos(π/2) = 0 yazmaktan gelir. Cevap: E.

• Kosinüsün türevinde eksiyi atlamak. (cos x)' = −sin x; işaret kaybolunca cevap genellikle ters işaretli çeldiriciye düşer.
• İç türevi unutmak. (sin 3x)' = 3 cos 3x'tir; cos 3x yazmak zincirin iç halkasını atlamaktır ve sonucu üç kat küçük bulur.
• sin²x ile sin(x²)'yi karıştırmak. İlkinin türevi 2 sin x cos x = sin 2x, ikincisininki 2x · cos(x²)'dir; halkaların sırası terstir.
• Açıyı derece okumak. (sin x)' = cos x yalnız radyanda geçerlidir. Derece ölçüsünde türevin önüne π/180 çarpanı gelir.
• Yüksek mertebede döngü adımını yanlış saymak. (sin x)⁽ⁿ⁾ için n'nin 4'e bölümünden kalana bakılır; kalan 0 iken sonuç sin x'in kendisidir, −sin x değil.