Zincir kuralı

Meltem deneme kitabında y = (2x + 1)³ fonksiyonunun türevini istiyor. Kuvvet kuralını hatırlıyor, üssü öne alıp bir azaltıyor ve 3(2x + 1)² yazıyor. Cevap anahtarında 6(2x + 1)² görünce emin olmak için parantezi açıyor: (2x + 1)³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1. Bu polinomun türevi 24x² + 24x + 6, yani 6(2x + 1)². Kendi sonucu her x değerinde tam yarısı kadar çıkmış. Kaybolan 2 çarpanı parantezin içinden geliyor: içerideki 2x + 1, x'ten iki kat hızlı değişiyor. Bu ders o çarpanın nereden geldiğini, bir fonksiyonun içine başka bir fonksiyon yerleştirildiğinde türevin hangi parçalardan kurulduğunu ve bunun tablo, ters fonksiyon ve bileşke denklemi sorularında nasıl kullanıldığını anlatıyor.

• Bileşke biçimindeki bir fonksiyonun dış ve iç parçasını ayırıp (f∘g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x) kuralıyla türevini alırsın.
• Kuvvet, kök ve kesir biçimindeki iç fonksiyonlar için [g(x)]ⁿ, √(g(x)) ve 1/g(x) türevlerini yazarsın.
• Tablo ile verilen f, g, f', g' değerlerinden ya da f(g(x)) = h(x) bilgisinden istenen türev değerini hesaplarsın.
• Ters fonksiyonun bir noktadaki türevini (f⁻¹)'(b) = 1/f'(a) ilişkisiyle bulursun.

Değişim hızları çarpılır

Kancadaki fonksiyonu iki adımda düşünelim. Önce u = 2x + 1 hesaplanıyor, sonra y = u³ bulunuyor. x bir birim arttığında u iki birim artar; bu, du/dx = 2 demektir. u'daki küçük bir artış da y'yi yaklaşık 3u² katı kadar değiştirir, yani dy/du = 3u². Bir zincirin halkaları gibi, x'teki değişim önce u'ya, oradan y'ye aktarılıyor ve her aşamada kendi katsayısıyla büyüyor. Sonuçta x arttıkça y'nin değişme hızı bu iki katsayının çarpımıdır: 3u² · 2 = 6(2x + 1)². Meltem yalnız ikinci halkayı hesaplamıştı.

Bu çarpımın gerekçesi türevin tanımından görülür. x'e küçük bir Δx artışı verilince u'da Δu, y'de Δy değişimi oluşur ve Δu sıfırdan farklıyken Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx) yazılabilir. Δx sıfıra giderken Δu da sıfıra gider; iki oranın limiti sırasıyla dy/du ve du/dx olur. Lise düzeyindeki bu açıklama, kuralın neden toplama değil çarpma içerdiğini gösterir.

Kuralın bileşke diliyle yazılışı

Bileşke fonksiyon dersinde f∘g'yi «önce g, sonra f» diye okumuştuk. Zincir kuralı bu okumanın türevdeki karşılığıdır. h = f∘g, yani her x için h(x) = f(g(x)) olduğunda

h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

olur: dış fonksiyonun türevi alınır, ama x'te değil iç fonksiyonun o anki değerinde hesaplanır; ardından iç fonksiyonun türeviyle çarpılır. Kuralı uygulamadan önce hangi fonksiyonun dışta, hangisinin içte olduğunu adlandırmak işin yarısıdır. h(x) = (x² + 1)⁴ için dış fonksiyon f(u) = u⁴, iç fonksiyon g(x) = x² + 1'dir. f'(u) = 4u³ ve g'(x) = 2x olduğundan h'(x) = 4(x² + 1)³ · 2x = 8x(x² + 1)³ bulunur. Aynı sonuca parantezi açarak da varılır, fakat dördüncü kuvveti açmak hem uzun hem hataya açıktır.

Leibniz gösterimi

Aynı kural değişken adlarıyla da yazılır: y = f(u) ve u = g(x) ise dy/dx = (dy/du) · (du/dx). Bu biçim, değer sorularında hangi sayının nereye konacağını açıkça gösterir. y = u⁴, u = x² + 1 ve x = 1 alalım. Önce u = 2 bulunur; dy/du = 4u³ ifadesi u = 2'de 32, du/dx = 2x ifadesi x = 1'de 2 değerini alır. Çarpım dy/dx = 64'tür ve 8x(x² + 1)³ formülü de x = 1'de 8 · 8 = 64 verir. dy/du hesaplanırken x'in değil u'nun yerine konduğuna dikkat et; kesirler sadeleşiyormuş gibi görünse de du birer sayı değildir, gösterim yalnız hatırlatıcıdır.

Kuvvet, kök ve kesir

En sık karşılaşılan iç içe biçim bir ifadenin kuvvetidir. Türev alma kurallarında xⁿ için gördüğümüz kural, x'in yerinde bir g(x) durduğunda bir çarpan kazanır:

[g(x)]ⁿ ifadesinin türevi n · [g(x)]^(n−1) · g'(x)'tir.

Kök de bir kuvvettir: √(g(x)) = [g(x)]^(1/2) yazılırsa türev (1/2) · [g(x)]^(−1/2) · g'(x), yani g'(x)/(2√(g(x))) olur. Formülün geçerli olduğu yer, kök içinin pozitif kaldığı noktalardır; kök içi sıfır olduğunda payda sıfırlanır ve türev bu formülle bulunamaz. Örneğin y = √(x² + 9) için y' = 2x/(2√(x² + 9)) = x/√(x² + 9) olur ve x = 4'te 4/5 değeri çıkar.

Kesir biçimi de aynı kalıba girer: 1/g(x) = [g(x)]^(−1) olduğundan türevi −g'(x)/[g(x)]² olur; g(x) ≠ 0 koşuluyla. y = 1/(x² + 3) için y' = −2x/(x² + 3)², x = 1'de −2/16 = −1/8. Bu sonucu bölüm kuralıyla bulmak da mümkündür; pay sabit olduğunda zincir kuralı daha kısa yoldur.

Halka sayısı artınca

İçte bir bileşke daha varsa her halka için bir çarpan eklenir: (f∘g∘k)'(x) = f'(g(k(x))) · g'(k(x)) · k'(x). Çalışırken dıştan içe soyulur ve her katmanın türevi kendi içindekinin değerinde hesaplanır. y = (1 + √(x² + 5))³ için en dışta küp, ortada 1 + √( ), en içte x² + 5 vardır. x = 2'de en iç değer 9, kök 3, parantez 4'tür. Türev 3 · 4² · (2x/(2√(x² + 5))) olur; son çarpan x = 2'de 2/3 değerini aldığından sonuç 48 · 2/3 = 32 bulunur. Katman sayısını baştan saymak, bir çarpanı atlamaya karşı en iyi korumadır.

Tablodan bileşkenin türevi

Bazı sorularda fonksiyonların kuralı verilmez; yalnız birkaç noktadaki f, g, f' ve g' değerleri bir tabloda durur. (f∘g)'(a) istendiğinde kural adım adım okunur: önce g(a) bulunur, sonra f' tablosunda o sayının satırına gidilir, en son g'(a) ile çarpılır. Buradaki tuzak, f'(g(a)) yerine f'(a) okumaktır. İki fonksiyonun sırası değiştiğinde (g∘f)'(a) = g'(f(a)) · f'(a) olur ve bu genellikle başka bir sayıdır; türevde de bileşkenin değişme özelliği yoktur.

Bileşke denkleminden türev

f(3x − 1) = x² + 4x gibi bir eşitlik verilip f'(5) sorulabilir. f'nin kuralını bulmaya gerek yoktur: eşitliğin iki tarafının da x'e göre türevi alınır. Sol tarafta zincir kuralı 3 · f'(3x − 1) verir, sağ taraf 2x + 4 olur. Şimdi iç ifadenin 5'e eşit olduğu x aranır: 3x − 1 = 5 ise x = 2'dir. Yerine koyunca 3f'(5) = 8 ve f'(5) = 8/3 çıkar. Sık yapılan yanlış, sağ taraftaki x'e doğrudan 5 yazmaktır; 5, f'nin girdisidir, x'in değeri değildir. İç ifadeyi c yapan x değeri tek değilse hepsi aynı f'(c) değerine götürmek zorundadır; x³ + x gibi artan bir iç fonksiyonda bu kök zaten tektir.

Çarpım ve bölüm kuralıyla birlikte

Gerçek sorularda zincir kuralı çoğu zaman tek başına gelmez. y = x · √(2x + 1) bir çarpımdır; çarpım kuralı y' = 1 · √(2x + 1) + x · (√(2x + 1))' der ve ikinci terimde kökün türevi zincirle alınır: 2/(2√(2x + 1)) = 1/√(2x + 1). x = 4'te √9 = 3 olduğundan y' = 3 + 4/3 = 13/3 bulunur. Bölümde de durum aynıdır: önce en dıştaki işlem tanınır (çarpım mı, bölüm mü, kuvvet mi), o işlemin kuralı yazılır, içerideki her parça kendi kuralıyla türetilir. İşlem sırasını belirlemeden türev almaya başlamak, bir çarpanı ya da bir terimi atlamanın en yaygın sebebidir.

Ters fonksiyonun türevi

Ters fonksiyon dersinde kuralı x³ + x + 1 olan f'nin tersini 3'te, kuralı yazmadan 1 olarak bulmuştuk. Türevini de aynı yoldan elde edebiliriz. Her x için f(f⁻¹(x)) değeri yine x'tir; bu eşitliğin iki tarafı türetilince f'(f⁻¹(x)) · (f⁻¹)'(x) = 1 çıkar. f(a) = b ise x = b noktasında f⁻¹(b) = a olur ve

(f⁻¹)'(b) = 1/f'(a)

elde edilir; f'(a) ≠ 0 olması gerekir. Örnekteki fonksiyon için f'(x) = 3x² + 1 ve f'(1) = 4, dolayısıyla (f⁻¹)'(3) = 1/4'tür. Bu soruların ilk adımı her zaman a'yı bulmaktır: f'yi b'de hesaplamak yanlış sayıyı verir. Grafikte bakıldığında f'nin (a, b) noktasındaki eğimi ile f⁻¹'in (b, a) noktasındaki eğimi birbirinin çarpmaya göre tersidir, çünkü iki grafik birbirinin y = x doğrusundaki yansımasıdır.

Sırada açılara uygulanan fonksiyonlar

Bu derste iç fonksiyonlar polinom, kök ya da kesirdi ve dış fonksiyonların türevlerini zaten biliyorduk. Sıradaki ders sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının türevlerini kuruyor. Açının yerinde 3x ya da x² gibi bir ifade durduğunda bu dersteki iç türev çarpanı geri gelecek; kuvvetin sinüsün dışında mı yoksa açının içinde mi durduğu da halkaların sırasını belirleyecek.

Örnek 1 — Kuvvetin içi bir polinom

Soru: Kuralı (x² − 3x + 1)⁵ olan f fonksiyonunun 3'teki türevi kaçtır?

• A) f'(3) = 5
• B) f'(3) = 45
• C) f'(3) = 15
• D) f'(3) = 75
• E) f'(3) = 3

Çözüm: Dış fonksiyon u⁵, iç fonksiyon x² − 3x + 1'dir. f'(x) = 5(x² − 3x + 1)⁴ · (2x − 3). x = 3'te iç değer 9 − 9 + 1 = 1, iç türev 6 − 3 = 3'tür; f'(3) = 5 · 1 · 3 = 15. İç türevi unutan 5 bulur. Cevap: C.

Örnek 2 — Tablo

Soru: f ve g türevlenebilir fonksiyonları için aşağıdaki değerler veriliyor.

(f∘g)'(1) kaçtır?

• A) (f∘g)'(1) = −2
• B) (f∘g)'(1) = 4
• C) (f∘g)'(1) = 10
• D) (f∘g)'(1) = −4
• E) (f∘g)'(1) = −1

Çözüm: (f∘g)'(1) = f'(g(1)) · g'(1). Tablodan g(1) = 2, f'(2) = 4 ve g'(1) = −1 okunur; çarpım −4'tür. f'(1) · g'(1) çarpımını alan −2'ye, sırayı çevirip (g∘f)'(1) = g'(3) · f'(1) hesaplayan 10'a ulaşır. Cevap: D.

Örnek 3 — Bileşke denkleminden türev değeri

Soru: Türevlenebilir bir f fonksiyonu her x için f(3x − 1) = x² + 4x eşitliğini sağlıyor. f'(5) kaçtır?

• A) f'(5) = 8
• B) f'(5) = 8/3
• C) f'(5) = 14/3
• D) f'(5) = 14
• E) f'(5) = 3/8

Çözüm: İki taraf türetilir: 3 · f'(3x − 1) = 2x + 4. f'nin girdisinin 5 olması için 3x − 1 = 5, x = 2 alınır. 3f'(5) = 8 ve f'(5) = 8/3. Sağ tarafa x = 5 yazan 14'e, ardından 3'e bölen 14/3'e gider. Cevap: B.

Örnek 4 — Tersin türevi

Soru: f(x) = x³ + 2x − 1 fonksiyonu için (f⁻¹)'(2) kaçtır?

• A) (f⁻¹)'(2) = 5
• B) (f⁻¹)'(2) = 1/14
• C) (f⁻¹)'(2) = 14
• D) (f⁻¹)'(2) = 1
• E) (f⁻¹)'(2) = 1/5

Çözüm: f'(x) = 3x² + 2 her yerde pozitif olduğundan f artandır ve tersi vardır. f(a) = 2 denklemi a³ + 2a − 3 = 0 verir; a = 1 sağlar ve artanlık başka kök bırakmaz. f'(1) = 5 olduğundan (f⁻¹)'(2) = 1/5. f'(2) = 14 sayısını kullanan 1/14'e düşer. Cevap: E.

• İç türevi unutmak. (2x + 1)³ için 3(2x + 1)² yazmak kuvvet kuralının yarısıdır; iç ifadenin türevi olan 2 çarpanı eklenmeden sonuç eksik kalır.
• Dış türevi yanlış noktada hesaplamak. (f∘g)'(a) = f'(g(a)) · g'(a); tabloda f'(a) satırını okumak en yaygın çeldiricidir.
• Bileşke denkleminde x yerine f'nin girdisini yazmak. f(3x − 1) = … eşitliğinde f'(5) için x = 5 değil, 3x − 1 = 5'ten x = 2 kullanılır.
• Kökün türevinde 2'yi ya da tanım koşulunu atlamak. √(g(x))'in türevi g'(x)/(2√(g(x)))'tir ve yalnız kök içinin pozitif olduğu yerde kullanılır.
• Tersin türevinde f'yi b'de hesaplamak. (f⁻¹)'(b) için önce f(a) = b denkleminden a bulunur, sonra 1/f'(a) alınır.