Türev alma kuralları

Feray, tanımla türev almayı yeni öğrendi. f(x) = x² için fark oranını kurdu, h'yi sadeleştirdi ve 2x buldu. x³ için (x + h)³'ü açmak yarım sayfa tuttu; sonuç 3x² çıktı. Akşamki ödevde f(x) = x⁵ − 3x² + 7 var ve Feray (x + h)⁵ açılımının altı terimine bakıp duraksıyor. Defterindeki iki sonucu yan yana okuyunca bir düzen fark ediyor: x²'den 2x, x³'ten 3x² gelmiş; üs başa geçip katsayı olmuş, kendisi de bir azalmış. Bu düzen tesadüf mü, her kuvvette işler mi? İşliyorsa ödevin cevabı tek satırdır: 5x⁴ − 6x. Bu derste limiti her seferinde yeniden kurmadan türev almayı sağlayan kuralları çıkarıyor, onları toplamlara, çarpımlara ve bölümlere uyguluyoruz.

• Kökleri ve paydadaki kuvvetleri xⁿ biçimine çevirip kuvvet kuralıyla türev alırsın.
• Çarpım ve bölüm kurallarını uygulayarak bir noktadaki türev değerini hesaplarsın.
• f(a), f'(a), g(a), g'(a) değerleri verildiğinde (f·g)'(a) ve (f/g)'(a) değerlerini bulursun.
• Türev koşullarından bilinmeyen katsayıyı, f'(x) = 0 denkleminden de türevin sıfırlandığı noktaları bulursun.

Tanımdan kurala

Önceki derste türev, f'(x) = lim_{h→0} (f(x + h) − f(x))/h limitiyle tanımlandı. Kuralların hepsi bu limitten çıkar; yalnız bir kez çıkarıldıktan sonra her soruda yeniden kurulmaz. En basit iki durumla başlayalım. f(x) = 5 gibi sabit bir fonksiyonda f(x + h) − f(x) her h için 0'dır, dolayısıyla türev 0'dır. Grafiği yatay bir doğru olan fonksiyon hiç değişmez; değişim hızı da sıfırdır. f(x) = x için fark oranı h/h = 1 olur ve türev 1'dir. Daha genel olarak f(x) = mx + n doğrusunun türevi her noktada eğimi olan m'dir.

Türevi yazmanın üç yaygın yolu vardır: f'(x), y' ve dy/dx. Üçü de aynı şeyi söyler; dy/dx gösterimi, y'nin x'e göre değiştiğini açıkça yazar. Bir noktadaki değer f'(2) ya da «x = 2 için dy/dx» diye okunur.

Kuvvet kuralı

Kancadaki düzen her doğal sayı n için doğrudur: (xⁿ)' = n · x^(n−1). Gerekçesi «Binom açılımı» dersindeki açılımdır. (x + h)ⁿ = xⁿ + n · x^(n−1) · h + (h², h³, … içeren terimler) yazılır. xⁿ çıkarılıp h'ye bölününce n · x^(n−1) ile h içeren terimler kalır; h → 0 iken bunlar silinir. Böylece (x⁵)' = 5x⁴, (x¹⁰)' = 10x⁹ olur.

Kural yalnız doğal sayı üsler için değildir; her gerçek üs için geçerlidir ve AYT'de en çok negatif ve kesirli üslerle karşımıza çıkar. Bunun için ifade önce xⁿ biçimine çevrilir. «Üslü ve köklü sayılar» dersindeki dönüşümler burada iş görür: 1/x² = x^(−2), √x = x^(1/2), x√x = x^(3/2), 1/√x = x^(−1/2).

Önceki derste 1/x'in 2'deki türevi payda eşitlenerek −1/4 bulunmuştu. Kuvvet kuralıyla aynı sonuç tek satırdır: 1/x = x^(−1), türevi −1 · x^(−2) = −1/x² ve x = 2'de −1/4. 1/x² için üs −2'dir; bir azaltınca −3 olur: (x^(−2))' = −2 · x^(−3) = −2/x³. x = 1 noktasında değer −2'dir; h = 0,000001 alınarak hesaplanan fark oranı da −2 verir. Paydaki 1'in türevini paydadaki x²'nin türevine bölüp 0/(2x) ya da 1/(2x) yazmak sık yapılan bir hatadır; kesir önce kuvvete çevrilmelidir.

√x için üs 1/2'dir ve bir azaltınca −1/2 olur: (√x)' = (1/2) · x^(−1/2) = 1/(2√x). Bu türev yalnız x > 0 için tanımlıdır. √x fonksiyonu x = 0'da tanımlı olsa da orada türevi yoktur, çünkü 1/(2√x) paydası sıfırlanır. Köklü bir fonksiyonun türevini yazarken tanım kümesine bakmak bu yüzden gereklidir.

Sabitle çarpım, toplam ve fark

Sabit bir çarpan türevde olduğu gibi kalır: (c · f)' = c · f'. (7x³)' = 7 · 3x² = 21x². Toplam ve farkın türevi terimlerin türevlerinin toplamı ve farkıdır: (f ± g)' = f' ± g'. Bu iki kural birleşince her polinomun türevi terim terim alınır:

f(x) = 2x⁴ − 5x³ + x − 9 ⇒ f'(x) = 8x³ − 15x² + 1.

Sabit terim −9 türevde kaybolur, x'in katsayısı 1 olarak kalır. «Polinom kavramı» dersindeki dereceyle bağlantı da görülür: n. dereceden bir polinomun türevi n − 1. dereceden bir polinomdur. π², √3 gibi ifadeler de birer sabittir; türevleri 0'dır.

Paydası tek terim olan bir kesir türevden önce terimlere bölünür. (x² − 3)/x = x − 3x^(−1) yazılınca türev 1 + 3/x² olur (x ≠ 0). Böyle bir kesre bölüm kuralı uygulamak yanlış değildir ama gereksiz yere uzundur.

Çarpım kuralı

f(x) = x² ve g(x) = x³ ise çarpımları x⁵'tir ve türevi 5x⁴'tür. Türevleri çarpmak 2x · 3x² = 6x³ verir; bu 5x⁴ değildir. Demek ki çarpımın türevi türevlerin çarpımı olamaz. Doğru kural şudur:

(f · g)' = f' · g + f · g'.

Kenarları f ve g olan bir dikdörtgen düşünmek kuralı akılda tutar. Kenarlar Δf ve Δg kadar uzarsa alan g · Δf + f · Δg + Δf · Δg kadar büyür. Bu artış h'ye bölünüp h → 0 alındığında son terim iki küçük sayının çarpımı olduğu için silinir; geriye f' · g + f · g' kalır.

Örnek: (x² + 1)(x − 3) çarpımının x = 2'deki türevi. Birinci çarpanın türevi 2x, ikincininki 1'dir. x = 2'de 4 · (−1) + 5 · 1 = 1 bulunur. Çarpımı açmak da aynı sonucu verir: x³ − 3x² + x − 3 polinomunun türevi 3x² − 6x + 1, x = 2'de 1'dir. Çarpanlar polinomsa açmak da bir yoldur; çarpanlardan biri yalnız sayısal değerleriyle verilmişse çarpım kuralı tek yoldur. Kural üç çarpana da genişler: (f · g · k)' = f' · g · k + f · g' · k + f · g · k'; her terimde yalnız bir çarpanın türevi alınır.

Bölüm kuralı

g(x) ≠ 0 olan noktalarda

(f/g)' = (f' · g − f · g')/g².

Payda sıra önemlidir: önce payın türevi paydayla çarpılır, sonra pay paydanın türeviyle çarpılıp çıkarılır. Sırayı ters çevirmek sonucun işaretini değiştirir; paydadaki kareyi unutmak da değeri bozar. h(x) = (2x + 1)/(x − 1) için pay 2(x − 1) − (2x + 1) · 1 = −3 olur ve h'(x) = −3/(x − 1)² bulunur, x ≠ 1. h'(2) = −3'tür; sayısal fark oranı da −3 verir. Bu fonksiyonun türevi her noktada negatiftir; bunun grafik için ne anlama geldiği «Artan ve azalan fonksiyonlar» dersinin konusudur.

Değerlerle verilen fonksiyonlar

Sınavda f ve g'nin kuralı çoğu zaman verilmez; yalnız bir noktadaki değerler verilir. f(1) = 3, f'(1) = −2, g(1) = 4, g'(1) = 5 olsun. Çarpım kuralına göre (f · g)'(1) = f'(1) · g(1) + f(1) · g'(1) = −8 + 15 = 7. Bölüm kuralına göre (f/g)'(1) = (−2 · 4 − 3 · 5)/4² = −23/16. Burada en sık karışıklık f(1) ile f'(1)'in yer değiştirmesidir. Formülü önce harflerle yazıp sonra değerleri yerleştirmek bu hatayı önler.

Yüksek mertebeden türevler

f'(x) de bir fonksiyon olduğundan onun da türevi alınabilir. f'' ikinci türev, f''' üçüncü türevdir; dördüncüden sonrası f⁽⁴⁾, f⁽⁵⁾ diye yazılır. dy/dx gösteriminde ikinci türev d²y/dx² olur. f(x) = x⁴ − 2x³ için f'(x) = 4x³ − 6x², f''(x) = 12x² − 12x, f'''(x) = 24x − 12, f⁽⁴⁾(x) = 24 ve f⁽⁵⁾(x) = 0 bulunur. Her türevde polinomun derecesi bir düşer, bu yüzden n. dereceden bir polinomun n + 1. türevi 0'dır. İkinci türevin grafikteki anlamını «İkinci türev ve büküm» dersi açıklıyor; burada yalnız hesabını yapıyoruz.

Türevden katsayı bulmak

Bir fonksiyonun katsayıları bilinmiyorsa türev koşulları denklem kurar. f(x) = ax³ + bx için f'(1) = 5 ve f''(1) = 12 verilsin. f''(x) = 6ax olduğundan 6a = 12 ve a = 2'dir. f'(x) = 3ax² + b olduğundan 3a + b = 5, yani b = −1 bulunur. Kaç bilinmeyen varsa o kadar koşul gerekir; her koşul bir denklemdir.

Türevin sıfır olduğu noktalar

f'(x) = 0 denklemi, türevin sıfırlandığı x değerlerini verir. f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2 için f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3); türevin sıfırlandığı yerler x = 1 ile x = 3'tür. Bu bir ikinci dereceden denklem çözümüdür ve kök-katsayı bağıntıları burada da işe yarar. Bölüm biçimindeki fonksiyonda yalnız pay sıfırlanır ve payda sıfır olmamalıdır: paydayı sıfırlayan nokta tanım kümesinde değildir. Bu noktaların fonksiyonun grafiği için ne söylediği «Ekstremum noktaları» dersinde ele alınacak.

İçe yerleşmiş fonksiyon

Bu dersin kuralları, x'in kendisine uygulanan işlemler için yazıldı: kuvvet, sabitle çarpım, toplam, çarpım, bölüm. √(x² + 1) ifadesinde ise kökün içinde x değil x² + 1 durur; ifade, x² + 1 fonksiyonunun karekök fonksiyonuna yerleştirilmesidir. «Bileşke fonksiyon» dersindeki f(g(x)) yapısının türevi, iç ve dış fonksiyonun türevlerini birbirine bağlayan zincir kuralıyla bulunur; sonraki ders bu kuralı kuruyor.

Örnek 1 — Kök ve paydadaki kuvvet

Soru: f(x) = 4√x − 2/x + x³ fonksiyonu için f'(4) kaçtır?

• A) f'(4) = 391/8
• B) f'(4) = 401/8
• C) f'(4) = 393/8
• D) f'(4) = 49
• E) f'(4) = 129/2

Çözüm: Terimler 4x^(1/2), −2x^(−1) ve x³ biçiminde yazılır. Türev 2x^(−1/2) + 2x^(−2) + 3x² = 2/√x + 2/x² + 3x² olur. x = 4'te 1 + 1/8 + 48 = 393/8 bulunur. −2/x teriminin türevini −2/x² yazan 391/8'e, (√x)' yerine 1/√x yazan 401/8'e ulaşır. Cevap: C.

Örnek 2 — Çarpım kuralı

Soru: Çarpım biçiminde verilen f(x) = (x² − 3x)(2x + 5) için q = f'(1) ise q kaçtır?

• A) q = −2
• B) q = −11
• C) q = −3
• D) q = 11
• E) q = −7

Çözüm: Birinci çarpanın türevi 2x − 3, ikincininki 2'dir. f'(1) = (2 · 1 − 3)(2 + 5) + (1 − 3) · 2 = −7 − 4 = −11. Türevleri çarpan öğrenci (−1) · 2 = −2, ikinci terimin işaretini kaçıran −7 + 4 = −3 bulur. Çarpımı açınca 2x³ − x² − 15x çıkar ve türevi x = 1'de 6 − 2 − 15 = −11 olur. Cevap: B.

Örnek 3 — Değerlerle bölüm kuralı

Soru: f(2) = 3, f'(2) = −1, g(2) = −2, g'(2) = 4 veriliyor. h(x) = f(x)/g(x) için h'(2) kaçtır?

• A) h'(2) = 5/2
• B) h'(2) = 5
• C) h'(2) = −1/4
• D) h'(2) = −5/2
• E) h'(2) = −7/2

Çözüm: h'(2) = (f'(2) · g(2) − f(2) · g'(2))/g(2)² = ((−1)(−2) − 3 · 4)/4 = (2 − 12)/4 = −5/2. Paydaki sırayı ters çeviren 5/2 bulur. Paydada g(2)² yerine g(2) bırakan −10/(−2) = 5 yazar; türevleri birbirine bölen öğrenci −1/4'e ulaşır. Cevap: D.

Örnek 4 — İki koşul, iki bilinmeyen

Soru: f(x) = ax³ + bx² − 4x fonksiyonu için f'(1) = 8 ve f''(1) = 18 ise s = a + b toplamı kaçtır?

• A) s = 5
• B) s = 3
• C) s = 8
• D) s = 6
• E) s = 12

Çözüm: f'(x) = 3ax² + 2bx − 4 olduğundan 3a + 2b − 4 = 8, yani 3a + 2b = 12. f''(x) = 6ax + 2b olduğundan 6a + 2b = 18. İkinci denklemden birinciyi çıkarınca 3a = 6, a = 2 ve b = 3 bulunur; toplam 5'tir. −4x teriminin türevini unutan 3a + 2b = 8 yazar; bu kez a = 10/3 çıkar ve seçeneklerin hiçbiri tutmaz. Cevap: A.

• Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak. (x² · x³)' = 5x⁴'tür, 2x · 3x² = 6x³ değil; çarpım kuralında iki terim vardır ve her birinde yalnız bir çarpanın türevi alınır.
• Bölüm kuralında sırayı ya da kareyi kaçırmak. Payda f' · g − f · g' sırası işareti belirler; payda g² olmalıdır, g değil.
• Paydadaki kuvvetin türevini doğrudan almak. 1/x³'ün türevi 1/(3x²) değildir; x^(−3) yazılır ve −3/x⁴ bulunur.
• (√x)' için 1/√x yazmak. Üs 1/2 öne iner: (√x)' = 1/(2√x), ve bu türev x = 0'da tanımsızdır.
• Değer tablosunda f(a) ile f'(a)'yı karıştırmak. Formülü önce harflerle yaz, sonra değerleri yerleştir.
• Bölüm türevinin sıfırlarına paydanın sıfırını katmak. Paydayı sıfırlayan nokta tanım kümesinde değildir; yalnız pay sıfıra eşitlenir.