Türevin tanımı

Ecem fizik ödevi için balkondan bıraktığı bir tenis topunu telefonla çekti ve videoyu kare kare ilerletip topun her an kaç metre düştüğünü not etti. Ölçümleri s(t) = 5t² kuralına çok iyi uyuyor: birinci saniyenin sonunda 5 metre, ikincinin sonunda 20 metre. Ödev kâğıdındaki soru kısa: «Top tam t = 2 anında saniyede kaç metre hızla düşüyordu?» Ecem hız için bildiği tek formülü, yolu süreye bölmeyi deniyor. Ama tek bir anda geçen süre sıfır, o sürede alınan yol da sıfır; elinde yine 0/0 var. Hızölçerler bu sayıyı her an gösteriyor, öyleyse anlamlı olmalı. Bu derste o sayıyı kurup ona bir ad veriyoruz: türev.

• Bir aralıktaki ortalama değişim hızını kiriş eğimi olarak hesaplarsın.
• Bir noktadaki türevi limit tanımıyla, ortaya çıkan 0/0 durumunu sadeleştirerek bulursun.
• Türevi teğetin eğimi ve anlık hız olarak yorumlarsın.
• Köşe, süreksizlik ve dikey teğet noktalarında türevin neden olmadığını sağdan ve soldan türevle gösterirsin.

Bir aralık boyunca değişim

Ecem'in topu 1. saniye ile 3. saniye arasında s(3) − s(1) = 45 − 5 = 40 metre düşer. Bu yol 2 saniyede alındığından top o aralıkta ortalama 40/2 = 20 m/s hızla gitmiştir. Aynı hesap her fonksiyona uygulanır: f'nin [a, b] aralığındaki ortalama değişim hızı (average rate of change)

[f(b) − f(a)]/(b − a)

oranıdır. Pay çıktıdaki değişimi, payda girdideki değişimi ölçer. Grafikte bu oran, (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarından geçen doğrunun eğimidir; eğriyi iki noktada kesen bu doğruya kiriş (secant) denir. f(x) = x² için [1, 3] aralığında oran (9 − 1)/2 = 4 çıkar, yani kiriş her bir birim sağa gidişte 4 birim yükselir.

Aralığı daraltmak

Ortalama hız, aralığın içinde neler olduğunu gizler. Top 2. saniyede ne kadar hızlıydı? Aralığın bir ucunu 2'de tutup öbür ucunu 2 + h alalım ve h'yi küçültelim:

Sayılar iki yandan 20'ye sıkışıyor. Cebir de bunu söyler: s(2 + h) − s(2) = 5(4 + 4h + h²) − 20 = 20h + 5h² olur ve h'ye bölünce 20 + 5h kalır. h sıfıra giderken bu ifade 20'ye gider. Topun 2. saniyedeki anlık hızı 20 m/s'dir. Burada h hiçbir zaman sıfır olmadı; h'ye bölmek, belirsizlik durumları dersinde ortak çarpanı sadeleştirirken yaptığımız işin aynısıdır.

Türevin tanımı

Bu süreci her fonksiyon ve her nokta için tek bir ifadeye bağlayalım. f'nin x = a noktasındaki türevi (derivative)

f'(a) = lim_{h→0} [f(a + h) − f(a)]/h

limitidir; bu limit bir gerçek sayı olarak varsa f, a'da türevlenebilir (differentiable) denir. Aynı tanım t = a + h yazılarak

f'(a) = lim_{t→a} [f(t) − f(a)]/(t − a)

biçiminde de kullanılır. İki yazılış aynı oranı anlatır: biri adımın büyüklüğünü (h), öteki gidilen noktayı (t) değişken alır.

Bu limitte h yerine 0 yazınca pay f(a) − f(a) = 0, payda 0 olur. Yani türev tanımı her zaman 0/0 belirsizliğiyle başlar ve çözüm yolu belirsizlik durumları dersinden tanıdıktır: payı açıp h'yi ortak çarpan olarak ayırmak, ya da köklü ifadede eşlenikle çarpmak. Limit kuralları dersindeki işlemler sadeleşmiş ifadeye uygulanır.

Tanımla türev hesaplamak

Doğrusal bir fonksiyonla başlayalım: f(x) = 3x − 7 için f(a + h) − f(a) = 3h ve oran h ne olursa olsun 3'tür. Bir doğrunun her noktadaki türevi kendi eğimidir; sabit bir fonksiyonun oranı ise her zaman 0'dır.

f(x) = x³ ve a = 2 için (2 + h)³ − 8 = 12h + 6h² + h³ bulunur; h'ye bölmek 12 + 6h + h² bırakır ve f'(2) = 12 çıkar. t → a biçiminde aynı hesap (t³ − 8)/(t − 2) limitine döner; küp farkı özdeşliği t² + 2t + 4'ü verir ve yine 12 gelir.

f(x) = 1/x ve a = 2 için pay 1/(2 + h) − 1/2 = −h/(2(2 + h)) olur. h sadeleşince −1/(2(2 + h)) kalır ve f'(2) = −1/4 bulunur. Payda eşitlemeden bu sadeleştirme görünmez.

f(x) = √x ve a = 4 için oran (√(4 + h) − 2)/h olur. Bu tam olarak belirsizlik dersinde eşlenikle çözdüğümüz limittir: sonuç 1/(√(4 + h) + 2) ifadesine iner ve f'(4) = 1/4 olur. O derste yalnızca bir sayı bulmuştuk; şimdi o sayının bir adı var, √x eğrisinin 4'teki değişim hızı.

Her sonucu iki yoldan sınayabilirsin: limit hesabı ve çok küçük bir h için sayısal oran. h = 0,000001 alındığında 1/x için oran −0,249999…, √x için 0,249999… çıkar.

Bir sayıdan bir fonksiyona

a'yı sabit bir sayı yerine değişken bırakırsak her x için bir türev değeri elde ederiz. f(x) = x² için [(x + h)² − x²]/h = 2x + h ve limit 2x'tir. Böylece f'(x) = 2x yeni bir fonksiyondur: f'(1) = 2, f'(3) = 6, f'(−3) = −6 tek tek hesap gerektirmeden okunur. Bu fonksiyona türev fonksiyonu denir. y = f(x) yazıldığında aynı nesne dy/dx ile de gösterilir; bu gösterim «x'teki küçük değişime karşı y'deki değişim» oranını hatırlatır. f'(a) bir sayı, f'(x) bir kuraldır; soru hangisini istiyorsa ona göre cevap verilir.

Geometrik anlam: teğetin eğimi

Kirişin bir ucunu (a, f(a))'da sabit tutup öbür ucunu eğri boyunca ona yaklaştırırsak kiriş döner ve sonunda eğriye o noktada yalnızca dokunan bir doğruya yerleşir. Bu sınır doğruya teğet (tangent) denir ve eğimi f'(a)'dır. y = x² eğrisine (1, 1)'de çizilen teğetin eğimi 2, (−3, 9)'da çizilenin eğimi −6'dır; eğim negatifse teğet sağa doğru alçalır. Teğetin denklemini yazmak modülün ilerisindeki bir derste ele alınıyor; burada eğimi bulmak yeterli.

Fiziksel anlam: anlık hız

Bir cismin t anındaki konumu s(t) ise s'(t) o anki hızdır. s(t) = t² − 4t metre konumuyla hareket eden bir cisim için s'(1) = −2 ve s'(3) = 2 m/s bulunur. Negatif hız, cismin konumu küçülen yönde gittiğini söyler; 1. saniyede geri geri gelen cisim 3. saniyede ileri gitmektedir. Kancadaki topun 2. saniyedeki 20 m/s hızı da s(t) = 5t²'nin türevidir.

Türevin olmadığı yerler

Limitin var olması için h'nin sağdan ve soldan yaklaşırken aynı sayıya gitmesi gerekir. Bu iki tek yanlı limite sağdan türev ve soldan türev denir.

Köşe. f(x) = |x| için 0'da oran |h|/h'dir. h > 0 iken bu 1, h < 0 iken −1'dir. İki tek yanlı türev farklı olduğundan f'(0) yoktur. Grafikte 0'da sivri bir köşe vardır ve oraya tek bir teğet oturtulamaz.

Süreksizlik. f, a'da süreksizse h → 0 iken pay f(a + h) − f(a) sıfıra gitmez, payda ise sıfıra gider; oran sınırsız büyür ya da iki yandan farklı yerlere gider. Süreksiz bir noktada türev aranmaz.

Dikey teğet. f(x) = ∛x için 0'da oran ∛h/h = 1/∛(h²)'dir. h = 0,001'de 100, h = 0,000001'de 10 000 olur; oran iki yandan da +∞'a büyür. Grafik 0'da kopmaz ve köşe de yapmaz, ama oradaki teğet dikeydir ve dikey doğrunun eğimi tanımlı değildir.

Türevlenebilirlik süreklilik gerektirir

f, a'da türevlenebilirse f(a + h) − f(a) farkı, oran ile h'nin çarpımı olarak yazılır. h → 0 iken oran f'(a)'ya, h ise 0'a gider; çarpım f'(a) · 0 = 0 olur. Demek ki f(a + h) değerleri f(a)'ya yaklaşır, yani f a'da süreklidir. Ters yön doğru değildir: |x| 0'da süreklidir ama türevlenebilir değildir. Parçalı bir fonksiyonun kırılma noktasında türev aranırken bu yüzden iki şart birlikte kurulur: önce iki parça o noktada aynı değeri vermeli, sonra sağdan ve soldan türevler eşit olmalı.

Tek tek limitten kurala

x² için 2x, x³ için 2 noktasında 12, 1/x için 2'de −1/4: her biri ayrı bir limit hesabıydı. Bu sonuçların arkasında düzenli bir örüntü sezilir. Sıradaki derste, kuvvet fonksiyonlarının, toplamların, çarpımların ve bölümlerin türevi her seferinde limite dönmeden veren türev alma kurallarına ulaşacağız.

Örnek 1 — Kirişin eğimi

Soru: f(x) = x² − 3x fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı nedir?

• A) oran = −2
• B) oran = 4
• C) oran = 3
• D) oran = 2
• E) oran = 6

Çözüm: f(4) = 16 − 12 = 4 ve f(1) = 1 − 3 = −2'dir. Çıktıdaki değişim 4 − (−2) = 6, girdideki değişim 4 − 1 = 3'tür; oran 6/3 = 2. Bölmeyi unutan 6'da kalır; −2 yalnızca f(1)'in değeridir, 4 ise f(4)'tür. Cevap: D.

Örnek 2 — Tanımla türev

Soru: f(x) = 2x² − x için f'(3) değeri, limit tanımıyla hesaplanınca kaç bulunur?

• A) f'(3) = 15
• B) f'(3) = 11
• C) f'(3) = 12
• D) f'(3) = 35
• E) f'(3) = 13

Çözüm: f(3) = 18 − 3 = 15. f(3 + h) = 2(9 + 6h + h²) − 3 − h = 15 + 11h + 2h² olduğundan fark 11h + 2h², oran 11 + 2h'dir ve h → 0 iken 11'e gider. h = 10⁻⁶ ile sayısal oran 11,000002 çıkar. 15 fonksiyon değeridir; 12, −x teriminin katkısını unutmaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 3 — Adımı iki katına çıkarmak

Soru: Türevlenebilir bir f için f'(3) = 5 veriliyor. lim_{h→0} [f(3 + 2h) − f(3)]/h limiti neye eşittir?

• A) M = 5
• B) M = 5/2
• C) M = 0
• D) M = 3
• E) M = 10

Çözüm: Paydaki adım 2h, paydadaki ise h'dir; tanımın kalıbına uymaz. k = 2h dersek h = k/2 olur ve ifade 2 · [f(3 + k) − f(3)]/k biçimine girer. k → 0 iken bu 2 · f'(3) = 10'a gider. Kalıbı görmeden 5 diyen adımın değiştiğini, 5/2 diyen ise çarpanın yönünü kaçırır; 0, payın sıfıra gittiğini görüp paydayı unutmaktır. Cevap: E.

Örnek 4 — Eğimi bilinen teğetin yeri

Soru: f(x) = x² − 5x eğrisinin hangi noktasında teğetin eğimi 3'tür?

• A) (4, −4)
• B) (4, 3)
• C) (1, −4)
• D) (3, −6)
• E) (−1, 6)

Çözüm: Önce türev fonksiyonu tanımla bulunur: [(x + h)² − 5(x + h) − x² + 5x]/h = 2x + h − 5 ve limit 2x − 5'tir. 2x − 5 = 3 eşitliğinden x = 4 gelir. Noktanın ikinci koordinatı eğimden değil fonksiyondan alınır: f(4) = 16 − 20 = −4. (4, 3) eğimi koordinat sanmaktan, (3, −6) ise x = 3 alıp f(3)'ü yazmaktan doğar. Cevap: A.

• Ortalama hızı anlık hız sanmak. [f(b) − f(a)]/(b − a) bir aralığa aittir; bir noktadaki hız ancak limitle bulunur.
• Limite geçmeden h yerine 0 yazmak. Tanım her zaman 0/0 ile başlar; önce h sadeleşir, sonra h = 0 konur.
• Fonksiyon değerini türev değeriyle karıştırmak. f(a) noktanın yüksekliği, f'(a) oradaki eğimdir; teğetin değdiği nokta (a, f(a))'dır.
• Adımın değiştiğini görmemek. [f(a + kh) − f(a)]/h ifadesi f'(a)'ya değil k · f'(a)'ya gider.
• Sürekli her fonksiyonu türevlenebilir saymak. |x| köşede, ∛x dikey teğette süreklidir ama türevi yoktur.
• Mutlak değeri gören her noktada köşe aramak. x · |x| ve |(x − 1)²| gibi ifadelerde sağdan ve soldan türev eşittir; karar oran hesaplanarak verilir.