Trigonometrik limitler

Tuna ile Selin aynı ödevi çözüyor: x sıfıra yaklaşırken sin x/x neye gider? İkisi de hesap makinesine x = 0,01 yazıp bölümü buluyor. Selin'in ekranında 0,99998 beliriyor, Tuna'nınkinde 0,01745. Tuna önce tuşa yanlış bastığını düşünüyor, işlemi tekrarlıyor, aynı sayı geliyor. Sonunda ekranın köşesindeki küçük «DEG» yazısını fark ediyor: makinesi açıyı derece olarak okuyormuş. Selin'inkinde «RAD» yazıyor. Aynı formül, aynı x, iki makine; biri 1'e, öbürü 0,01745'e yerleşiyor. Bu ikinci sayının rastgele olmadığı, π/180 olduğu ortaya çıkınca soru değişiyor: sinüsün sıfır civarındaki davranışı neden radyanla bu kadar düzgün? Bu derste trigonometrik ifadelerin limitlerini, sin x/x'in 1'e gitmesinin gerekçesini ve bu tek sonuçtan türeyen kısayolları çalışıyoruz.

• Sinüs, kosinüs ve tanjantın tanımlı olduğu noktalarda limiti radyan ölçüsüyle yerine koyarak hesaplarsın.
• lim_{x→0} (sin x)/x = 1 sonucunu birim çemberdeki alanlarla gerekçelendirir, derece ölçüsünün neden π/180 verdiğini açıklarsın.
• sin ax/bx, tan ax/bx, sin ax/sin bx ve (1 − cos x)/x² kalıplarına indirgeyerek 0/0 biçimindeki trigonometrik limitleri çözersin.
• x bir noktaya giderken t = x − a değişkenini kurar, x → ∞ iken sınırlı bir çarpanın kesrin limitini nasıl etkilediğini değerlendirirsin.

Önce yerine koymayı dene

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının grafikleri hiçbir yerde kopmaz; M15'teki grafik dersinde çizdiğimiz dalgalar kalem kaldırılmadan çizilir. Bu yüzden her a gerçek sayısı için lim_{x→a} sin x = sin a ve lim_{x→a} cos x = cos a olur. Tanjant ise cos x = 0 olan noktalar dışında aynı rahatlıkla davranır. Limit kurallarıyla birleşince, ifade a noktasında tanımlıysa ilk iş a'yı yerine yazmaktır:

lim_{x→π/3} (sin x + cos 2x) = sin(π/3) + cos(2π/3) = √3/2 − 1/2 = (√3 − 1)/2.

Burada bir koşul sessizce iş görüyor: x radyan ölçüsüdür. Birim belirtilmemiş bir açı M15'in ilk dersinden beri radyan diye okunur ve limit derslerinde bu kural hiç gevşemez. Yerine koyma 0/0 verirse durum değişir. Belirsizlik durumları dersinde bu biçimi çarpanlara ayırarak ya da eşleniğe çarparak açmıştık; sin x/x gibi bir kesirde ise sadeleşecek ortak bir çarpan yoktur. Bu kesrin limiti, kendi gerekçesi olan ayrı bir sonuçtur.

sin x/x için bir tablo

x'i sağdan sıfıra yaklaştırıp bölümü hesaplayalım. x = 1 için 0,8415; x = 0,5 için 0,9589; x = 0,1 için 0,99833; x = 0,01 için 0,9999833 bulunur. Değerler 1'in hep biraz altında kalıyor ve aradaki açık her adımda küçülüyor. Sinüs tek fonksiyon olduğundan sin(−x)/(−x) = sin x/x yazılır; soldan gelen −0,1 ve −0,01 de aynı sayıları üretir. İki yönlü limit vardır:

lim_{x→0} (sin x)/x = 1.

Tablo sonucu gösterir ama nedenini söylemez. Neden sorusunun cevabı birim çemberde.

Birim çemberde üç alan

0 < x < π/2 olsun. Merkezi O, yarıçapı 1 olan çemberde A = (1, 0) noktasını alalım ve OA'dan x radyan dönüp çember üzerindeki P = (cos x, sin x) noktasına varalım. OP ışınını uzatıp çembere A'da teğet olan dikey doğruyu kestiğimiz noktaya T diyelim; AT uzunluğu tan x'tir. Şekilde iç içe üç bölge vardır. OAP üçgeninin tabanı 1, yüksekliği sin x olduğundan alanı sin x/2'dir. OAP daire diliminin alanı yarıçapı 1 alınınca x/2'dir; bu formül yalnız açı radyanla ölçülünce böyle yalın çıkar. OAT dik üçgeninin alanı da tan x/2'dir. Üçgen dilimin içinde, dilim büyük üçgenin içinde durduğundan

sin x/2 < x/2 < tan x/2, yani sin x < x < tan x.

Bütün terimleri pozitif sin x'e bölüp eşitsizliklerin tersini alalım: cos x < sin x/x < 1. x sıfıra giderken sol uç cos x, cos 0 = 1'e gider; sağ uç zaten 1'dir. Ortadaki kesir iki yandan 1'e doğru sıkıştırılır ve başka bir yere kaçamaz. Bu akıl yürütmeye sıkıştırma (squeeze theorem) adı verilir. Negatif x için tek fonksiyon gözlemi aynı sonucu taşır.

Derece kullanılınca neden π/180?

Dilim alanının x/2 çıkması radyanın tanımından gelir. Açı derece olarak ölçülürse x° = πx/180 radyandır ve sin(x°)/x = (π/180) · sin(πx/180)/(πx/180) yazılır. Sağdaki kesir 1'e gittiğinden limit π/180 ≈ 0,01745 olur; Tuna'nın ekranındaki sayı tam olarak budur. Sınavda açı birimsiz yazıldıysa radyan okunur ve sonuç 1'dir.

Tek sonuçtan türeyen kalıplar

Temel limitte sinüsün içi ile payda aynı nicelik olmalıdır; asıl kural «sin(şey)/şey, şey sıfıra giderken 1'e gider» biçimindedir. sin 5x/(3x) ifadesinde pay ve paydayı 5x'e uyduralım: (sin 5x/5x) · (5/3). İlk çarpan 1'e gider ve limit 5/3 olur. Genel olarak b ≠ 0 için

lim_{x→0} (sin ax)/(bx) = a/b.

Tanjant sinüsün kosinüse bölümüdür: tan x/x = (sin x/x) · (1/cos x). İki çarpan da 1'e gittiği için lim_{x→0} (tan x)/x = 1 ve daha genel olarak lim_{x→0} (tan ax)/(bx) = a/b'dir. Paydaki ve paydadaki iki sinüs için kesir x'lerle genişletilir: sin ax/sin bx = (sin ax/x) · (x/sin bx) ve bu çarpım a · (1/b)'ye gider. Böylece a, b ≠ 0 iken lim_{x→0} (sin ax)/(sin bx) = a/b bulunur; tanjantlı karışık biçimler de aynı sonucu verir. Ters çevrilmiş x/sin x kesri de 1'e gider, çünkü 1'in tersi yine 1'dir.

1 − cos x: iki kat açıyla açmak

(1 − cos x)/x² ifadesinde yerine koyma 0/0 verir. İki kat açı formülleri dersindeki yarım açı eşitliği payı sinüse çevirir; pay 2sin²(x/2) biçimine girer:

(1 − cos x)/x² = 2sin²(x/2)/x² = (1/2) · [sin(x/2)/(x/2)]².

Köşeli parantezin içi 1'e gittiği için limit 1/2'dir. Tablo da aynı şeyi söyler: x = 0,1 için 0,49958, x = 0,01 için 0,4999958. Kosinüsün içinde ax varsa 1 − cos ax = 2sin²(ax/2) yazılır ve (1 − cos ax)/x² ifadesi a²/2'ye gider. Payda x² yerine yalnız x olursa (1 − cos x)/x = [(1 − cos x)/x²] · x ve limit (1/2) · 0 = 0 çıkar. Paydaki farkın paydadaki kuvvetten hızlı küçüldüğünü gösteren bu küçük sonuç, sorularda çeldirici olarak sık karşımıza çıkar.

Karma ifadeler

Birkaç terimli bir kesirde her terim tanıdık bir kalıba ayrılır. (sin 2x + tan 3x)/x = sin 2x/x + tan 3x/x toplamının parçaları 2 ve 3'e gider, limit 5'tir. Çarpım hâlinde gelen bir ifadede ise her çarpana kendi x'i verilir: sin²3x/(x · tan 2x) = (sin 3x/x)² · (x/tan 2x) yazılınca 9 · (1/2) = 9/2 bulunur. Bazen ortak çarpan önce dışarı alınmalıdır. tan x − sin x = tan x · (1 − cos x) olduğundan (tan x − sin x)/x³ = (tan x/x) · [(1 − cos x)/x²] ve limit 1 · 1/2 = 1/2 olur. Burada «tan x ile sin x sıfıra yakın aynı, fark sıfır» diyerek kestirmeye çalışmak yanlış sonuç verir: payın sıfıra gitmesi, paydanın da sıfıra gittiği bir kesirde hiçbir şey söylemez.

Değişken değiştirme: x → a iken t = x − a

Temel kalıplar hep sıfır civarında kurulur. x başka bir noktaya, örneğin π'ye giderse limit önce sıfıra taşınır. lim_{x→π} sin x/(x − π) için t = x − π diyelim; x → π iken t → 0 olur ve x = t + π yazılır. M15'teki indirgeme kuralından sin(t + π) = −sin t gelir. Kesir −sin t/t biçimini alır, limiti −1'dir. İşaret tam bu adımda kaybedilir: sin x'i doğrudan sin(x − π) gibi okuyan öğrenci 1 bulur. Aynı yol x → π/2 iken cos x/(x − π/2) için de işler; cos(t + π/2) = −sin t olduğundan sonuç yine −1'dir.

Sonsuzda: sınırlı pay, büyüyen payda

x → 0 için öğrendiğimiz sonuç x → ∞'da hiç geçerli değildir. Sinüs her x için −1 ile 1 arasında kalır; pozitif x'lerde −1/x ≤ sin x/x ≤ 1/x olur. Sonsuzda limit dersinde gördüğümüz gibi 1/x sıfıra gider; iki uç da sıfıra sıkışınca lim_{x→∞} (sin x)/x = 0 bulunur. x = 100 için bölüm −0,00506, x = 1000 için 0,00083'tür: işaret değişir ama büyüklük erir. Aynı düşünce (3x + sin x)/x gibi kesirlerde de işe yarar: kesir 3 + sin x/x'e ayrılır ve 3'e gider. Tersine, x · sin(3/x) ifadesinde x → ∞ iken t = 3/x sıfıra gider ve ifade 3 · sin t/t biçimine dönüşerek 3'e yaklaşır. Hangi kalıbın kullanılacağına sinüsün içine bakarak karar verilir: içi sıfıra gidiyorsa temel limit, içi sonsuza gidiyorsa sınırlılık.

Yerine koymanın arkasındaki soru

Bu dersin ilk adımı «tanımlı noktada yerine koy» idi ve sin x, cos x için hiç sorun çıkmadı. Ama sin x/x gibi sıfırda tanımsız bir fonksiyona f(0) için bir değer eklemek istersek hangi sayıyı seçmeliyiz ki grafikte kopukluk kalmasın? Limit ile fonksiyon değerinin buluşması, parçalı bir fonksiyonda bir sabitin bu buluşmayı nasıl sağladığı ve grafiği kopmadan çizilebilen fonksiyonların neyi paylaştığı, modülün son konusu olan sürekliliğin sorularıdır.

Örnek 1 — İki farklı kat

Soru: lim_{x→0} sin 12x / tan 8x limitinin değeri kaçtır?

• A) ℓ = 2/3
• B) ℓ = 1
• C) ℓ = 3/2
• D) ℓ = 4
• E) ℓ = 96

Çözüm: Yerine koyma 0/0 verir. Kesir x ile genişletilir: (sin 12x/x) · (x/tan 8x). Birinci çarpan 12'ye, ikincisi 1/8'e gider; çarpım 12/8 = 3/2'dir. A seçeneği katsayıları ters çevirmekten, E seçeneği onları çarpmaktan, D ise farkı almaktan gelir. Sayısal kontrol: x = 0,001 için bölüm 1,4999 çıkar. Cevap: C.

Örnek 2 — Kosinüslü pay

Soru: lim_{x→0} (1 − cos 3x)/x² limiti kaçtır?

• A) ℓ = 3/2
• B) ℓ = 9/2
• C) ℓ = 9
• D) ℓ = 0
• E) ℓ = 1/2

Çözüm: 1 − cos 3x = 2sin²(3x/2) yazılır. Kesir 2 · [sin(3x/2)/x]² olur; parantezin içi 3/2'ye gider. 2 · 9/4 = 9/2 bulunur. Katsayıyı kare yerine yarıya bölen A'ya, 1/2 çarpanını atlayıp yalnız a² yazan C'ye düşer. x = 0,001 için değer 4,49999'dur. Cevap: B.

Örnek 3 — π'ye giden x

Soru: lim_{x→π} sin 3x/(x − π) limitinin değeri nedir?

• A) ℓ = 3
• B) ℓ = −1
• C) ℓ = 0
• D) ℓ = −3
• E) ℓ = 1/3

Çözüm: t = x − π alınır; x → π iken t → 0. sin 3x = sin(3t + 3π) = −sin 3t olur, çünkü 3π bir tam tur ile bir yarım turdur ve yarım tur sinüsün işaretini çevirir. Kesir −sin 3t/t biçimine gelir ve −3'e gider. İndirgemede işareti atlayan A'yı seçer. x = π + 0,001 için değer −2,999996 çıkar. Cevap: D.

Örnek 4 — Sonsuzda salınan terimler

Soru: lim_{x→∞} (2x − cos x)/(x + sin x) limiti kaçtır?

• A) ℓ = 2
• B) ℓ = −1
• C) ℓ = 1
• D) Limit yoktur
• E) ℓ = 0

Çözüm: Dört terimin her biri x'e bölününce kesir (2 − cos x/x)/(1 + sin x/x) olur. sinüs de kosinüs de hep [−1, 1] aralığında kaldığından cos x/x ve sin x/x sıfıra gider; limit 2/1 = 2'dir. Salınan terimlerin limitin varlığını bozduğunu sanan D'yi, sin x/x'in sonsuzda da 1'e gittiğini düşünen C'yi seçer. Cevap: A.

• Açıyı derece okumak. Temel limit yalnız radyanda 1'dir; derece ölçüsünde sin(x°)/x, π/180'e gider. Birim yazılmamışsa açı radyandır.
• sin x/x = 1 sonucunu sonsuza taşımak. x → ∞ iken sinüsün içi sıfıra gitmez; pay sınırlı kalır ve kesir 0'a gider.
• Katsayıları ters ya da çarpımla birleştirmek. sin ax/sin bx için a/b yazılır; b/a, a · b ya da a − b değil.
• 1 − cos ax'te kareyi ya da 2'yi unutmak. (1 − cos ax)/x² limiti a²/2'dir; a/2 ya da a² sık görülen yanlışlardır.
• Değişken değiştirirken indirgeme işaretini atlamak. sin(t + π) = −sin t ve cos(t + π/2) = −sin t; işaret kaybolursa cevap ters işaretli çeldiriciye düşer.