Süreklilik

Çiğdem akşam taksiyle eve dönüyor ve gözünü taksimetreye dikmiş. Araba hiç durmadan, yumuşakça ilerliyor; ekrandaki ücret ise bir süre aynı sayıda bekleyip birdenbire birkaç lira birden atlıyor. Defterine iki çizim yapıyor: biri yolun kilometresini zamana göre, öteki ücreti kilometreye göre gösteriyor. Birincisini kalemi kâğıttan hiç kaldırmadan bitiriyor. İkincisinde her atlamada kalemi kaldırıp bir basamak yukarıdan yeniden başlaması gerekiyor. Aklına takılan soru şu: «Kalemi kaldırmak» dediğim şeyin matematikte kesin bir karşılığı var mı, ve bir fonksiyona bakıp hangi noktalarda kalemin kalkacağını önceden söyleyebilir miyim? Bu derste o karşılığı kuruyoruz.

• Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olup olmadığını üç şartı tek tek sınayarak belirlersin.
• Süreksizliği delik, sıçrama ve sonsuz süreksizlik olarak sınıflandırırsın.
• Parçalı fonksiyonun her yerde sürekli olmasını sağlayan bilinmeyen katsayıları bulursun.
• Rasyonel, köklü, logaritmik ve parçalı ifadelerin süreksiz olduğu noktaları sayıp süreklilik aralığını yazarsın.

Kalemi kaldırmadan çizmek

Limit kavramı dersinde bir noktadaki üç olasılığı ayırmıştık: fonksiyon değeri tanımsız ama limit var, değer tanımlı ama limitten farklı, ya da ikisi eşit. Son olasılık Çiğdem'in kalemini kaldırmadığı durumdur. Grafiğin a noktasına soldan gelen ucu, sağdan gelen ucu ve a'nın üstündeki dolu nokta aynı yükseklikteyse kalem o noktadan takılmadan geçer. Bu sezgiyi üç denetlenebilir şarta çeviriyoruz.

Bir noktada süreklilik: üç şart

Şu üç şart birlikte sağlanıyorsa f fonksiyonu x = a noktasında sürekli (continuous) sayılır:

1. f(a) tanımlıdır.
2. a'daki limit vardır; yani soldan ve sağdan gelen değerler aynı sayıya toplanır.
3. Bu limit, f(a) sayısının kendisidir.

Şartlardan biri bile bozulursa f, a'da süreksiz (discontinuous) olur. Sıra önemlidir: ilk şart bozulduysa ötekilere bakmaya gerek kalmaz.

Bir sınama yapalım. 2 dışındaki her x için (x² − 4)/(x − 2) kuralıyla hesaplanan, 2'de ise k değerini alan bir f düşünelim. Kesir sadeleşince x + 2 kalır; 1,999999 için 3,999999 ve 2,000001 için 4,000001 değerleri limitin 4 olduğunu doğrular. Birinci ve ikinci şart sağlanıyor. Üçüncüsü k = 4 olmasını ister. k = 3 seçilirse limit hâlâ 4'tür ama değer 3'tür ve fonksiyon 2'de süreksizdir.

Süreksizliğin üç görünümü

Süreksizlik noktaları grafikte üç tipik biçimde görünür.

Delik (kaldırılabilir süreksizlik — removable discontinuity): limit vardır, ama f(a) ya tanımsızdır ya da limitten başka bir sayıdır. g(x) = (x² − 9)/(x − 3) fonksiyonu 3'te tanımsızdır, oysa limiti 6'dır. Grafik y = x + 3 doğrusudur ve (3, 6)'da boş bir daire taşır. g(3) = 6 diye tek bir değer eklemek süreksizliği ortadan kaldırır; adı da buradan gelir. Trigonometrik limitler dersindeki sin x/x de aynı türdendir: sıfırda tanımsızdır, oradaki limiti 1'dir ve sıfıra 1 değerini atamak grafiğin tek kopukluğunu kapatır.

Sıçrama (jump discontinuity): iki tek yanlı limit vardır ama farklıdır. 1'in solunda x + 1, 1'de ve sağında 3x kuralıyla verilen bir f fonksiyonunda 1'e soldan gelen değerler 2'ye, sağdan gelenler 3'e toplanır. f(1) = 3 tanımlı olsa bile limit yoktur. Hiçbir tek değer bu boşluğu kapatamaz, çünkü iki yön farklı yüksekliklerde kalır.

Sonsuz süreksizlik (infinite discontinuity): en az bir yönde değerler sınırsız büyür. 1/(x − 2)² ifadesi 2'nin iki yanında da +∞'a gider; x = 2 doğrusu grafiğin dikey asimptotudur. Burada ne limit ne de fonksiyon değeri vardır.

Bilinen fonksiyonlar nerede süreklidir?

Her noktada üç şartı yeniden sınamak gerekmez. Lise matematiğinin temel fonksiyonları tanım kümelerinin her noktasında süreklidir:

Sürekli iki fonksiyonun toplamı, farkı ve çarpımı da süreklidir; bölümleri paydanın sıfır olmadığı yerlerde süreklidir. Bileşke de sürekliliği korur. Bu yüzden süreksizlik arayan biri, ifadeyi tanımsız yapan noktalara ve parçalı fonksiyonların kuralın değiştiği yerlere bakar; başka yerde aramasına gerek yoktur. Mutlak değer tek başına bir kopukluk doğurmaz: |x − 3| grafiği 3'te sivri bir köşe yapar ama kesintisizdir. Mutlak değer paydaya ya da bir kesrin içine girdiğinde durum değişir; |x − 3|/(x − 3) ifadesi 3'te −1'den 1'e sıçrar.

Sadeleşen payda süreksizliği silmez

Paydası x − 1 olan (x² − 1)/(x − 1) kesri sadeleşince x + 1'e dönüşür, ama bu iki ifade aynı fonksiyon değildir: ilki x = 1'de tanımsızdır. Süreksiz noktaları sayarken paydanın sıfırlarını sadeleştirmeden ÖNCE bulmak gerekir. Örneğin (x − 2)/(x² − 4) ifadesinin paydası 2 ile −2'de sıfırdır; 2'de bir delik, −2'de sonsuz süreksizlik vardır ve toplam iki nokta eder. Paydası hiç sıfır olmayan 1/(x² + 4) ise her yerde süreklidir. Paydası ikinci dereceden olan bir kesrin her yerde sürekli olup olmadığına diskriminantla karar verilir: Δ < 0 ise paydanın gerçek kökü yoktur.

Parçalı fonksiyonda kırılma noktası

Parçalı bir fonksiyonun her parçası genellikle kendi aralığında sürekli bir polinomdur. Tehlike, kuralın değiştiği noktadadır. Orada soldan limit soldaki kuraldan, sağdan limit sağdaki kuraldan gelir; fonksiyon değeri ise eşitliğin hangi parçaya yazıldığına bakılarak bulunur.

1'in solunda ax − 2, 1'de ve sağında x² + 3x kuralıyla çalışan bir fonksiyonu ele alalım. Sağdaki kural 1'de 4 verir; f(1) = 4 ve sağdan limit de 4'tür. Soldan limit a − 2'dir. Sürekliliğin istediği a − 2 = 4 eşitliğinden a = 6 çıkar. Sayısal sınama: a = 6 iken 0,999999 için 3,999994; 1,000001 için 4,000005.

İki kırılma noktası iki ayrı denklem kurar. Bir fonksiyon 1'den küçük x'lerde x + a, [1, 3] kapalı aralığında bx, 3'ten büyük x'lerde x² − 3 kuralını izlesin ve her yerde sürekli olsun. Önce yalnız tek bilinmeyen içeren noktaya gidilir: 3'te 3b = 9 − 3 olduğundan b = 2. Sonra 1'de 1 + a = b = 2 eşitliğinden a = 1 bulunur. Hangi denklemi önce çözeceğini seçmek, iki bilinmeyenli bir sistemi iki kısa adıma böler.

Süreklilik aralığını yazmak

Bileşik bir ifadenin sürekli olduğu en geniş küme, her parçasının koşulları kesiştirilerek yazılır. f(x) = √(x − 1)/(x − 4) için kökün içi x ≥ 1 ister, payda x ≠ 4 ister; sonuç [1, 4) ∪ (4, ∞) olur. 1 kümenin içindedir, çünkü √0 = 0 tanımlıdır ve x = 1'den sağa doğru grafik kopmadan başlar. ln(x − 2) ise yalnız (2, ∞) aralığında tanımlıdır; 2'nin kendisi dışarıda kalır. Kök ile logaritma arasındaki bu küçük ayrım, ≥ ile > arasındaki farktan ibarettir ve soru çözerken kolayca gözden kaçar.

Kesintisiz grafiğin bir sonucu

Kancadaki taksiye dönelim. Bir aralıkta sürekli olan fonksiyon, aralığın uçlarında aldığı iki değerin arasındaki her değeri en az bir kez alır; matematikte buna ara değer teoremi denir. Sezgisel bir sonucu kök aramaktır: f(x) = x³ − x − 1 için f(1) = −1 negatif, f(2) = 5 pozitiftir ve polinom süreklidir, dolayısıyla 1 ile 2 arasında f'nin sıfır olduğu bir nokta vardır. Ücret grafiğinde bu çıkarım çalışmaz; taksimetre bazı tutarları hiç göstermeden atlar.

Limiti bir orana uygulamak

Bu modül boyunca limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken ne yaptığını sordu. Süreklilik, cevabın fonksiyon değeriyle çakışıp çakışmadığına baktı. Sıradaki derste limit yeni bir nesneye uygulanacak: iki nokta arasındaki ortalama değişimi veren bir oran. İki nokta birbirine yaklaştırıldığında o oran neye gider, ve bu sınır değer bir büyüklüğün tek bir andaki değişim hızını nasıl ölçer?

Örnek 1 — Deliği bir değerle kapatmak

Soru: Bir f fonksiyonu 3'ten farklı her x için (x² + 2x − 15)/(x − 3) ile hesaplanıyor, f(3) ise m olarak seçiliyor. f'nin 3'te kopuksuz olması için m, yani f(3), ne olmalıdır?

• A) f(3) = 0
• B) f(3) = −5
• C) f(3) = 8
• D) f(3) = 5
• E) uygun sayı yok

Çözüm: Payın çarpanları x + 5 ile x − 3'tür ve 3 dışında kesir x + 5'e eşittir. 3'e iki yandan yaklaşınca değerler 8'e gider; x = 2,999999'da 7,999999, x = 3,000001'de 8,000001 çıkar. Sürekliliğin üçüncü şartı m = 8 ister. 0 seçeneği 0/0'ı sıfır sanan öğrenciden, −5 payın öbür kökünü cevap sanandan, 5 ise x yerine sıfır koyup −15/(−3) hesaplayandan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — İki kırılma noktası

Soru: f fonksiyonu −1'in solunda ax + 5, [−1, 2) aralığında x² + b, 2 ve sağında 3x − 1 kuralıyla tanımlıdır ve bütün gerçek sayılarda süreklidir. a ve b sayılarının toplamı nedir?

• A) toplam 2
• B) toplam 4
• C) toplam 6
• D) toplam −2
• E) toplam 3

Çözüm: Tek bilinmeyenli nokta x = 2'dir: orta parça 4 + b, sağ parça 6 − 1 = 5 verir ve b = 1 olur. x = −1'de sol parça −a + 5, orta parça 1 + b = 2 verir; −a + 5 = 2'den a = 3. Toplam 3 + 1 = 4'tür. −a yerine a yazan a = −3 ve toplam −2 bulur. Cevap: B.

Örnek 3 — Sadeleşmeye aldanmamak

Soru: f(x) = (x² − 4)/(x³ − 4x) fonksiyonunun süreksiz olduğu kaç gerçek sayı vardır?

• A) nokta sayısı 1
• B) nokta sayısı 2
• C) nokta sayısı 0
• D) nokta sayısı 3
• E) nokta sayısı 4

Çözüm: Payda x³ − 4x = x · (x² − 4) biçiminde yazılır ve 0, 2, −2'de sıfırdır; f bu üç noktada tanımsız olduğundan süreksizdir. Sadeleşmiş hâl 1/x'tir ve yalnız 0'ı gösterir; 2 ile −2'deki delikler sadeleşme sırasında gözden kaçar. Paydanın yalnız x² − 4 çarpanına bakan 2 bulur. Cevap: D.

Örnek 4 — Aralıktaki tam sayılar

Soru: f(x) = √(6 − x)/(x² − 9) fonksiyonu [−5, 8] aralığındaki tam sayıların kaçında süreklidir?

• A) tam sayı adedi 12
• B) tam sayı adedi 14
• C) tam sayı adedi 11
• D) tam sayı adedi 8
• E) tam sayı adedi 10

Çözüm: Kökün içi 6 − x ≥ 0, yani x ≤ 6 ister; böylece 7 ve 8 düşer ve −5'ten 6'ya 12 tam sayı kalır. Payda x = 3 ve x = −3'te sıfırdır; ikisi de bu listededir ve çıkarılır. Geriye 10 tam sayı kalır. 12, paydayı unutmanın; 14 ise hiçbir koşula bakmamanın sonucudur. Cevap: E.

• Limitin varlığını süreklilik sanmak. Limit var olsa da f(a) tanımsız ya da farklıysa fonksiyon süreksizdir; üçüncü şart ayrıca sınanır.
• Sadeleşmiş ifadeye bakarak süreksiz nokta saymak. Paydanın sıfırları sadeleştirmeden önce bulunur; sadeleşen çarpan bir delik bırakır ama nokta yine süreksizdir.
• Kırılma noktasında fonksiyon değerini yanlış parçadan almak. Eşitlik hangi parçada yazılıysa (≤ ya da ≥) f(a) oradan hesaplanır; soldan ve sağdan limitler bundan etkilenmez.
• Kök ve logaritma uçlarını karıştırmak. √(x − 1) için 1 kümeye girer; ln(x − 2) için 2 girmez.
• Mutlak değeri kendiliğinden süreksiz saymak. |x − 3| sivri köşeli ama kesintisizdir; süreksizlik ancak mutlak değer bir kesirde sıfıra bölmeye yol açarsa doğar.
• İki bilinmeyenli parçalı soruda yanlış noktadan başlamak. Önce tek bilinmeyen içeren kırılma noktası çözülür, bulunan değer öbür denkleme taşınır.