Sonsuzda limit

Lerzan okul dergisini bastırmak için matbaadan fiyat alıyor: kalıp hazırlığı bir kerelik 300 lira, her kopya ayrıca 2 lira. 100 kopya basarsa toplam 500 lira öder ve kopya başına 5 lira düşer. 1000 kopyada kopya başı 2,30 lira, 10 000 kopyada 2,03 liraya iniyor. Lerzan sınıf arkadaşlarına «Bir milyon basarsak kopya 2 liranın altına iner mi?» diye soruyor. İnmez: her kopya en az 2 lira tutar, kalıp ücreti ise kopya sayısı büyüdükçe daha çok kişiye paylaşılır ve payı eriyip gider. Kopya başı maliyet 2'ye yanaşır ama 2'ye hiç eşit olmaz. Bu derste x'in bir sayıya değil, sınırsız büyüdüğü ya da sınırsız küçüldüğü durumdaki limiti inceliyoruz.

• Polinom ve rasyonel fonksiyonların x → +∞ ve x → −∞ iken limitini baş terimlerden bulursun.
• Köklü ifadelerde x → −∞ iken √(x²) = −x dönüşümünü uygulayıp işareti doğru belirlersin.
• ∞ − ∞ biçimindeki köklü farkları eşleniğe çarparak hesaplarsın.
• Sonsuzdaki sonlu limitten yatay asimptotu, paydanın sıfırlandığı noktadan dikey asimptotu yazarsın.

x sınırsız büyürken

Kancadaki maliyet f(x) = (2x + 300)/x kuralıyla yazılır. Önceki derslerde x'i bir a sayısına yaklaştırıyorduk; burada x hiçbir sayıda durmadan büyüyor. Bu hareket x → +∞ diye yazılır ve «x artı sonsuza giderken» diye okunur. x'in negatif yönde her sınırın altına inmesi de x → −∞ ile gösterilir. Kesri parçalayınca f(x) = 2 + 300/x olur. 300/x kısmı x büyüdükçe 3; 0,3; 0,03 diye erir, toplam da 2'ye toplanır: lim_{x→+∞} (2x + 300)/x = 2.

Bu hesabın çekirdeği 1/x ifadesidir. x = 10, 100, 1000 için 1/x sırasıyla 0,1; 0,01; 0,001 olur. x = −10, −100, −1000 için −0,1; −0,01; −0,001 çıkar; bu değerler 0'a alttan yaklaşır. Demek ki iki yönde de lim 1/x = 0'dır. Aynı sonuç her pozitif tam sayı n için 1/xⁿ ve her sabit k için k/xⁿ ifadesinde de geçerlidir: payın sabit kaldığı, paydanın sınırsız büyüdüğü bir kesir 0'a iner. Sonraki her yöntem bir ifadeyi bu türden kesirlere ayırmaya dayanır.

Polinomu baş terim yönetir

p(x) = x³ − 100x² polinomuna x = 10 yazınca −9000 bulunur, x = 200 için 4 000 000, x = 1000 için 900 000 000 çıkar. Küçük x'te eksi terim ağır basıyor, ama x büyüdükçe x³ öteki terimi geride bırakıyor. Bunu görmenin kesin yolu baş terimi dışarı almaktır: x³ − 100x² = x³(1 − 100/x). Parantezin içi 1'e gider, x³ ise sınırsız büyür; limit +∞'dur.

Genel kural şöyle okunur: bir polinomun x → ±∞ iken limiti, en yüksek dereceli teriminin, yani baş teriminin limitine eşittir. Baş terim axⁿ ise x → +∞ iken sonuç a'nın işaretini taşır. x → −∞ iken xⁿ çift n için pozitif, tek n için negatiftir; işaret, a'nın işaretiyle bu işaretin çarpımıdır. −2x³ + x polinomunda x → −∞ iken x³ negatif, −2 ile çarpımı pozitiftir ve limit +∞ olur. Sabit olmayan bir polinomun sonsuzdaki limiti hiçbir zaman sonlu bir sayı değildir.

Rasyonel fonksiyonda ∞/∞

r(x) = (3x² − x + 5)/(2x² + 7) için pay da payda da sınırsız büyür. Bu ∞/∞ durumudur; belirsizdir, çünkü iki büyüklüğün yarışını kimin kazandığı henüz belli değildir. x = 10 için 1,425; x = 100 için 1,4947; x = 1000 için 1,4995 çıkıyor. Tablonun gösterdiği sayıyı kesin olarak bulmak için pay ve payda, paydanın en yüksek dereceli x kuvvetine, burada x²'ye bölünür:

r(x) = (3 − 1/x + 5/x²)/(2 + 7/x²).

1/x ve 1/x² terimleri 0'a gittiği için limit 3/2 olur. Aynı bölme her rasyonel fonksiyona uygulanınca derecelere bağlı üç sonuç ortaya çıkar:

Üçüncü durumda işareti bulmak için baş terimlerin oranı sadeleştirilir. (x³ + 1)/(x² − 4) için oran x³/x² = x'tir; x → −∞ iken limit −∞ olur. x = −1000 için kesir yaklaşık −1000,004 veriyor. «Belirsizlik durumları» dersindeki fikir burada da işler: ifade, sorunu yaratan çarpandan kurtulacak biçimde yeniden yazılır. 0/0'da sıfırlanan çarpan sadeleşiyordu; ∞/∞'da büyüyen x kuvveti bölünerek dışarı alınıyor.

Köklü ifadede −∞ tuzağı

g(x) = √(x² + 1)/x için x → +∞ iken payı x²'nin karekökü yönetir. √(x² + 1) = √(x²) · √(1 + 1/x²) yazılır ve √(x²) = |x| olduğu unutulmamalıdır. x pozitifken |x| = x, kesir √(1 + 1/x²) değerine sadeleşir ve limit 1'dir. x negatifken |x| = −x olur; kesir −√(1 + 1/x²) biçimini alır ve limit −1 çıkar. Sayısal sınama da aynısını söyler: x = −1000 için √1 000 001/(−1000) ≈ −1,0000005. Kökü x'e eşit sanan öğrenci iki yönde de 1 yazar ve −∞ sorusunu kaçırır. Karekök negatif olamaz; işareti taşıyan, kökün dışında kalan x'tir.

∞ − ∞ ve eşleniğe çarpmak

h(x) = √(x² + 3x) − x ifadesinde x → +∞ iken iki terim de sınırsız büyür ve farkları için bir şey söylenemez: ∞ − ∞ de belirsizliktir. Tablo bir ipucu verir: x = 100 için 1,4889; x = 1000 için 1,4989; x = 10 000 için 1,49989. İfade eşleniği √(x² + 3x) + x ile çarpılıp bölünür. Payda (x² + 3x) − x² = 3x kalır:

h(x) = 3x/(√(x² + 3x) + x).

Şimdi pay ve payda x'e bölünür; x pozitif olduğundan √(x² + 3x)/x = √(1 + 3/x) yazılabilir. Sonuç 3/(√(1 + 3/x) + 1) olur ve limit 3/2'dir. Aynı ifade x → −∞ iken belirsiz değildir: √(x² + 3x) pozitif ve büyük, −x de pozitif ve büyüktür; toplam +∞'a gider. x = −1000 için yaklaşık 1998,5 bulunur. Bir polinomdaki ∞ − ∞ ise eşleniğe gerek duymaz; x² − 5x gibi bir farkta baş terim kararı verir.

Yatay ve dikey asimptot

x → +∞ ya da x → −∞ iken f(x) sonlu bir L sayısına gidiyorsa y = L doğrusu f'nin grafiğinin yatay asimptotu (horizontal asymptote) olur. Kancadaki maliyet grafiği y = 2 doğrusuna yaslanır. «Üstel fonksiyon» dersinde y = 2ˣ grafiğinin sola doğru x eksenine yapıştığını, yani y = 0'ın yatay asimptot olduğunu görmüştük; bu, lim_{x→−∞} 2ˣ = 0 eşitliğinin grafikteki karşılığıdır. Payın derecesi paydanınkinden küçükse yatay asimptot y = 0, dereceler eşitse y = baş katsayıların oranıdır. Grafik yatay asimptotunu sonlu bir yerde kesebilir: x/(x² + 1) eğrisi orijinden geçer ve gene de iki uçta y = 0 doğrusuna yaklaşır.

Paydanın a'da sıfır, payın sıfırdan farklı olduğu durumda ise «Limit kavramı, sağdan ve soldan limit» dersindeki 1/x tablosunun gösterdiği şey olur: a'nın yakınında değerler sınırsız büyür ya da küçülür ve x = a doğrusu dikey asimptot (vertical asymptote) adını alır. «Trigonometrik fonksiyonların grafikleri ve periyot» dersindeki tanjantın x = π/2 doğruları bu türdendir. y = (2x + 1)/(x − 3) grafiğinin dikey asimptotu x = 3, yatay asimptotu y = 2'dir. Pay ile payda aynı noktada sıfırlanıyorsa önce sadeleştirme denenir; sadeleşen nokta asimptot değil, grafikte bir boşluk olabilir.

Üstel fonksiyon sonsuzda

Taban 1'den büyükse aˣ, x → +∞ iken sınırsız büyür, x → −∞ iken 0'a iner: 2¹⁰ = 1024, 2⁻¹⁰ ≈ 0,00098. 0 < a < 1 olduğunda roller değişir: (1/2)ˣ, x → +∞ iken 0'a, x → −∞ iken +∞'a gider. Üstel kesirlerde de baş terim fikri işler, yalnız «baş» olan en büyük tabandır. (3 · 2ˣ + 1)/(2ˣ − 5) ifadesi x → +∞ iken 2ˣ'e bölünür ve 3'e gider; x → −∞ iken 2ˣ terimleri sıfırlanır ve geriye 1/(−5) = −1/5 kalır. İki ayrı yatay asimptot, y = 3 ve y = −1/5, aynı grafikte bulunur. «Geometrik diziler» dersinde |r| < 1 için rⁿ'nin 0'a yaklaşması da aynı olgudur; tek fark, değişkenin yalnız doğal sayılar üzerinden büyümesidir.

Sıfırın yanındaki bir oran

Bu modülde 0/0'ı çarpanlara ayırarak ya da eşlenikle çözdük; bu derste ∞/∞ bölmeyle, köklü ∞ − ∞ ise eşlenikle açıldı. Oysa x 0'a giderken sin x/x oranı da 0/0 biçimindedir ve sinüsün çarpanlara ayrılacak bir kuralı yoktur. Trigonometrik limitler dersi bu oranın hangi sayıya yaklaştığını ve sinüs ile tanjant içeren benzer kesirlerin limitinin nasıl hesaplandığını ele alıyor.

Örnek 1 — Dereceler eşit

Soru: lim_{x→+∞} (6x² − 5x + 1)/(4 − 3x²) değeri nedir?

• A) L = 1/4
• B) L = −2
• C) L = 2
• D) L = 5/3
• E) L = 0

Çözüm: Pay ve paydanın derecesi 2'dir. x²'ye bölünce (6 − 5/x + 1/x²)/(4/x² − 3) elde edilir ve limit 6/(−3) = −2 olur. Paydadaki baş katsayının −3 olduğunu gözden kaçıran 2 bulur; 1/4 ise x yerine 0 yazıp sabitleri bölmekten gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Kök ve eksi sonsuz

Soru: lim_{x→−∞} √(9x² + 5)/(2x − 1) değeri nedir?

• A) L = 3/2
• B) L = 9/2
• C) L = 0
• D) L = −3/2
• E) L = −∞

Çözüm: √(9x² + 5) = |x| · √(9 + 5/x²) ve x negatif olduğu için |x| = −x. Kesir −√(9 + 5/x²)/(2 − 1/x) olur ve limit −3/2'dir. x = −10⁶ için sayısal değer yaklaşık −1,49999925'tir. 3/2, kökü x'e eşit sanmaktan; 9/2 kökü hiç almamaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 3 — Köklü fark

Soru: lim_{x→+∞} (√(x² − 4x + 7) − x) değeri nedir?

• A) L = −2
• B) L = 2
• C) L = 0
• D) L = −4
• E) L = 7/2

Çözüm: Eşleniğe çarpınca pay (x² − 4x + 7) − x² = −4x + 7 olur. Pay ve payda x'e bölünür: (−4 + 7/x)/(√(1 − 4/x + 7/x²) + 1). Limit −4/2 = −2'dir. 0 seçeneği iki büyük terimi birbirini götürür sanmaktan, −4 ise paydadaki 2'yi unutmaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 4 — Asimptotlardan katsayı

Soru: f(x) = (ax² + 3)/(2x² − 8) grafiğinin yatay asimptotu y = 3'tür. a ile grafiğin dikey asimptot sayısının toplamı kaçtır?

• A) toplam = 5
• B) toplam = 3/2
• C) toplam = 7
• D) toplam = 9
• E) toplam = 8

Çözüm: Dereceler eşit olduğundan yatay asimptot a/2'dir; a/2 = 3 ile a = 6. Payda 2x² − 8 = 0 denkleminden x = 2 ve x = −2 gelir. Pay bu noktalarda 6 · 4 + 3 = 27 olduğundan sıfırlanmaz; iki dikey asimptot vardır. Toplam 6 + 2 = 8. Yalnız x = 2'yi sayan 7 bulur. Cevap: E.

• x → −∞ iken √(x²)'yi x yazmak. Kök daima pozitiftir, √(x²) = |x| = −x. Bu adımı atlayan işaret hatasıyla tam ters sonucu seçer.
• Polinomda yalnız katsayıya bakıp dereceyi unutmak. x → −∞ iken tek dereceli baş terim işareti çevirir: −4x⁵ bu yönde +∞'a gider.
• ∞ − ∞'yi 0 saymak. İki terim de büyüyor diye fark sıfır olmaz; √(x² + 3x) − x farkı 3/2'ye gider. Köklü farkta eşleniğe çarp, polinomda baş terime bak.
• ∞/∞'de x yerine 0 koymak. Sabit terimlerin oranı sonsuzdaki limiti vermez; belirleyici olan baş terimlerdir.
• Yatay asimptotun grafik tarafından kesilemeyeceğini sanmak. Asimptot uçlardaki davranışı anlatır; x/(x² + 1) eğrisi y = 0 doğrusunu orijinde keser.
• Paydanın her kökünü dikey asimptot saymak. Pay da aynı noktada sıfırlanıyorsa önce sadeleştir; orada bir boşluk olabilir.