Belirsizlik durumları

Ferit'in çalıştığı testin yedinci sorusu, x 2'ye giderken (x² + x − 6)/(x² − 4) kesrinin limitini istiyor. Ferit x yerine 2 yazıyor; pay 4 + 2 − 6 = 0, payda 4 − 4 = 0. Kâğıda 0/0 yazıyor ve iki seçenek arasında kalıyor: «limit 0» mı, «limit yok» mu? Testi bitirince hesap makinesiyle x = 1,999 değerini deniyor, ekranda 1,25006 beliriyor; 2,001 için 1,24994. Değerler ne sıfıra ne de bir sonsuza kaçıyor, 1,25 sayısının çevresinde toplanıyor. Kâğıttaki 0/0, Ferit'in sandığı gibi yolun sonu değil; kesrin bu yazılışıyla limitin okunamadığını haber veriyor. Bu derste o işareti okumayı, ifadeyi başka bir biçime sokup gizlenen limiti ortaya çıkarmayı ve paydanın tek başına sıfırlandığı durumu ondan ayırmayı çalışıyoruz.

• Yerine koyma sonucunu okuyup 0/0 belirsizliğini, k/0 durumunu ve doğrudan sonucu birbirinden ayırırsın.
• Pay ve paydadaki ortak (x − a) çarpanını çarpan teoremiyle bulup sadeleştirerek 0/0 limitini hesaplarsın.
• Köklü ifadelerde eşleniğe çarparak belirsizliği kaldırırsın.
• Limitin var olması koşulundan bilinmeyen katsayıları bulursun.

Önce yerine koy, sonra sonuca bak

Limit kuralları dersinde gördüğümüz gibi polinomların ve paydası a'da sıfırdan farklı olan rasyonel ifadelerin limiti, x yerine a yazılarak bulunur. Bu yüzden her limit sorusunda ilk hamle yerine koymaktır. Çıkan sonuç üç türden biridir. Payda sıfırdan farklıysa elde edilen sayı limittir ve iş biter. Payda sıfır, pay sıfırdan farklı bir k sayısıysa ifade k/0 biçimindedir. Pay da payda da sıfırsa 0/0 elde edilir. Bu dersin büyük kısmı üçüncü türle, bir bölümü de ikinci türle ilgilidir.

0/0 bir sayı değildir

0/0'ın neden bir sonuç sayılmadığını görmek için x → 1 iken dört ifadeye bakalım. x yerine 1 yazılınca her biri 0/0 verir.

Aynı 0/0 görüntüsünün arkasından 2, 1/2, 0 ve «limit yok» sonuçları çıktı. Demek ki 0/0 limit hakkında hiçbir bilgi taşımaz; yalnız pay ile paydanın birlikte sıfıra gittiğini bildirir. Bu tür durumlara belirsizlik (indeterminate form) denir. Belirsizlikte iş bitmemiştir: ifadenin biçimi değiştirilir, sonra yeniden yerine konur. İleride iki belirsizlik türüyle daha karşılaşacaksın: x sınırsız büyürken hem pay hem payda sınırsız büyüyorsa ∞/∞, iki sınırsız büyüyen terimin farkı alınıyorsa ∞ − ∞. Bu derste yalnız bir noktadaki 0/0'ı çözüyoruz.

Ortak çarpan nereden geliyor?

Polinomlar ünitesinde çarpan teoremini görmüştük: P(a) = 0 ise x − a, P(x)'in bir çarpanıdır. 0/0 durumunda pay da payda da x = a'da sıfırlandığına göre ikisi birden x − a çarpanını içerir. Belirsizliğin kaynağı bu ortak çarpandır ve onu kaldırmanın yolu iki tarafı da çarpanlara ayırıp x − a'yı sadeleştirmektir.

Sadeleştirme burada neden meşrudur? x → a yazıldığında x hiçbir zaman a olmaz; a'dan farklı her x için x − a sıfır olmayan bir sayıdır ve pay ile paydayı ona bölmek ifadenin değerini değiştirmez. Sadeleşmiş ifade a'nın çevresinde eskisiyle aynı değerleri alır, bu yüzden limitleri de aynıdır. Fark yalnız x = a noktasındadır: orada eski ifade tanımsız, yenisi tanımlıdır ve limit zaten o noktanın değerine bakmaz.

Kancadaki ifadeye dönelim. Pay x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3), payda x² − 4 = (x − 2)(x + 2) olarak ayrılır. x − 2 sadeleşince (x + 3)/(x + 2) kalır ve x yerine 2 yazınca 5/4 = 1,25 bulunur. Ferit'in hesap makinesinde gördüğü sayı budur.

Hangi ayırma yöntemi?

Çarpanlara ayırma tekniklerinin hepsi TYT'deki çarpanlara ayırma modülünden gelir; limitte yalnız hangisinin işe yaradığını görmek gerekir. Üç terimli ifadeler x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) gibi ayrılır. İki kare farkı x² − 16 = (x − 4)(x + 4) verir; böylece lim_{x→4} (x² − 16)/(x² − 5x + 4) = lim_{x→4} (x + 4)/(x − 1) = 8/3 olur. Küplerin farkı ve toplamı da sık gelir: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) özdeşliğiyle lim_{x→2} (x³ − 8)/(x − 2) = 4 + 4 + 4 = 12 bulunur. Tablo bunu destekler: x = 1,999 için 11,994; 2,001 için 12,006. Özdeşlik akla gelmezse çarpan teoremi yine yol gösterir: pay a'da sıfırsa onu x − a'ya bölmek (Horner yöntemi) bölümü verir.

Bir kez sadeleştirmek yetmeyebilir

Bazen x − a çarpanı payda ya da paydada birden fazla kez bulunur. lim_{x→1} (x³ − 3x + 2)/(x² − 2x + 1) ifadesinde pay (x − 1)²(x + 2), payda (x − 1)² olarak ayrılır. Yalnız bir x − 1 sadeleştiren öğrenci (x − 1)(x + 2)/(x − 1) ifadesinde yeniden 0/0 ile karşılaşır. Kural basittir: sadeleştirmeden sonra yeniden yerine koy; hâlâ 0/0 çıkıyorsa ortak çarpan bitmemiştir. Burada iki çarpan da gidince x + 2 kalır ve limit 3'tür. Katlı kök fikri polinomlar ünitesinde görülmüştü; limit onu yeniden çalıştırır.

Köklü ifadelerde eşlenik

lim_{x→0} (√(x + 4) − 2)/x ifadesinde yerine koyunca (2 − 2)/0 = 0/0 çıkar, fakat pay bir polinom olmadığı için çarpanlara ayırmak doğrudan işlemez. Burada paydayı rasyonel yapma dersindeki eşlenik fikri kullanılır: √(x + 4) − 2'nin eşleniği √(x + 4) + 2'dir ve çarpımları iki kare farkı gibi açılır: (√(x + 4))² − 2² = x + 4 − 4 = x. Pay ve paydayı aynı eşlenikle çarpınca

(√(x + 4) − 2)/x = x / (x · (√(x + 4) + 2)) = 1/(√(x + 4) + 2)

olur. Ortak çarpan x ortaya çıktı ve sadeleşti. Şimdi x yerine 0 yazılabilir: 1/(2 + 2) = 1/4. Sayısal tablo da aynı yere işaret eder; x = 0,001 için ifadenin değeri 0,249984, x = −0,001 için 0,250016'dır.

Eşlenik bazen paydada gerekir. lim_{x→9} (x − 9)/(√x − 3) ifadesinde x − 9'u (√x − 3)(√x + 3) diye görmek yeter; sadeleşince √x + 3 kalır ve limit 6 olur. Kökün pay ya da paydada olması fark etmez: kökü içeren tarafı eşleniğiyle çarp, diğer tarafı açılmış bırak.

Payda sıfır, pay sıfır değil

Yerine koyunca k/0 çıkıyorsa (k ≠ 0) ortada belirsizlik yoktur, çünkü sonuç bellidir: limit bir sayıya yerleşmez. Pay k'ye yakın kalırken payda sıfıra sokuldukça bölüm sınırsız büyür. Geriye kalan soru yöndür ve bu, limit kavramı dersinde gördüğümüz gibi tek yanlı limitlerle cevaplanır. x → 2 iken (x + 1)/(x − 2) kesrinde pay 3'e gider. 2'nin sağında payda küçük bir pozitif sayıdır ve ifade +∞'a gider; solunda payda negatiftir ve ifade −∞'a gider. İki yön farklı olduğundan x = 2'de limit yoktur. Payda (x − 2)² gibi iki yanda da pozitif kalan bir ifade olsaydı, iki yön de +∞ verirdi.

k/0 bazen 0/0'ı sadeleştirdikten sonra ortaya çıkar. (x² − 1)/(x − 1)² ifadesinde bir x − 1 sadeleşir ve (x + 1)/(x − 1) kalır; pay 2'ye, payda 0'a gider. Sadeleşmiş ifade sağdan +∞, soldan −∞ verir.

Limit varsa pay da sıfırlanmalı

Bu iki durumu birleştiren bir soru türü vardır. x → 2 iken (x² + ax − 6)/(x − 2) kesrinin limitinin bir gerçek sayı olarak var olduğu söylensin. Payda x = 2'de sıfırdır. Pay 2'de sıfırdan farklı olsaydı ifade k/0 biçiminde olur ve limit bulunmazdı. O hâlde pay da 2'de sıfırlanmalıdır: 4 + 2a − 6 = 0 ve a = 1. Pay x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3) olur, x − 2 sadeleşir ve limit 2 + 3 = 5 çıkar. Akıl yürütmenin yönü önemlidir: limitin varlığından payın sıfırlanmasına gidilir, sonra çarpanlar bulunur. İki bilinmeyen varsa ikinci denklem limitin verilen değerinden kurulur.

Bir noktadan sonsuza

Bu derste x hep belli bir a sayısına gitti ve belirsizliğin kaynağı a'da birlikte sıfırlanan bir çarpandı. x'in hiçbir sayıda durmadan büyüdüğü durumda pay ve payda ikisi birden sınırsız büyüyebilir; o zaman ortak çarpan aramak işe yaramaz, çünkü sorun bir kökte değil terimlerin büyüme hızındadır. Sıradaki ders x → ±∞ limitlerinde bu yarışı baş terimlerin nasıl kazandığını ve hangi biçimlerin belirsiz kaldığını inceliyor.

Örnek 1 — Üç terimliler

Soru: x → −3 iken (x² + 5x + 6)/(x² + 2x − 3) kesri hangi değere yaklaşır?

• A) lim = −1/4
• B) lim = 1/2
• C) lim = 0
• D) lim = 1/4
• E) limit yok

Çözüm: x = −3 yazınca pay 9 − 15 + 6 = 0, payda 9 − 6 − 3 = 0; belirsizlik vardır ve iki tarafta da x + 3 çarpanı bulunur. Pay (x + 2)(x + 3), payda (x − 1)(x + 3) olarak ayrılır. Sadeleşince (x + 2)/(x − 1) kalır ve −3'te (−1)/(−4) = 1/4 olur. Paydanın işaretini kaçıran −1/4 bulur. Cevap: D.

Örnek 2 — Küplerin farkı

Soru: lim_{x→2} (x³ − 8)/(x² − 4) kaçtır?

• A) lim = 12
• B) lim = 3
• C) lim = 2
• D) lim = 4
• E) lim = 0

Çözüm: Yerine koyunca 0/0. Pay (x − 2)(x² + 2x + 4), payda (x − 2)(x + 2) olarak ayrılır. Sadeleşen ifade (x² + 2x + 4)/(x + 2); x = 2'de 12/4 = 3. 12 seçeneği yalnız payı sadeleştirip paydadaki x + 2'yi unutanın sonucudur. Cevap: B.

Örnek 3 — Eşlenik

Soru: lim_{x→5} (√(x + 4) − 3)/(x − 5) kaçtır?

• A) lim = 1/3
• B) lim = 6
• C) lim = 1/6
• D) lim = 0
• E) lim = 3/2

Çözüm: x = 5 yazınca (3 − 3)/0 = 0/0. Pay ve payda √(x + 4) + 3 ile çarpılır; pay x + 4 − 9 = x − 5 olur. İfade (x − 5)/((x − 5)(√(x + 4) + 3)) = 1/(√(x + 4) + 3) biçimine iner ve 5'te 1/(3 + 3) = 1/6 verir. x = 5,001 için tablo 0,16666 gösterir. 6 bulan, sonucu ters çevirmiştir. Cevap: C.

Örnek 4 — Limitin varlığından katsayı

Soru: x → −1 iken (x² + ax + 4)/(x + 1) kesrinin limiti bir gerçek sayıdır. Bu limit L ise a + L toplamı kaçtır?

• A) a + L = 8
• B) a + L = 5
• C) a + L = 3
• D) a + L = 2
• E) a + L = 9

Çözüm: Payda −1'de sıfırdır; limitin var olması için pay da sıfırlanmalı: 1 − a + 4 = 0 ve a = 5. Pay x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4) olur; sadeleşince x + 4 kalır ve −1'de L = 3 çıkar. Toplam 5 + 3 = 8. Cevap: A.

• 0/0'ı sonuç sanmak. 0/0 gören öğrenci «limit 0» ya da «limit yok» işaretler. 0/0 hiçbir şey söylemez; ifade sadeleştirilip yeniden yerine konur.
• k/0'ı belirsizlik sanıp sadeleştirme aramak. Pay sıfırdan farklıysa ortak çarpan yoktur; sonuç sağdan ve soldan işaretle okunur, iki yön farklıysa limit yoktur.
• Bir kez sadeleştirip durmak. Katlı çarpanda sadeleştirmeden sonra yine 0/0 çıkabilir; her sadeleştirmeden sonra yerine koyup kontrol et.
• Eşleniği yalnız bir tarafa uygulamak. Pay ile paydanın ikisi de aynı eşlenikle çarpılmazsa ifade değişir.
• Parametre sorusunda pay koşulunu atlamak. Limitin var olduğu söyleniyorsa ve payda a'da sıfırsa pay da a'da sıfırdır; bu denklem kurulmadan çarpanlar bulunamaz.