Limit kuralları

Bengü deneme kitapçığında lim_{x→2} (x³ − 4x + 7)/(x + 1) sorusuna gelince hesap makinesini açıyor. 1,99 için kesri hesaplıyor, sonra 2,01 için, sonra 1,999 ve 2,001 için. Dört satırlık tablo üç dakikasını alıyor ve ancak sonucun 2,333… çevresinde toplandığını görebiliyor. Sıradaki Ayaz aynı soruyu on saniyede bitirmiş: x yerine 2 yazmış, payı 8 − 8 + 7 = 7, paydayı 3 bulmuş, 7/3 demiş. Bengü itiraz ediyor: «Limitte x hiç 2 olmuyordu, sen düpedüz 2 yazdın.» İkisi de aynı sayıyı buldu. Bu ders Ayaz'ın kestirmesinin hangi kurallara dayandığını ve hangi durumda Bengü'nün haklı çıkacağını gösteriyor.

• Toplam, fark, çarpım, bölüm, kuvvet ve kök kurallarını kullanarak bileşik bir ifadenin limitini parçaların limitlerinden hesaplarsın.
• Polinom ve rasyonel fonksiyonlarda doğrudan yerine koymanın hangi koşulda geçerli olduğuna karar verirsin.
• Parçalı fonksiyonların toplamında, çarpımında ve bileşkesinde limiti tek yanlı limitler üzerinden bulursun.
• Limit değeri verilen bir ifadeden bilinmeyen katsayıyı, payda limitinin sıfır olmadığını denetleyerek çözersin.

İki yapı taşı

Bütün kurallar iki basit gözleme dayanır. Birincisi sabit fonksiyondur: h(x) = 5 ise x nereye giderse gitsin değer hep 5'tir, yani lim_{x→a} c = c. İkincisi özdeşlik fonksiyonudur: h(x) = x için x'in 3'e yaklaşması, değerin de 3'e yaklaşması demektir; genel olarak lim_{x→a} x = a. Bunlar tablo istemez, tanımın kendisinden okunur. Geri kalan her şey bu iki taşın toplanması, çarpılması ve bölünmesiyle kurulur.

Toplam, fark ve sabitle çarpım

x → a iken h(x)'in limiti L, k(x)'in limiti M olsun; L ile M birer gerçek sayıdır. x a'ya yaklaştıkça h(x) değerleri L'ye, k(x) değerleri M'ye sokulur. O hâlde h(x) + k(x) toplamının L + M'ye sokulması beklenir ve gerçekten öyledir:

• lim [h(x) ± k(x)] = L ± M
• lim [c · h(x)] = c · L (c sabit)

Bir örnek: x → 1 iken h'nin limiti 3, k'nin limiti −2 olsun. lim [2h(x) − 5k(x)] = 2 · 3 − 5 · (−2) = 6 + 10 = 16 bulunur. Burada h ile k'nin kuralını bilmemize gerek yoktu; yalnız limitleri yetti.

Çarpım ve bölüm

Aynı varsayımlarla çarpımın limiti limitlerin çarpımıdır: lim [h(x) · k(x)] = L · M. Bölümde bir koşul eklenir:

• lim [h(x)/k(x)] = L/M, yalnız M ≠ 0 iken.

Yukarıdaki h ve k için çarpımın limiti 3 · (−2) = −6, bölümünki 3/(−2) = −3/2 olur. Kurallar zincirlenebilir: lim [h(x)² + k(x)]/[h(x) − k(x)] için önce pay 9 + (−2) = 7, sonra payda 3 − (−2) = 5 hesaplanır; payda limiti sıfırdan farklı olduğu için sonuç 7/5'tir.

Kuvvet ve kök

Çarpım kuralını aynı fonksiyonla tekrar tekrar uygulamak kuvvet kuralını verir: n pozitif tam sayıysa lim [h(x)]ⁿ = Lⁿ. Kök için de benzer bir kural vardır: lim ⁿ√h(x) = ⁿ√L. Tek dereceli kökte (∛ gibi) L her gerçek sayı olabilir. Çift dereceli kökte (√ gibi) L > 0 olması kuralı güvenle kullanmaya yeter; L = 0 durumunda ise kök içinin a'nın çevresinde negatife düşmediğinden emin olmak gerekir. Örnek: x → 2 iken x² + 5 ifadesinin limiti 9'dur, bu yüzden lim √(x² + 5) = √9 = 3.

Polinomlarda ve rasyonel fonksiyonlarda yerine koyma

x² + 3x ifadesini düşünelim. lim x = 2 olduğundan çarpım kuralı lim x² = 4'ü, sabitle çarpım kuralı lim 3x = 6'yı, toplam kuralı da lim (x² + 3x) = 10'u verir. Sonuç, ifadede x yerine 2 yazmakla aynıdır. Bu bir rastlantı değildir: her polinom sabitlerden ve x'ten toplama ile çarpmayla kurulduğu için her P polinomunda lim_{x→a} P(x) = P(a) olur.

Rasyonel fonksiyon iki polinomun bölümüdür. Bölüm kuralı paydanın limitini sıfırdan farklı istediğinden şu sonuç çıkar: Q(a) ≠ 0 ise lim_{x→a} P(x)/Q(x) = P(a)/Q(a). Kancadaki ifadede Q(2) = 3 olduğu için Ayaz'ın 7/3'ü meşrudur; Bengü'nün 1,999 ve 2,001 satırları da 2,3333 değerinde buluşarak aynı sonucu doğrular. Yani Ayaz «x'i 2 yaptı» değil, kuralların zincirini tek adımda uyguladı.

Bengü'nün itirazı payda sıfırlandığında haklı çıkar. (x² − 4)/(x − 2) ifadesinde x yerine 2 yazınca hem pay hem payda 0 olur. Paydanın limiti sıfır olduğu için bölüm kuralı burada hiçbir şey söylemez; 0/0 yazısı bir sonuç değil, kuralın devre dışı kaldığını gösteren bir işarettir. Payın limiti sıfırdan farklıyken paydanınki sıfırsa değerler bir önceki dersteki 1/x gibi sınırsız büyür.

Kurallar ne zaman susar?

Toplam kuralının bir ön şartı var: iki limitin de var olması ve sonlu olması. Ön şart sağlanmazsa kural yanlış bir şey söylemez, yalnız hiçbir şey söylemez. h(x) = |x|/x ve k(x) = −|x|/x fonksiyonlarını alalım. Önceki dersten biliyoruz ki x → 0 iken h sağda 1, solda −1 değerini alır; limiti yoktur. k de aynı biçimde limitsizdir. Ama toplamları her x ≠ 0 için 0'dır ve lim [h(x) + k(x)] = 0 vardır. Çarpımda da benzeri olur: [h(x)]² her yerde 1'dir, limiti 1'dir. Demek ki toplamın ya da çarpımın limiti varken parçaların limiti olmayabilir.

Ters yönde ise kesin bir sonuç çıkar. lim h(x) varsa ve lim [h(x) + k(x)] de varsa, k(x) = [h(x) + k(x)] − h(x) yazılır ve fark kuralı k'nin limitini de verir. Bu yüzden limiti olan bir fonksiyona limiti olmayan bir fonksiyon eklenirse toplamın limiti olamaz.

Parçalı fonksiyonlarda işlem

Kırılma noktasında kurallar her yön için ayrı uygulanır, çünkü tek yanlı limitler de toplama, çarpma ve bölmeye aynı biçimde uyar. h(x) = x + 2 (x < 1) ve h(x) = 2x − 3 (x ≥ 1); k(x) = 3x − 3 (x < 1) ve k(x) = x + 3 (x ≥ 1) olsun. x = 1'in solunda h 3'e, k 0'a gider; sağında h −1'e, k 4'e gider. İkisinin de limiti yoktur. Toplam soldan 3 + 0 = 3'e, sağdan −1 + 4 = 3'e gider; demek ki h + k'nin x = 1'deki limiti 3'tür. 0,999999 ve 1,000001 için hesaplanan toplamlar da 3,0000'e yerleşir. Aynı fonksiyonların çarpımı ise soldan 3 · 0 = 0, sağdan −1 · 4 = −4 verir; çarpımın limiti yoktur. Parçalı soruda önce dört tek yanlı sayıyı yaz, işlemi her yönde ayrı yap, en sonda iki sonucu karşılaştır.

Bileşke fonksiyon

lim_{x→a} k(x) = M ise ve dış fonksiyon h, M noktasında kopuksuz bir grafiğe sahipse lim h(k(x)) = h(M) olur. Sezgisi şudur: k(x) M'ye sokulurken h'nin girdisi M'ye sokulur, grafikte kopma olmadığı için çıktı da h(M)'ye sokulur. Grafiğin kopmaması fikri M18'in son dersinde süreklilik adıyla kesinleşecek; şimdilik polinomlar ve kökler (tanım kümesinin içinde) bu türden fonksiyonlardır. Örnek olarak k(x) = x² + 2x ve h(t) = √(t + 1) alalım. x → 1 iken k 3'e gider; h'nin 3'teki kök içi 4 pozitif olduğundan h orada kopmaz ve lim h(k(x)) = h(3) = 2 bulunur. Hangi fonksiyonun içte durduğuna dikkat: önce içteki limit alınır, sonra dıştaki fonksiyona verilir.

Dış fonksiyon M'de kopuyorsa iç fonksiyonun hangi yönden geldiğine bakılır. h(t) = 2 (t ≤ 1) ve h(t) = t + 4 (t > 1) için k(x) = 1 + x² alalım. x → 0 iken k(x) 1'e yalnız üstten yaklaşır, çünkü x² hiç negatif olmaz. h'nin girdisi hep 1'in sağında kalır ve çıktı 1 + 4 = 5'e gider. Burada h(1) = 2 yazmak yanlış olurdu.

Limitten bilinmeyen bulmak

Kural ters yönde bir denklem kurdurur. lim_{x→2} (x² + ax + 1)/(x + 3) = 3 verilsin. Payda limiti 2 + 3 = 5 sıfırdan farklı olduğundan yerine koyma geçerlidir: (4 + 2a + 1)/5 = 3, buradan 2a = 10 ve a = 5. Bilinmeyen paydanın içindeyse bulunan değer paydayı sıfırlamamalıdır; sıfırlıyorsa eşitliği kuran bölüm kuralı o değer için hiç geçerli değildi ve değer elenir.

Payda sıfıra gidince

Bu derste limitleri parçalara ayırdık ve her parçanın limiti bir sayı olduğu sürece sonucu birleştirdik. Bölüm kuralının tek açık kapısı payda limitinin sıfır olduğu durumdu. Sıradaki ders o kapıdan giriyor: yerine koymanın 0/0 ya da ∞/∞ verdiği ifadelerde bu biçimlerin neden tek bir sayı bildirmediği ve limitin hangi yoldan aranacağı.

Örnek 1 — Yalnız limitleri bilinen iki fonksiyon

Soru: x 1'e giderken h'nin limiti 3, k'nin limiti −2 ise [h(x)² − 2k(x)]/[h(x) + k(x) + 1] kesrinin aynı noktadaki limiti hangi sayıdır?

• A) sonuç 5/2
• B) sonuç 13/2
• C) sonuç 13/4
• D) sonuç 7/2
• E) sonuç 5/6

Çözüm: Pay için kuvvet ve fark kuralları: 3² − 2 · (−2) = 9 + 4 = 13. Payda için toplam kuralı: 3 + (−2) + 1 = 2, sıfırdan farklı. Bölüm kuralı 13/2'yi verir. 5/2 bulan −2 · (−2) çarpımında işareti kaçırıp 9 − 4 yazmıştır. Cevap: B.

Örnek 2 — Kök ve kesir birlikte

Soru: lim_{x→3} √(x² + 7) · (x − 1)/(x + 1) değeri kaçtır?

• A) ifade → 4
• B) ifade → 1/2
• C) ifade → 8
• D) ifade → 2
• E) ifade → 3

Çözüm: x → 3 iken x² + 7 ifadesi 16'ya gider; 16 > 0 olduğundan kök kuralı √16 = 4'ü verir. Kesirde payda 4 sıfır değildir, kesrin limiti 2/4 = 1/2'dir. Çarpım kuralıyla 4 · 1/2 = 2. Sayısal denetim: 2,999999 ve 3,000001 için ifade 2,0000 çevresindedir. Cevap: D.

Örnek 3 — Limiti olmayan iki parçanın toplamı

Soru: h(x) = x + 2 (x < 1), h(x) = 2x − 3 (x ≥ 1) ve k(x) = 3x − 3 (x < 1), k(x) = x + 3 (x ≥ 1) veriliyor. x → 1 iken h(x) + k(x) toplamının limiti için doğru seçenek hangisidir?

• A) toplamın limiti 3
• B) toplamın limiti 7
• C) h ve k limitsiz olduğu için limit yok
• D) toplamın limiti −1
• E) toplamın limiti 4

Çözüm: Soldan: h → 3, k → 0, toplam 3. Sağdan: h → −1, k → 4, toplam 3. İki yönün sonucu çakıştığı için limit 3 olarak vardır. C seçeneği toplam kuralının ön şartını tersine okur: kural iki limit de varken sonuç verir, ama limitlerin olmaması toplamın limitini yasaklamaz. 7 ve −1, yönleri karıştırıp h'nin bir yanını k'nin öbür yanıyla toplayan hatalardan gelir (3 + 4 ya da −1 + 0); 4 yalnız k'nin sağ limitidir. Cevap: A.

Örnek 4 — Limitten katsayıya

Soru: lim_{x→2} (x² + ax + 1)/(x + 3) = 3 olduğuna göre a kaçtır?

• A) a'nın değeri 2
• B) a'nın değeri 7
• C) a'nın değeri −5
• D) a'nın değeri 10
• E) a'nın değeri 5

Çözüm: x = 2'de payda 5 olur ve sıfırdan farklıdır; bu yüzden ifadede x yerine 2 yazmak meşrudur. (4 + 2a + 1)/5 = 3 ⇒ 5 + 2a = 15 ⇒ a = 5. a = 10 bulan 2a = 10 adımında ikiye bölmeyi unutmuştur. Cevap: E.

• Bölüm kuralını payda limitine bakmadan uygulamak. x yerine a yazmadan önce paydanın a'daki değerine bak; sıfırsa kural devre dışıdır ve 0/0 bir cevap değildir.
• Parçaların limiti yok diye toplamın da limiti yok demek. |x|/x ile −|x|/x'in toplamı her yerde 0'dır; tek yanlı limitleri ayrı ayrı topla, sonra karşılaştır.
• Parçalı fonksiyonda h(a)'yı limit yerine koymak. Kırılma noktasında h(1) gibi bir değer, hangi parçaya ait olursa olsun, yalnız bir yönü temsil eder.
• Bileşkede dış fonksiyonun kopukluğunu görmemek. lim h(k(x)) = h(M) eşitliği dış fonksiyon M'de kopuksuzken geçerlidir; kopuk noktada iç fonksiyonun hangi yönden geldiğine bak.
• Bulunan parametrenin paydayı sıfırlayıp sıfırlamadığını denetlememek. Denklemi kuran bölüm kuralıdır; payda limitini sıfır yapan değer elenir.