Limit kavramı, sağdan ve soldan limit

Yaren kargo şubesinde paketini teraziye koyuyor. Tabelada iki satır yazıyor: 2 kilograma kadar (2 dahil) gönderim 60 lira, 2 kilogramı aşan paket 85 lira. Terazi önce 1,98 gösteriyor; Yaren pakete bir kalem ekleyince 1,995, bir defter ekleyince 2,004 oluyor. Görevli gülümsüyor: «Bir defter yirmi beş lira etti.» Yaren aklından bir deney yapıyor. Ağırlık 2'nin biraz altında kaldıkça ücret hep 60; 2'yi azıcık geçtiği anda hep 85. 2'ye ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın, iki yandan bakınca iki ayrı sayı görüyor. Ücretin 2 kilogram civarında «neye yaklaştığı» sorusunun tek bir cevabı yok. İşte bu derste bu soruyu kesin bir dile çeviriyoruz: bir noktaya yaklaşmayı, soldan ve sağdan limiti, limitin ne zaman var olduğunu ve limit değerinin fonksiyon değerinden neden ayrı tutulduğunu.

• Değer tablosu kurarak bir fonksiyonun x → a iken soldan ve sağdan yaklaştığı değerleri bulursun.
• İki tek yanlı limiti karşılaştırıp limitin var olup olmadığına ve değerine karar verirsin.
• Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kırılma noktasındaki tek yanlı limitlerini hesaplarsın.
• Dolu ve boş noktalarla betimlenen bir grafikten limit değerini ve fonksiyon değerini ayrı ayrı okursun.

Bir noktaya yaklaşmak

f(x) = 2x + 1 fonksiyonunda x'i 3'e eşitlemeden 3'e yaklaştıralım. Soldan, yani 3'ten küçük değerlerle gelince 2,9 için 6,8; 2,99 için 6,98; 2,999 için 6,998 bulunur. Sağdan, yani 3'ten büyük değerlerle gelince 3,1 için 7,2; 3,01 için 7,02; 3,001 için 7,002 çıkar. x 3'e sokuldukça f(x) değerleri iki taraftan da 7'ye sokulur. Bunu lim_{x→3} (2x + 1) = 7 diye yazar, «x 3'e giderken 2x + 1'in limiti 7'dir» diye okuruz.

Bu tabloda önemli bir ayrıntı var: x hiçbir zaman 3 olmadı. Limit, fonksiyonun a noktasında aldığı değeri değil, a'nın çevresindeki değerlerin hangi sayıya doğru toplandığını sorar. x → a yazıldığında daima x ≠ a anlaşılır. Fonksiyonlar ünitesinde f(3) gibi tek bir değeri hesaplamayı öğrenmiştik; limit, o tek değerin etrafındaki davranışı inceleyen yeni bir sorudur.

Soldan ve sağdan limit

Yaklaşmanın iki yönü ayrı ayrı adlandırılır. x'in a'dan küçük değerlerle a'ya gitmesi x → a⁻ ile gösterilir ve «x a'ya soldan yaklaşırken» diye okunur. Bu yönde f(x) değerlerinin yaklaştığı sayıya soldan limit (left-hand limit) denir ve lim_{x→a⁻} f(x) ile yazılır. a'dan büyük değerlerle gelmek x → a⁺ ile gösterilir; o yöndeki sayıya sağdan limit (right-hand limit) denir ve lim_{x→a⁺} f(x) yazılır. Üstteki eksi ve artı işaretleri sayının işaretiyle ilgili değildir; yalnız yönü bildirir. x → 2⁻ ifadesinde x pozitif sayılardır, 1,9 ve 1,99 gibi.

Kancadaki kargo ücretini u(x) diye adlandıralım. x 2'ye soldan yaklaşırken 1,9; 1,99; 1,999 ağırlıklarının hepsinde ücret 60'tır, dolayısıyla lim_{x→2⁻} u(x) = 60. Sağdan gelen 2,1; 2,01; 2,001 ağırlıklarının hepsinde ücret 85'tir ve lim_{x→2⁺} u(x) = 85 olur.

Limit ne zaman vardır?

f fonksiyonunun a noktasında limiti, ancak soldan ve sağdan limitler var olup birbirine eşitse vardır; ortak değer limitin kendisidir:

lim_{x→a} f(x) = L ⇔ lim_{x→a⁻} f(x) = L ve lim_{x→a⁺} f(x) = L.

Kargo ücretinde iki tek yanlı limit 60 ve 85'tir. Her biri tek başına vardır, ama eşit olmadıkları için lim_{x→2} u(x) yoktur. Bu durumda «limit 72,5'tir» gibi bir ortalama yazılmaz; limit bir uzlaşma değildir. 2x + 1 örneğinde ise iki yön aynı 7'yi verdiği için limit vardır.

Limit değeri ile fonksiyon değeri

Limitin tanımında f(a) hiç geçmez. Bu yüzden üç durum birbirinden ayrı düşünülmelidir. Birincisi, f(a) tanımsız olabilir ama limit var olabilir. h(x) = x + 3 kuralı yalnız x ≠ 1 için verilsin. Grafiği y = x + 3 doğrusudur, ancak (1, 4) noktasında içi boş bir daire vardır: o noktada fonksiyon tanımlı değildir. Doğru üzerinde 1'e iki yandan yaklaşan noktaların yükseklikleri 4'e gider; lim_{x→1} h(x) = 4 olur.

İkincisi, f(a) tanımlı ama limitten farklı olabilir. k(x) = x² + 1 (x ≠ 2) ve k(2) = 9 olsun. Grafikte y = x² + 1 eğrisinin (2, 5) noktası boştur, eğrinin dışında (2, 9) noktası doludur. Limit eğrinin gittiği yere bakar: lim_{x→2} k(x) = 5, oysa k(2) = 9'dur. Üçüncüsü, ikisi eşit olabilir; 2x + 1 için hem limit hem f(3) 7'dir. Limitin fonksiyon değerine eşit olduğu bu durum, modülün sonundaki süreklilik dersinin konusudur.

Parçalı fonksiyonda kırılma noktası

Parçalı tanımlı bir fonksiyonda kuralın değiştiği noktaya kırılma noktası diyelim. Bu noktada soldan limit sol parçanın kuralından, sağdan limit sağ parçanın kuralından hesaplanır, çünkü x → a⁻ iken x hep sol parçanın bölgesinde kalır. f(x) = x² − 1 (x < 2) ve f(x) = 3x − 3 (x ≥ 2) fonksiyonunda soldan limit 2² − 1 = 3, sağdan limit 3 · 2 − 3 = 3'tür; limit vardır ve 3'e eşittir. Kuralın içine a yazmak burada yalnız hesap kısayoludur; gerekçesi, her iki parçanın da polinom olması ve polinom değerlerinin x'teki küçük değişime küçük değişimle karşılık vermesidir. Tablo kurarak bakan 1,99 için 2,9601 ve 2,01 için 3,03 değerlerini görür.

Parçalardan birinde bilinmeyen bir katsayı varsa, «limit vardır» bilgisi bir denklem kurdurur. f(x) = ax + 1 (x < 3) ve f(x) = x² − 2 (x ≥ 3) için soldan limit 3a + 1, sağdan limit 9 − 2 = 7'dir. Eşitlikten 3a + 1 = 7 ve a = 2 bulunur.

Mutlak değerin kırdığı limitler

Mutlak değer de bir parçalı fonksiyondur: |x − 2| ifadesi x ≥ 2 iken x − 2, x < 2 iken −(x − 2)'dir. Bu yüzden m(x) = |x − 2|/(x − 2) ifadesi 2'nin sağında her yerde 1, solunda her yerde −1 değerini alır. 2,01 için 0,01/0,01 = 1; 1,99 için 0,01/(−0,01) = −1 çıkar. Buna göre lim_{x→2⁺} m(x) = 1, lim_{x→2⁻} m(x) = −1'dir ve limit yoktur. Mutlak değerin tanımı ve kritik nokta fikri TYT'deki mutlak değer dersinden gelir; burada yaptığımız, aynı ayrımı limitin iki yönüne dağıtmaktır. Paydayı 2 − x yapmak işaretleri ters çevirir: |x − 2|/(2 − x) sağda −1, solda 1 olur.

Grafikten limit okumak

Sınavda çoğu zaman fonksiyonun kuralı değil, grafiği verilir. Grafikte içi dolu nokta fonksiyonun o x'teki değerini, içi boş nokta ise eğrinin ulaştığı ama sahiplenmediği yeri gösterir. Limit okunurken dolu ya da boş olmasına bakılmaz; soldan limit, a'ya soldan gelen parçanın ucunun yüksekliğidir; sağdaki parçanın başladığı yükseklik de sağdan limiti verir. Fonksiyon değeri için ise yalnız dolu noktaya bakılır.

Bir örnek betimleyelim: x < 1 bölgesinde grafik y = x + 2 doğrusudur ve (1, 3)'te boş daireyle biter. x > 1 bölgesinde grafik y = 4 − x doğrusudur, o da (1, 3)'ten boş daireyle başlar. Ayrıca (1, 1) noktası doludur. İki uç aynı yükseklikte buluştuğu için lim_{x→1} f(x) = 3, dolu nokta da f(1) = 1 verir.

Sınırsız büyüyen değerler

Bazen tek yanlı yaklaşmada değerler bir sayıya toplanmaz, her sınırı aşarak büyür. f(x) = 1/x için x 0'a sağdan yaklaşırken 0,1; 0,01; 0,001 değerleri 10, 100, 1000 verir. Bu durum lim_{x→0⁺} 1/x = +∞ biçiminde yazılır ve «sağdan pozitif sonsuza gider» diye okunur. Soldan gelen −0,1; −0,01; −0,001 değerleri −10, −100, −1000 verdiğinden lim_{x→0⁻} 1/x = −∞'dur. +∞ bir gerçek sayı değildir; bu yazım, değerlerin hiçbir sayıya yerleşmediğini ve hangi yöne kaçtığını özetler. Bu yüzden 0 noktasında 1/x'in limiti yoktur. 1/(x − 1)² ise 1'in iki yanında da pozitif kalır ve iki yönden +∞'a gider. İşareti belirleyen paydanın o yandaki işaretidir; x'in sonsuza gittiği durumlar M18'in ilerleyen bir dersinde ele alınacak.

Tablo kurmanın sınırı

Bu derste her limiti ya bir değer tablosundan ya da grafikten okuduk. Tablo kavramı görmeyi sağlar ama yavaştır ve x² + 3x gibi iki parçadan kurulmuş bir ifadede her satırı yeniden hesaplatır. Sıradaki derste soru tersine dönüyor: limiti bilinen fonksiyonlar toplanır, çıkarılır, çarpılır ya da bölünürse yeni ifadenin limiti, parçaların limitlerinden tablo kurmadan nasıl bulunur?

Örnek 1 — Limit ile değeri ayırmak

Soru: f(x) = x² + 1 kuralı x ≠ 2 için geçerlidir ve f(2) = 9'dur. lim_{x→2} f(x) + f(2) toplamı kaçtır?

• A) lim + f(2) = 9
• B) lim + f(2) = 10
• C) lim + f(2) = 14
• D) lim + f(2) = 18
• E) lim + f(2) = 5

Çözüm: x 2'ye iki yandan yaklaşırken kural x² + 1 olduğundan değerler 2² + 1 = 5'e gider; limit 5'tir. f(2) ise ayrıca 9 olarak verilmiştir. Toplam 5 + 9 = 14. 18 bulan, limit yerine de f(2)'yi yazmıştır. Cevap: C.

Örnek 2 — Kırılma noktasında iki yön

Soru: f(x) = 4 − x² (x < 1) ve f(x) = 2x + 5 (x ≥ 1) olarak tanımlanıyor. lim_{x→1⁻} f(x) ile lim_{x→1⁺} f(x) değerlerinin çarpımı kaçtır?

• A) çarpım = 9
• B) çarpım = 49
• C) çarpım = 15
• D) çarpım = 7
• E) çarpım = 21

Çözüm: Soldan gelirken x < 1 parçası geçerlidir: 4 − 1 = 3. Sağdan gelirken x ≥ 1 parçası geçerlidir: 2 + 5 = 7. Tablo da bunu doğrular: 0,99 için 3,0199; 1,01 için 7,02. Çarpım 21'dir. İki tek yanlı limit farklı olduğundan x = 1'de limit yoktur, ama soru tek yanlı limitleri istediği için çarpım vardır. Cevap: E.

Örnek 3 — Mutlak değerli ifade

Soru: f(x) = x + |x − 2|/(x − 2) için lim_{x→2⁺} f(x) − lim_{x→2⁻} f(x) farkı kaçtır?

• A) sağ − sol = 0
• B) sağ − sol = 2
• C) sağ − sol = −2
• D) sağ − sol = 4
• E) sağ − sol = 1

Çözüm: 2'nin sağında |x − 2| = x − 2 olduğundan kesir 1'dir ve sağdan limit 2 + 1 = 3 olur. Solunda |x − 2| = −(x − 2) olduğundan kesir −1'dir ve soldan limit 2 − 1 = 1 olur. Fark 3 − 1 = 2. Cevap: B.

Örnek 4 — Katsayıyı limitten bulmak

Soru: f(x) = ax − 1 (x < 2) ve f(x) = x² + a (x > 2) fonksiyonunun x = 2'de limiti vardır. Bu limitin değeri L kaçtır?

• A) L = 9
• B) L = 5
• C) L = 4
• D) L = 14
• E) L = 3

Çözüm: Soldan limit 2a − 1, sağdan limit 4 + a'dır. Limit var olduğuna göre 2a − 1 = 4 + a ve a = 5. Ortak değer 2 · 5 − 1 = 9'dur; sağdan bakınca da 4 + 5 = 9. f(2)'nin tanımlı olmaması sonucu etkilemez. 5 seçeneği a'nın kendisidir; soru limiti istiyor. Cevap: A.

• Limiti f(a) ile karıştırmak. Grafikteki dolu nokta fonksiyon değeridir; limit, eğrinin a'ya iki yandan gittiği yüksekliktir. İkisi farklı olabilir, f(a) hiç olmayabilir.
• İki tek yanlı limit farklıyken ortalamayı limit sanmak. 60 ve 85 veren bir fonksiyonun limiti 72,5 değildir; limit yoktur.
• x → a⁻ ifadesindeki eksiyi sayının işareti sanmak. İşaret yalnız yönü gösterir: x → 3⁻ iken x = 2,99 gibi pozitif değerler alır.
• Kırılma noktasında yanlış parçayı kullanmak. Soldan limit için a'nın solundaki kural, sağdan limit için sağındaki kural kullanılır; eşitliğin hangi parçada olduğu (x ≥ a ya da x > a) tek yanlı limitleri değiştirmez.
• Mutlak değeri açarken işareti unutmak. |x − a|/(x − a) solda −1'dir; paydası a − x olunca işaretler yer değiştirir.
• +∞'u bir limit değeri gibi işleme sokmak. +∞ değerlerin sınırsız büyüdüğünü anlatır; iki yönde farklı sonsuzlar çıkıyorsa limit yoktur.