Toplam sembolü

Oya deneme kitabında şu ifadeyle karşılaşıyor: k = 3'ten 12'ye Σ (2k + 1). Büyük Yunan harfinin altında «k = 3», üstünde «12» yazıyor. Oya önce terim sayısını 12 − 3 = 9 diye hesaplıyor, sonra emin olmak için terimleri tek tek yazıyor: 7, 9, 11, …, 25. Saydığında on terim çıkıyor; 3 de 12 de listeye dahil olduğu için sayı bir fazla. Toplamı ardışık sayılar dersindeki yolla buluyor: 10 · (7 + 25)/2 = 160. Uzun bir toplamı tek satıra sığdıran bu kısaltma, dizi sorularının ortak dilidir. Bu derste Σ gösterimini okumayı, toplamı parçalara ayırıp birleştirmeyi ve bazı hazır toplam formüllerini kullanmayı öğreneceğiz.

• Σ ile yazılmış bir toplamın alt sınırını, üst sınırını, terim sayısını ve genel terimini okur, terimleri açık biçimde yazarsın.
• Sabit çarpanı dışarı alma, toplamı ve farkı ayırma, sınırları kaydırma ve aralığı parçalama özelliklerini kullanarak toplamı hesaplarsın.
• Σ k, Σ k² ve Σ k³ formüllerini ve 1/(k(k + 1)) biçimindeki teleskopik toplamı uygularsın.
• Aritmetik ve geometrik dizilerin ilk n terim toplamını Σ ile yazar, Σ aₖbₖ ifadesini Σ aₖ · Σ bₖ sanma hatasından kaçınırsın.

Gösterimi okumak

Σ (sigma) işareti «topla» anlamına gelir. k = 1'den n'ye Σ aₖ yazıldığında, k harfine önce 1 verilir, sonra 2, 3 diye birer birer artırılarak n'ye kadar gidilir ve her adımda bulunan aₖ değerleri toplanır: a₁ + a₂ + … + aₙ. Burada k'ya toplam indisi, işaretin altına yazılan başlangıç değerine alt sınır, üstüne yazılan bitiş değerine üst sınır denir. Aradaki ifade, dizi kavramı dersindeki genel terimin ta kendisidir. a₁ + a₂ + … + aₙ yazıldığında okur, üç noktanın arkasında hangi kuralın işlediğini ilk birkaç terimden tahmin etmek zorunda kalır; Σ ise başlangıcı, bitişi ve kuralı açıkça önüne koyar.

İndisin hangi harfle gösterildiği sonucu değiştirmez. k = 1'den 5'e Σ k² ile i = 1'den 5'e Σ i² aynı sayıyı, 55'i verir; harf yalnız terimlere sırayla değer vermeye yarayan bir yer tutucudur. Sonuçta indis kalmaz, ama n gibi sınırda duran bir harf kalabilir: k = 1'den n'ye Σ k bir sayı değil, n'ye bağlı bir ifadedir.

Terim sayısı

Alt sınır m, üst sınır n ise toplamda n − m + 1 terim vardır. Kancadaki hata bu bir eksikten doğmuştu: 3'ten 12'ye kadar 12 − 3 değil, 12 − 3 + 1 = 10 sayı vardır, çünkü iki uç da toplama girer. Bir dizinin her terimi toplandığından terim sayısı, sıra numarası sayısıdır; genel terimin kaç kez «çalıştırıldığını» söyler.

Sabitin toplamı

Genel terim k'ya bağlı değilse her adımda aynı sayı eklenir. k = 1'den n'ye Σ c = c + c + … + c = n · c olur. Sınırlar 1'den başlamıyorsa çarpan terim sayısıdır: k = 3'ten 10'a Σ 5 ifadesinde sekiz terim vardır ve toplam 8 · 5 = 40'tır. Sabiti tek bir terim gibi toplayıp 5 yazmak, bu konunun en sık hatasıdır.

Toplamı ayırmak ve sabiti dışarı almak

Her terim aynı sabitle çarpılmışsa bu sabit ortak çarpan olarak dışarı alınır: Σ c · aₖ = c · Σ aₖ. Toplam ya da fark hâlindeki bir genel terim de iki toplama ayrılır: Σ (aₖ ± bₖ) = Σ aₖ ± Σ bₖ. Bu iki özellik, terimleri yeniden gruplamaktan başka bir şey değildir.

Birlikte kullanıldıklarında uzun hesaplar kısalır. k = 1'den 10'a Σ (3k + 2) toplamı, 3 · (k = 1'den 10'a Σ k) + (k = 1'den 10'a Σ 2) biçimine gelir; 1'den 10'a kadar sayıların toplamı 55 olduğundan sonuç 3 · 55 + 10 · 2 = 185'tir. Buradaki +2'nin 2 olarak değil, 20 olarak eklenmesi, bir önceki başlıktaki sabit kuralının uygulamasıdır.

Çarpım ayrılmaz

Toplam ve fark ayrılır, çarpım ayrılmaz: genel olarak Σ (aₖ · bₖ) ≠ Σ aₖ · Σ bₖ. En küçük örnek bunu gösterir. k = 1'den 2'ye Σ (k · k) = 1 + 4 = 5'tir; oysa (1 + 2) · (1 + 2) = 9 eder. Fark, açılımda oluşan çapraz terimlerden (1 · 2 ve 2 · 1) gelir. Aynı nedenle Σ aₖ² ile (Σ aₖ)² de farklı sayılardır. Genel terim bir çarpımsa önce çarpım açılır, sonra ayırma kuralı uygulanır: k(k + 2) = k² + 2k gibi.

Sınırları kaydırmak

Bir toplamın alt sınırını 1'e çekmek hesabı kolaylaştırır. k = 3'ten 10'a Σ k toplamında j = k − 2 dersek k = 3 iken j = 1, k = 10 iken j = 8 olur; her k yerine j + 2 yazılır. Böylece toplam j = 1'den 8'e Σ (j + 2) biçimine gelir ve 36 + 8 · 2 = 52 bulunur. Doğrulama kolaydır: 3 + 4 + … + 10 = 52.

Kaydırmanın iki parçası hiçbir zaman ayrılmaz: sınırlardan 2 çıkarıldıysa genel terimde indisin yerine j + 2 konur. Yalnız sınırları değiştirip genel terime dokunmamak toplamı tamamen başka bir sayıya çevirir. Terim sayısı da kaydırmadan sonra aynı kalmalıdır; 3'ten 10'a sekiz terim, 1'den 8'e yine sekiz terimdir.

Aralığı parçalamak

Bir toplam, ardışık iki aralığa bölünebilir: k = 1'den 20'ye Σ aₖ = (k = 1'den 10'a Σ aₖ) + (k = 11'den 20'ye Σ aₖ). Bunu ters çevirince ortadan başlayan toplamlar bulunur. k = 11'den 20'ye Σ k = 210 − 55 = 155. Burada çıkarılan toplam 10'da biter, 11'de değil; m'den başlayan bir toplam için 1'den m − 1'e kadar olan kısım düşülür. 11'i de çıkarmak, toplamdan bir terim eksiltir.

Hazır toplamlar

Üç formül pek çok soruyu tek satıra indirir:

Birincisinin nedeni eşleştirmedir: 1 + 2 + … + n toplamı ters sırayla bir kez daha yazılıp alt alta toplanırsa her sütun n + 1 eder; n sütun iki kez sayılmış olduğundan yarıya bölünür. Üçüncüsü dikkat çekici bir eşitliktir: ilk n küpün toplamı, ilk n sayının toplamının karesidir. n = 3 için 1 + 8 + 27 = 36 = 6². İkincisi n = 3'te 1 + 4 + 9 = 14 = 3 · 4 · 7/6 verir.

Formüller yalnız alt sınır 1 iken doğrudan uygulanır. Başka bir alt sınırda önce parçalama yapılır: k = 11'den 20'ye Σ k² = 2870 − 385 = 2485.

Teleskopik toplam

Bazı genel terimler iki ardışık ifadenin farkı olarak yazılabilir. 1/(k(k + 1)) kesri, kısmi kesirlere ayrılınca 1/k − 1/(k + 1) olur; payda eşitlenerek kolayca denetlenir. Toplam açık yazıldığında

(1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n + 1))

her terimin ikinci parçası bir sonrakinin birinci parçasını götürür. Geriye yalnız ilk parça ile son parça kalır: 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1). Dürbün gibi iç içe kapanan bu yapıya teleskopik toplam denir.

Paydadaki çarpanlar arasındaki fark 1 değil de 2 ise bir katsayı gelir: 1/((2k − 1)(2k + 1)) = (1/2) · (1/(2k − 1) − 1/(2k + 1)). Açılımda yine ilk ve son parça kalır, ama önündeki 1/2 unutulmamalıdır. Aynı fikir Σ k² formülünün de kaynağıdır: (k + 1)³ − k³ farkları k = 1'den n'ye toplanınca sol taraf teleskopik olarak (n + 1)³ − 1'e iner, sağ taraf 3k² + 3k + 1'in toplamıdır ve buradan Σ k² çekilir.

Dizi toplamlarını Σ ile yazmak

Aritmetik dizide genel terim a₁ + (k − 1)d olduğundan ilk n terimin toplamı k = 1'den n'ye Σ (a₁ + (k − 1)d) biçiminde yazılır. Ayırma kuralı ve Σ k formülü bu toplamı n(a₁ + aₙ)/2'ye götürür; Oya'nın kancadaki hesabı da bu formüldü. a₁ = 5, d = 4 alınırsa sekizinci terim 33 olur ve k = 1'den 8'e Σ (4k + 1) = 8 · (5 + 33)/2 = 152 bulunur; aynı sonuç 4 · 36 + 8 = 152 diye ayırma kuralıyla da gelir.

Geometrik diziler dersinde bulduğumuz toplam da aynı biçimde yazılır: k = 1'den n'ye Σ a₁ · rᵏ⁻¹ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), r ≠ 1 iken. Payı ve paydayı −1 ile genişletmek o dersteki yazılışı verir; hangisi kullanılırsa kullanılsın sonuç aynıdır. Örneğin k = 1'den 6'ya Σ 2ᵏ toplamında ilk terim 2, oran 2'dir ve sonuç 2 · (1 − 2⁶)/(1 − 2) = 126 çıkar. Burada üssün k − 1 değil k olduğuna, yani ilk terimin 1 değil 2 olduğuna bakmak gerekir.

Toplamdan terime

Aritmetik diziler dersindeki aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ bağıntısı Σ diliyle bir parçalamadır: k = 1'den n'ye Σ aₖ, k = 1'den n − 1'e Σ aₖ ile tek terimlik bir parçaya, aₙ'ye bölünür. Bu yüzden toplamı n'ye bağlı verilmiş bir dizide istenen terim, iki komşu üst sınırın farkıdır; n = 1'de ise ikinci parça boş kalır ve a₁ toplamın kendisidir.

Soru kökleri ve sıradaki adım

Sınavda bu konu çoğunlukla bir toplamın değeri, terim sayısı, bilinmeyen bir üst sınır ya da verilen iki toplamdan kurulan yeni bir toplam olarak karşına çıkar. Bütün bu hesaplarda toplam baştan hazır verilmiştir. Gündelik bir durumda ise önce hangi niceliğin dizi oluşturduğunu, ilk terimini ve artış kuralını kendin bulman gerekir. Bir amfide sıra sıra artan koltuklar, her ay biraz büyüyen bir birikim ya da her sekişte alçalan bir top, sorunun bir terimi mi yoksa birikmiş toplamı mı istediğine karar verilmeden çözülemez. Hikâyeden diziyi kurmak ve terimle toplamı ayırt etmek, diziler ve gerçek hayat problemleri dersinin konusudur.

Örnek 1 — Sabitin toplamı

Soru: k = 4'ten 15'e Σ 6 toplamının değeri kaçtır?

• A) toplam = 66
• B) toplam = 6
• C) toplam = 90
• D) toplam = 72
• E) toplam = 60

Çözüm: Terim sayısı 15 − 4 + 1 = 12'dir; her terim 6 olduğundan toplam 12 · 6 = 72'dir. 66, terim sayısını 15 − 4 = 11 almaktan; 90, alt sınırı 1 sanıp 15 terim saymaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 2 — Ayırma ve sabit

Soru: k = 1'den 12'ye Σ (2k − 3) toplamı kaçtır?

• A) toplam = 153
• B) toplam = 120
• C) toplam = 156
• D) toplam = 132
• E) toplam = 117

Çözüm: Toplam 2 · (k = 1'den 12'ye Σ k) − (k = 1'den 12'ye Σ 3) olarak ayrılır. 1'den 12'ye sayıların toplamı 12 · 13/2 = 78'dir; sabit kısım 12 · 3 = 36 eder. Sonuç 156 − 36 = 120 bulunur. 153, sabit 3'ü yalnız bir kez çıkarmanın sonucudur. Cevap: B.

Örnek 3 — Ortadan başlayan kareler

Soru: k = 11'den 20'ye Σ k² toplamı kaçtır?

• A) toplam = 2364
• B) toplam = 2870
• C) toplam = 2485
• D) toplam = 385
• E) toplam = 2100

Çözüm: 1'den 20'ye karelerin toplamı 20 · 21 · 41/6 = 2870, 1'den 10'a karelerin toplamı 10 · 11 · 21/6 = 385'tir. İstenen kısım 2870 − 385 = 2485 eder. 2364, 1'den 11'e kadar olan toplamı (506) çıkarıp 11² terimini de atmaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 4 — Teleskopik

Soru: k = 1'den 24'e Σ 1/(k(k + 1)) toplamı kaçtır?

• A) 1/25
• B) 25/24
• C) 23/24
• D) 1/24
• E) 24/25

Çözüm: Her terim 1/k − 1/(k + 1) olarak yazılır. Ardışık parçalar birbirini götürür; geriye 1 − 1/25 = 24/25 kalır. 1/25 yalnız son parçayı, 25/24 kesri ters çevirmeyi yansıtır. Cevap: E.

• Terim sayısını üst − alt diye almak. İki uç da toplamdadır; m'den n'ye n − m + 1 terim vardır.
• Sabitin toplamında çarpanı unutmak. Σ 5 tek bir 5 değildir; terim sayısı kadar 5'tir.
• Σ aₖbₖ ifadesini Σ aₖ · Σ bₖ diye ayırmak. Çarpım ayrılmaz; önce genel terimi aç, sonra topla.
• Ortadan başlayan toplamda bir fazla terim çıkarmak. 11'den 20'ye toplam için 1'den 10'a kadar olan kısım düşülür.
• Sınırları kaydırıp genel terimi değiştirmemek. Sınırlardan 2 çıktıysa indisin yerine j + 2 yazılmalıdır.
• Teleskopik açılımdaki katsayıyı atlamak. Çarpanlar arası fark 2 ise ayırmanın önüne 1/2 gelir.