Diziler ve gerçek hayat problemleri

Rüveyda yeni bir bisiklet için birikim planı yapıyor: ocakta 200 lira ayıracak, sonraki her ay bir önceki aydan 50 lira fazla. Bisikletin fiyatı 6000 lira. Aralıkta ayıracağı tutarı doğru buluyor, 750 lira. Sonra hızlıca 12 · 750 = 9000 diye çarpıyor ve rahatlıyor: parası fazlasıyla yetecek. Yıl sonunda kumbarayı sayınca 5700 lira çıkıyor ve 300 lira eksik kalıyor. Hata hesapta değil, kurulumda: 750 yalnız son ayın tutarı, ilk aylar çok daha azdı. Rüveyda'nın sorusu aslında «on ikinci terim kaç?» değil, «ilk on iki terimin toplamı kaç?» sorusuydu. Bu derste bir hikâyeyi diziye çevirmeyi, terimin mi toplamın mı sorulduğuna karar vermeyi ve «ilk kez aştığı an» sorularını tam sayıyla cevaplamayı çalışacağız.

• Sözel bir durumda ardışık değerlerin farkının mı oranının mı sabit olduğunu belirleyip a₁ ile d ya da r değerini okursun.
• Sorulan büyüklüğün tek bir anın değeri mi, o ana kadar birikmiş miktar mı olduğuna karar verip uygun formülü uygularsın.
• Sıra numarası ile adım sayısı arasındaki bir kaymayı (katlama, zıplama, hafta) fark edip doğru terimi seçersin.
• Toplamın ya da terimin bir sınırı ilk kez aştığı n değerini eşitsizlik kurup tam sayı denemesiyle bulursun.

Hikâyeden diziye: üç karar

Bir sözel problemi dizi diliyle çözmeden önce üç şeye karar verilir. Birincisi dizinin türüdür: ardışık iki değer arasındaki fark hep aynıysa aritmetik, birinin ötekine bölümü hep aynıysa geometrik bir dizi vardır. «Her ay 50 lira fazla», «her sırada 4 koltuk daha» gibi ifadeler sabit farkı; «her seferinde yarısı», «iki katına çıkıyor», «yüksekliğinin 3/4'ü» gibi ifadeler sabit oranı haber verir. İkincisi başlangıçtır: a₁ hikâyedeki ilk değerdir ve hangi ana karşılık geldiği açıkça yazılmalıdır. Üçüncüsü sorulan büyüklüktür: tek bir anın değeri isteniyorsa bir terim, o ana kadar birikenler isteniyorsa bir toplam hesaplanır.

Kullanacağımız araçların hepsi önceki derslerde kuruldu. Aritmetik dizide n. terime ulaşmak için ilk terime n − 1 kez d eklenir; ilk n terimin toplamı ise uç terimlerin ortalamasıyla terim sayısının çarpımıdır, yani (a₁ + aₙ) · n/2. Son terim bilinmiyorsa önce a₁ + (n − 1)d ile o hesaplanır. Geometrik dizide n. terim a₁'in rⁿ⁻¹ katıdır; oran 1'den farklıyken ilk n terim a₁ · (rⁿ − 1)/(r − 1) toplamını verir. Toplam sembolü dersindeki Σ gösterimi bu toplamları kısaca yazmanın yoludur; burada asıl iş, Σ'nın içine neyin gireceğini hikâyeden çıkarmaktır.

Düzenli artan birikim

Kancadaki plan bir aritmetik dizidir: a₁ = 200, d = 50. Aralık on ikinci aydır ve a₁₂ = 200 + 11 · 50 = 750 olur. Kumbaradaki para ise ilk on iki ayın toplamıdır: S₁₂ = 12 · (200 + 750)/2 = 5700. Rüveyda'nın çarpımı her ayı son ay kadar saymıştı. Toplam formülündeki (a₁ + aₙ)/2 çarpanı aylık ortalamadır; dizi düzenli arttığı için ortalama tam olarak ilk ve son ayın ortasındadır. Bu yorum ters sorularda da işe yarar: on iki ayda 6000 lira biriktirmek isteyen biri için aylık ortalama 500 lira olmalıdır, yani ilk ve son ayın ortalaması 500'e çıkmalıdır.

Sıra sıra dizilen nesneler

Varsayımsal bir amfi tiyatronun en ön sırasında 18 koltuk olsun ve her sıra bir öncekinden 4 koltuk fazla taşısın. On beşinci sıra 18 + 14 · 4 = 74 koltukludur; bütün salon 15 · (18 + 74)/2 = 690 kişi alır. Üst üste yığılan kutularda, basamaklarda ya da bir duvarın tuğla sıralarında yapı aynıdır: sıra sayısı n, en uç sıra a₁, sıradan sıraya değişim d. Sorunun hangi uçtan saydığına bakmak gerekir. Kutu yığınında «en üstte 3 kutu» deniyorsa a₁ üst sıradır ve aşağı indikçe sayı artar; «en altta 25 kutu, her üst sırada 2 eksik» deniyorsa a₁ = 25 ve d = −2 alınır. Son sıradaki sayı ve sıra sayısı verilip d sorulduğunda aₙ = a₁ + (n − 1) · d eşitliği d için çözülür.

Sıra numarası mı, adım sayısı mı?

Gerçek hayat problemlerinde en sık kayan şey sayaçtır. Serdar koşuya ilk hafta günde 3 km ile başlıyor ve her hafta 0,5 km ekliyor. Günlük 10 km'ye ulaştığı hafta 3 + (n − 1) · 0,5 = 10 eşitliğinden n = 15 çıkar; eklemeler on dört kez yapılmıştır ama hafta on beşinci haftadır.

Kâğıt katlamada sayaç ters yönde kayar. Kalınlığı 0,1 mm olan bir kâğıt her katlamada iki katına çıkar. Katlamadan önceki kalınlığı a₁ alırsak tek katlamadan sonra a₂ elde edilir; yedi katlamadan sonraki kalınlık dizinin sekizinci terimidir: 0,1 · 2⁷ = 12,8 mm. Burada güvenli yol, katlama sayısını doğrudan üs yapmaktır: k katlamadan sonra kalınlık 0,1 · 2ᵏ'dir. Hangi biçimi seçersen seç, hikâyedeki ilk anın hangi terime denk geldiğini bir kez yaz ve sonra o anlaşmaya sadık kal.

Eşik soruları: ilk kez aştığı n

«Toplam ilk kez 1000'i ne zaman aşar?» sorusunda cevap bir pozitif tam sayıdır. İlk günde 20 sayfa okuyup her gün 10 sayfa ekleyen birinin toplamı Sₙ = n · (40 + 10(n − 1))/2 = 5n² + 15n olur. 5n² + 15n > 1000 eşitsizliği n² + 3n > 200'e sadeleşir. Kök yaklaşık 12,7 çıkar; bu bir gün sayısı olamaz. Sınırın iki yanındaki tam sayıları dene: S₁₂ = 900, S₁₃ = 1040. Toplam on üçüncü günde ilk kez 1000'i geçer.

Eşitlik durumuna dikkat: sınırı tam tutturan bir n varsa «aşar» ifadesi o n'yi kabul etmez, «en az … olur» ifadesi kabul eder. Bu ayrım, iki planın karşılaştırıldığı sorularda da belirleyicidir; iki toplamın eşit olduğu ayda henüz kimse öne geçmemiştir.

Oranı sabit olanlar

Varsayımsal bir eleme turnuvasına 64 oyuncu katılıyor ve her turda oyuncuların yarısı eleniyor. İlk turda 32, sonra 16, 8, 4, 2 ve 1 maç oynanır: ilk terimi 32, oranı 1/2 olan ve altı maçtan oluşan bir dizi. Toplam maç sayısı 32 · (1 − (1/2)⁶)/(1 − 1/2) = 63'tür. Sonucu başka bir yoldan da sınayabiliriz: her maç tam bir oyuncuyu eler ve şampiyon dışında 63 oyuncu elenir.

Şekillerde de aynı yapı görülür. Bir çizimin birinci adımında 1 kare var ve her adımda eklenen yeni kare sayısı bir önceki adımda eklenenin 4 katı olsun. Adımlarda eklenen kareler 1, 4, 16, 64, 256 diye gider; beşinci adımın sonunda toplam 1 · (4⁵ − 1)/(4 − 1) = 341 kare vardır. Bir adımda eklenen sayı bir terim, o adıma kadar çizilen sayı ise bir toplamdır. Bu ayrım aritmetik dizide olduğu gibi burada da sorunun anahtarıdır.

Zıplayan top

16 m yükseklikten bırakılan bir top her yere çarpışından sonra bir önceki yüksekliğin 3/4'ü kadar yükseliyor. Yükselişler 12, 9, 6,75, … diye geometrik bir dizi oluşturur. Top yere dördüncü kez değdiğinde aldığı yol hesaplanırken ilk düşüş bir kez, sonraki her yükseliş ise çıkış ve iniş olarak iki kez sayılır: 16 + 2 · (12 + 9 + 6,75) = 71,5 m. Dördüncü çarpmadan önce üç yükseliş vardır; dört yükselişi saymak bir fazla adım demektir.

Çarpma sayısı arttıkça yol uzamayı sürdürür: altıncı çarpmada yaklaşık 89,2 m'ye, onuncu çarpmada yaklaşık 104,8 m'ye ulaşılır. Ama artışlar giderek küçülür. Geometrik diziler dersinde oranı 0 ile 1 arasında kalan dizilerin toplamı için gördüğümüz sınır burada somutlaşır: yükselişlerin toplamı 12/(1 − 3/4) = 48'e yaklaşır, toplam yol da 16 + 2 · 48 = 112 m'ye. Hiçbir çarpmada yol 112'yi geçmez, yine de çarpma sayısı yeterince büyük seçilince 112'ye istenen kadar sokulur.

Bu «yaklaşma» şimdilik sezgisel bir sözdür. Dizide değişken yalnız 1, 2, 3, … diye büyüyebilir; bir fonksiyonda ise x bir noktaya iki yandan sokulabilir. x bir sayıya soldan ve sağdan yaklaşırken f(x) değerlerinin nereye gittiğini tanımlamak, iki yönden gelen değerlerin aynı sayıda buluşup buluşmadığını sınamak limit kavramının işidir ve sıradaki ders bu kavramla açılır.

Örnek 1 — Artan birikimin toplamı

Soru: Taner ilk ay 150 lira biriktiriyor ve sonraki her ay bir önceki aydan 40 lira fazla ayırıyor. Bir yılın sonunda biriktirdiği toplam para kaç liradır?

• A) 3850 lira
• B) 7080 lira
• C) 4440 lira
• D) 4680 lira
• E) 2280 lira

Çözüm: a₁ = 150, d = 40, n = 12. Son ay a₁₂ = 150 + 11 · 40 = 590 olur ve S₁₂ = 12 · (150 + 590)/2 = 4440 bulunur. 4680, son ayı 150 + 12 · 40 alan sayaç hatasından; 7080 her ayı son ay saymaktan; 3850 bir ay eksik toplamaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Salon kapasitesi

Soru: Bir salonun ilk sırasında 20 koltuk vardır ve her sıra bir öncekinden 3 koltuk fazladır. Salonun en az 600 kişi alması için en az kaç sıra gerekir?

• A) 14 sıra
• B) 15 sıra
• C) 16 sıra
• D) 21 sıra
• E) 13 sıra

Çözüm: Sₙ = n · (40 + 3(n − 1))/2 ≥ 600 eşitsizliği 3n² + 37n − 1200 ≥ 0 olur; pozitif kök yaklaşık 14,6'dır. Tam sayılarla sına: S₁₄ = 553 yetmez, S₁₅ = 615 yeter. Cevap: B.

Örnek 3 — Zıplayan topun yolu

Soru: 25 m yükseklikten bırakılan bir top, her çarpışmadan sonra bir önceki yüksekliğin 4/5'i kadar yükseliyor. Top yere dördüncü kez değdiği anda toplam kaç metre yol almıştır?

• A) 73,8 m
• B) 147,6 m
• C) 143,08 m
• D) 122,6 m
• E) 97,6 m

Çözüm: Yükselişler 20, 16, 12,8'dir; dördüncü çarpmaya kadar üç yükseliş vardır. Yol 25 + 2 · (20 + 16 + 12,8) = 25 + 97,6 = 122,6 m. 73,8 yükselişleri tek yönlü saymaktan, 147,6 ilk düşüşü de iki kez saymaktan, 143,08 dördüncü yükselişi eklemekten gelir. Cevap: D.

Örnek 4 — Geometrik toplamın eşiği

Soru: Ufuk bir oyunun birinci seviyesinden 3 puan alıyor; her seviyede kazandığı puan bir öncekinin iki katı oluyor. Toplam puanı ilk kez 1000'i hangi seviyenin sonunda aşar?

• A) 9. seviye
• B) 8. seviye
• C) 10. seviye
• D) 7. seviye
• E) 26. seviye

Çözüm: Sₙ = 3 · (2ⁿ − 1) > 1000 için 2ⁿ − 1 > 333,3 gerekir, yani 2ⁿ ≥ 335. 2⁸ = 256 yetmez, 2⁹ = 512 yeter. Kontrol: S₈ = 765, S₉ = 1533. Onuncu seviye seçeneği toplam yerine tek seviyenin puanını 1000 ile karşılaştırmaktan; 26. seviye ise puanı her seviye 3 artıyormuş gibi aritmetik saymaktan gelir. Cevap: A.

• Terim isteneni toplamla, toplam isteneni terimle cevaplamak. «O ay ne kadar» bir terim, «o aya kadar ne kadar» bir toplamdır; Rüveyda'nın 9000'i son terimi on iki kez saymaktı.
• Adım sayısını sıra numarası sanmak. On dört artıştan sonra on beşinci haftaya gelinir; yedi katlamadan sonraki kalınlık dizinin sekizinci terimidir.
• Zıplayan topta yükselişleri tek kez saymak ya da ilk düşüşü iki kez saymak. İlk düşüş bir kez, sonraki her yükseliş iki kez yola eklenir; n. çarpmaya kadar n − 1 yükseliş vardır.
• Eşik sorusunda kökü yuvarlamadan cevap vermek. Eşitsizliğin kökü tam sayı çıkmaz; sınırın iki yanındaki tam sayıları yerine koyup hangisinin koşulu sağladığına bak.
• «Aşar» ile «en az olur» farkını gözden kaçırmak. Sınırı tam tutturan n, «aşar» sorusunda cevap değildir.