Geometrik diziler

Hümeyra'nın deneme kitapçığındaki soru kısa: 2, 6, 18, … diye ilerleyen dizinin ilk beş teriminin toplamı kaçtır? Terimleri tek tek yazıyor, 54 ile 162'yi de ekleyip topluyor: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. Yan sırada oturan Jülide aynı soruyu birkaç saniyede bitirmiş; kâğıdında yalnız 3⁵ − 1 = 242 duruyor. Hümeyra önce tesadüf sanıyor, sonra ilk dört terimi deniyor: toplam 80, 3⁴ − 1 de 80. Her terim bir öncekinin üç katı olunca toplam bir kuvvetin içine saklanıyor. Bu derste terimleri hep aynı sayıyla çarpılarak ilerleyen dizileri kuracak, genel terimlerini yazacak ve Jülide'nin kısa yolunun nereden geldiğini göreceğiz.

• Ardışık terimlerin oranından ortak çarpanı bulur, genel terimi a₁ ile ya da bilinen herhangi bir terimden yazarsın.
• Geometrik ortalama ve indis toplamı özelliğiyle bilinmeyen terimleri ve çarpımları, oranı hesaplamadan bulursun.
• İki sayı arasına terim yerleştirir, üç terimi a/r, a, a·r biçiminde kurarak toplam ve çarpım sorularını çözersin.
• İlk n terimin toplamını formülle hesaplar, çift kuvvetten gelen iki oranı ayırt edersin.

Fark yerine oran

Bir önceki derste ardışık terimleri arasındaki fark sabit kalan dizilerle çalıştık. 3, 12, 48, 192 dizisinde farklar 9, 36, 144 diye büyür; sabit kalan şey farklar değil, bölümlerdir: her terim bir öncekinin 4 katıdır. aₙ₊₁/aₙ bölümü bütün sıra numaralarında aynı r sayısına eşit kalan diziye geometrik dizi (geometric sequence), r'ye de ortak çarpan ya da ortak oran denir. 81, 27, 9, 3 dizisinde r = 1/3, 5, −10, 20, −40 dizisinde r = −2'dir.

Tanım bir bölme içerdiği için hiçbir terim sıfır olamaz; bu da a₁ ≠ 0 ve r ≠ 0 demektir. Bir dizinin geometrik olup olmadığını sınarken birkaç oranın tutması yetmez, bölüm her adımda aynı çıkmalıdır: 81, 27, 9, 1 dizisinin ilk iki oranı 1/3, sonuncusu 1/9 olduğundan dizi geometrik değildir.

Genel terim: kaç kez çarpıldı?

a₁'den a₂'ye bir kez, a₃'e iki kez r ile çarparak varılır. n. terime ulaşmak için n − 1 çarpma gerekir:

aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

4, 12, 36, … dizisinde a₆ = 4 · 3⁵ = 972 olur. Üsse n yazmak bir adım fazla ilerlemektir ve 2916 verir. Aynı sayma uzak iki terim arasında da işler. aₖ'den aₙ'ye giderken r ile n − k kez çarpılır:

aₙ = aₖ · rⁿ⁻ᵏ

Bu ikinci biçim, a₁ verilmeyen sorularda işi kısaltır. a₃ = 12 ve a₇ = 192 ise a₇ = a₃ · r⁴ eşitliğinden r⁴ = 16 çıkar. Burada dikkat gerekir: r = 2 de r = −2 de bu denklemi sağlar. İlk durumda dizi 3, 6, 12, 24, …; ikincisinde 3, −6, 12, −24, … olur. Çift kuvvetli bir denklemden r çekildiğinde iki işaret de denenmeli, sorunun başka bir koşulu (pozitif terimli olmak, artan olmak) birini elemiyorsa iki dizi de geçerli sayılmalıdır. Tek kuvvette böyle bir ikilik doğmaz: r⁵ = 32 yalnız r = 2 verir.

Oranın işareti terimlerin işaretini yönetir

r > 0 iken bütün terimler a₁ ile aynı işaretlidir. r < 0 iken her çarpmada işaret döner; tek sıradaki terimler a₁'in işaretini, çift sıradakiler ters işareti taşır. 5, −5/2, 5/4, … dizisinde (r = −1/2) ilk dokuz terimin dördü, yani çift sıradakiler, negatiftir.

Dizi kavramı dersindeki artan ve azalan ayrımı da orandan okunur. a₁ > 0 ve r > 1 ise dizi artar; a₁ > 0 ve 0 < r < 1 ise terimler küçülerek sıfıra yaklaşır; a₁ < 0 olduğunda bu yönler yer değiştirir. r < 0 olan bir dizi ise ne artandır ne azalan, çünkü terimleri sıfırın iki yanında gidip gelir. r = 1, terimleri değişmeyen sabit diziyi verir.

Geometrik ortalama

Ardışık üç terimi a, b, c olan bir geometrik dizide b/a = c/b olduğundan b² = a · c yazılır. Ortadaki terimin karesi, iki komşusunun çarpımına eşittir. Aynı ilişki ortadaki terime eşit uzaklıkta duran her terim çifti için geçerlidir:

aₙ² = aₙ₋ₖ · aₙ₊ₖ

Terimler pozitifse aₙ = √(aₙ₋ₖ · aₙ₊ₖ) olur; bu sayıya iki terimin geometrik ortalaması (geometric mean) denir. Terimler pozitif değilse kökün işaretine karar vermek için orana bakılır. Önceki örnekte a₅² = a₃ · a₇ = 2304 eşitliği ±48 gösterir, ama a₅ = a₃ · r² ve r² her durumda 4 olduğu için a₅ = 48'dir; eksi işaret buraya hiç düşmez. Eşitliği x − 1, x + 1, x + 7 gibi bilinmeyenli terimlere uygulamak da sık istenir: (x + 1)² = (x − 1)(x + 7) denkleminden x = 2 ve 1, 3, 9 dizisi bulunur.

İndis toplamı eşitse çarpım eşittir

aₘ · aₙ = a₁² · rᵐ⁺ⁿ⁻² ifadesi yalnız m + n toplamına bağlıdır. İndis toplamları eşit iki çift, yani p + q = m + n, aynı çarpımı verir:

aₘ · aₙ = aₚ · a_q

a₂ · a₉ = 40 bilinen bir dizide a₅ · a₆ çarpımı da 40'tır, çünkü iki çarpımda da indisler 11 eder. Geometrik ortalama bu kuralın m = n olan özel durumudur: a₃ · a₉ = a₆². Böylece ilk dokuz terimin çarpımı da tek bir terime iner: terimler uçlardan eşleştirilince dört çift a₅² verir, ortada a₅ kalır ve çarpım a₅⁹ olur.

Üç terimi a/r, a, a·r diye yazmak

Toplamı ve çarpımı verilen ardışık üç terim sorulduğunda terimleri a₁, a₁r, a₁r² diye yazmak iki bilinmeyenli, üçüncü dereceden bir sistem doğurur. Ortadaki terimi a seçip ötekileri a/r ve a·r diye yazmak daha kısadır, çünkü çarpım a³'e iner ve r yok olur. Çarpım 216, toplam 19 ise a = 6 bulunur; 6/r + 6 + 6r = 19 denklemi 6r² − 13r + 6 = 0 verir; oranın iki değeri 3/2 ile 2/3'tür. İki oran aynı terimleri ters sırayla verir: 4, 6, 9 ya da 9, 6, 4.

İki sayı arasına terim yerleştirmek

2 ile 486 arasına dört sayı yazıp altı terimli bir geometrik dizi kurmak isteyelim. 486 baştaki terimden beş adım sonra gelir: 2 · r⁵ = 486, r⁵ = 243 ve r = 3. Araya giren sayılar 6, 18, 54, 162'dir. Genel kural şudur: araya k terim girerse uç terimler arasında k + 1 adım vardır. k + 1 çift olduğunda iki oran doğar; 3 ile 48 arasına üç terim yazılırsa r⁴ = 16'dan 6, 12, 24 de −6, 12, −24 de olur. Ortadaki terim iki durumda da 12'dir, çünkü 3 ile 48'in geometrik ortalamasıdır.

İlk n terimin toplamı

İlk n terimin toplamına Sₙ diyelim: Sₙ = a₁ + a₁r + … + a₁rⁿ⁻¹. Her terimi r ile çarparsak r · Sₙ = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ elde ederiz. İki satır alt alta konunca ortadaki bütün terimler birbirini götürür, yalnız a₁rⁿ ile a₁ kalır: (r − 1) · Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1). r ≠ 1 için

Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1)/(r − 1)

r = 1 iken bu bölme yapılamaz; o zaman bütün terimler a₁'dir ve Sₙ = n · a₁ olur. Kancadaki kısa yol da şimdi açıklanıyor: 2, 6, 18, … dizisinde a₁ = 2 ve r − 1 = 2 olduğundan pay ile paydadaki 2'ler sadeleşir, geriye 3ⁿ − 1 kalır. 1 + 2 + 4 + … + 2⁹ toplamı ise on terimdir ve 2¹⁰ − 1 = 1023 eder.

Formülün işe yarayan bir sonucu da S₂ₙ ile Sₙ arasındaki bağdır. İlk n terimden sonraki n terimin her biri, ilk gruptaki karşılığının rⁿ katıdır; bu yüzden S₂ₙ = Sₙ · (1 + rⁿ). S₃ = 13 ve S₆ = 364 ise 1 + r³ = 28, r = 3 bulunur.

Hem aritmetik hem geometrik

Bir dizinin iki türden de olması mümkün mü? Ardışık üç terim a, b, c için aritmetik dizi 2b = a + c, geometrik dizi b² = a · c ister. İlk eşitlikten b = (a + c)/2 yazılıp ikinciye konunca (a + c)² = 4ac, yani (a − c)² = 0 çıkar. Demek ki a = c ve b de aynı sayıdır. Hem aritmetik hem geometrik olan diziler yalnız sıfırdan farklı sabit dizilerdir; bunlarda d = 0 ve r = 1'dir. Sıfır dizisi bu listeye girmez, çünkü oran tanımsız kalır.

Sonsuza giden toplam

|r| < 1 iken rⁿ, n büyüdükçe sıfıra yaklaşır ve Sₙ formülü a₁/(1 − r) değerine yaklaşır. Devirli ondalık sayılar dersindeki 0,333… sayısı bunun en bilinen örneğidir: 3/10 + 3/100 + … toplamında a₁ = 3/10, r = 1/10 ve sonuç (3/10)/(9/10) = 1/3 olur. Bu yaklaşmanın kesin anlamı limit kavramıyla kurulur.

Bileşik faiz bir geometrik dizidir

Gerçek hayat modelleri dersinde bileşik faizin P · (1 + r)ⁿ kuralının, yıllık %2 büyüyen bir nüfusta aₙ = 50 000 · 1,02ⁿ dizisini verdiğini görmüştük. Bu bir geometrik dizidir: ortak çarpanı 1,02, birinci terimi 51 000'dir ve aynı dizi aₙ = 51 000 · 1,02ⁿ⁻¹ biçiminde de yazılır. Üstel fonksiyonun yalnız pozitif tam sayılarda okunan hâli, bu dersin genel terimiyle aynı şeydir.

Toplam formülünü yazarken a₁ + a₂ + … + aₙ ifadesini üç noktayla uzatmak zorunda kaldık. Bu yazım hangi terimden başlandığını ve terimin sıra numarasına nasıl bağlandığını okura bırakır. Bir toplamı alt sınırı, üst sınırı ve genel terimiyle tek bir işarete sığdırmak ve bu işaretle sabitlerin, iki toplamın nasıl taşındığını kurallara bağlamak, toplam sembolü dersinin işidir.

Örnek 1 — Uzak iki terim ve işaret

Soru: Bir geometrik dizide a₂ = 5 ve a₆ = 405 olduğu biliniyor. a₄ nedir?

• A) a₄ = 205
• B) a₄ = 45
• C) a₄ = 135
• D) a₄ = 15
• E) a₄ = 45 ya da −45

Çözüm: a₆ = a₂ · r⁴ eşitliğinden r⁴ = 81 ve r = 3 ya da r = −3 bulunur. Ama a₄ = a₂ · r² ve r² iki durumda da 9 olduğundan a₄ = 45'tir. Geometrik ortalamadan a₄² = 5 · 405 = 2025 yazıp ±45 demek, a₄ ile a₂'nin aynı işaretli olduğunu gözden kaçırır. 205, iki sayının aritmetik ortalamasıdır ve bu dizide anlamı yoktur. Cevap: B.

Örnek 2 — Ortadaki terimden başlamak

Soru: Ardışık üç terimi bir geometrik dizi oluşturan üç sayının çarpımı 216, toplamı 19'dur. Bu sayıların en büyüğü hangisidir?

• A) 6
• B) 12
• C) 8
• D) 9
• E) 27/2

Çözüm: Terimler a/r, a, a·r yazılınca çarpım a³ = 216 olur ve a = 6 çıkar. 6/r + 6 + 6r = 19 eşitliği paydadan kurtulunca 6r² − 13r + 6 = 0 verir; kökler 3/2 ve 2/3'tür. İkisi de 4, 6, 9 sayılarını üretir (biri artan, öteki azalan sırayla). Cevap: D.

Örnek 3 — Araya yerleştirilen terimlerin çarpımı

Soru: 5 ile 1280 arasına üç sayı yazılarak beş terimli bir geometrik dizi oluşturuluyor. Araya yazılan üç sayının çarpımı kaçtır?

• A) 512 000
• B) −512 000
• C) 6 400
• D) 80
• E) 256 000

Çözüm: Uçlar arasında dört adım vardır: 5 · r⁴ = 1280, r⁴ = 256 ve r = ±4. r = 4 için araya 20, 80, 320; r = −4 için −20, 80, −320 girer. İki durumda da çarpım 512 000'dir. Kısa yol: ortadaki terim 5 ile 1280'in geometrik ortalaması olan 80'dir ve öteki iki terimin çarpımı da 80² eder; çarpım 80³ olur. Cevap: A.

Örnek 4 — İki toplamın oranı

Soru: Bir geometrik dizinin ilk üç teriminin toplamı 13, ilk altı teriminin toplamı 364'tür. a₁ kaçtır?

• A) a₁ = 13/3
• B) a₁ = 1/2
• C) a₁ = 3
• D) a₁ = 2
• E) a₁ = 1

Çözüm: S₆ = S₃ · (1 + r³) olduğundan 1 + r³ = 364/13 = 28 ve r = 3 bulunur. S₃ = a₁ · (27 − 1)/2 = 13a₁ = 13 eşitliği a₁ = 1 verir; dizi 1, 3, 9, 27, 81, 243'tür ve toplamı gerçekten 364'tür. 13/3, üç terimi eşit sanıp toplamı üçe bölmekten gelir. Cevap: E.

• Üsse n yazmak. Genel terimde üs n − 1'dir; a₁ zaten birinci terimdir ve ona ulaşmak için hiç çarpılmaz. aₙ = a₁ · rⁿ yazan öğrenci her zaman bir sonraki terimi bulur.
• r⁴ = 16'dan yalnız r = 2 almak. Çift kuvvetli denklem iki işaret verir; soru pozitif terim ya da artan dizi demiyorsa iki dizi de incelenmelidir.
• Geometrik ortalamada ± bırakmak. aₙ² = aₙ₋ₖ · aₙ₊ₖ bir kare verir; aradaki adım sayısı çiftse aₙ, aₙ₋ₖ ile aynı işaretlidir ve eksi kök atılır.
• Araya yazılan terim sayısını adım sayısı sanmak. k terim yerleştirilince uç terimler arasında k + 1 adım vardır; 3 ile 96 arasına dört terim r⁵ = 32 demektir.
• r = 1'de toplam formülünü kullanmak. Payda sıfır olur; sabit dizide Sₙ = n · a₁ yazılır.