Aritmetik diziler

Aslı okulun konferans salonunda 9. sıraya oturuyor ve sıradaki koltukları sayıyor: 34. Arkadaşı Burak 14. sıradan mesaj atıyor, onun sırasında 44 koltuk varmış. Salonun planı belli: sahneden uzaklaştıkça her sıra bir öncekinden aynı sayıda koltuk fazla. Aslı ilk sırayı hiç görmeden kafasından hesaplıyor. Beş sıra geride 10 koltuk fazlası var, demek ki her sıra 2 koltuk ekliyor; 1. sıra 9. sıradan sekiz adım öndedir, orada 34 − 16 = 18 koltuk olmalı. Burak bir adım daha ileri gidiyor: «İlk 20 sırada toplam kaç kişi oturur?» Bu derste iki uzak terimden bütün diziyi geri kurmayı ve böyle bir toplamı tek satırda bulmayı öğreneceğiz.

• Ortak farkı ve herhangi bir terimi verilen ya da iki terimi bilinen bir aritmetik dizinin istenen terimini bulursun.
• Orta terim özelliğini ve indis toplamı eşit terimlerin toplamlarının eşitliğini kullanarak terim hesabını kısaltırsın.
• İlk n terim toplamını iki biçimde hesaplar, toplam formülü verilen bir dizinin genel terimini çıkarırsın.
• İki sayı arasına terim yerleştirme ve a − d, a, a + d gösterimiyle kurulan soruları çözersin.

Sabit kalan fark: ortak fark

5, 9, 13, 17, … dizisinde her terim bir öncekinden 4 fazladır. 20, 17, 14, 11, … dizisinde her terim 3 eksilir. 7, 7, 7, … dizisinde hiçbir şey değişmez. Üçünün ortak yanı, ardışık iki terim arasındaki farkın sıra numarasına bağlı olmamasıdır. aₙ₊₁ − aₙ farkı bütün sıra numaralarında aynı d sayısına eşit kalıyorsa (aₙ) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da dizinin ortak farkı denir. Yukarıdaki üç örnekte ortak fark sırasıyla 4, −3 ve 0'dır.

Tanımın sınaması basittir: farkı genel olarak hesapla ve içinde n kalıp kalmadığına bak. aₙ = 3n − 1 için aₙ₊₁ − aₙ = 3 çıkar, dizi aritmetiktir. aₙ = n² için fark 2n + 1'dir; n'ye bağlı olduğundan bu dizi aritmetik değildir. Daha genel olarak, genel terimi aₙ = pn + q biçiminde birinci dereceden olan her dizi aritmetiktir ve ortak farkı n'nin katsayısı olan p'dir. İlk terimi n = 1 yazarak p + q bulunur.

Genel terim: ilk terimden kaç adım?

a₁'den a₂'ye geçerken bir kez d eklenir, a₃'e gelene kadar iki kez. n. terime varmak için n − 1 adım atılır; her adım d ekler. Buradan

aₙ = a₁ + (n − 1)d

yazılır. 7, 11, 15, …, 83 listesinin 20 terimden oluştuğunu ardışık sayılar dersi «(son − ilk)/artış + 1» kuralıyla göstermişti. O kural bu formülün n'ye göre çözülmüş biçimidir: 83 = 7 + (n − 1) · 4 eşitliğinden n − 1 = 19 ve n = 20 gelir. Oradaki «+1» ile buradaki «n − 1» aynı gözlemden doğar: terim sayısı adım sayısından bir fazladır.

İki terimden diziyi kurmak

Sorular çoğu zaman a₁ yerine iki ara terim verir. Formül her terimden başlatılabilir: k. terimden n. terime n − k adım vardır, dolayısıyla aₙ = aₖ + (n − k)d olur. Kancadaki salon bunun örneğidir; ölçülen iki sıradan önce fark, sonra ilk sıra çıkar.

a₄ = 19 ve a₁₁ = 47 verilsin. Dördüncüden on birinciye yedi adım vardır ve bu yedi adımda değer 28 artmıştır; d = 28/7 = 4. İlk terim dördüncü terimden üç adım geridedir: a₁ = 19 − 3 · 4 = 7. Otuzuncu terim ise a₃₀ = 7 + 29 · 4 = 123 olur. Burada iki indisin farkını almak, değerlerin farkını almak kadar önemlidir; adım sayısını 11 − 4 = 7 yerine iki ucu da sayarak 8 almak sık yapılan bir kaymadır.

Artan, azalan, sabit

Ortak farkın işareti dizinin gidişini tek başına belirler. d > 0 ise dizi artandır, d < 0 ise azalandır, d = 0 ise sabit dizi elde edilir. Dizi kavramı dersinde yön için aₙ₊₁ − aₙ farkının her n'deki işaretine bakmak gerekiyordu; aritmetik dizide bu fark zaten tek bir sayıdır.

Azalan bir dizide «ilk negatif terim» sorusu bu bilgiyle çözülür. a₁ = 50, d = −3 ise aₙ = 53 − 3n'dir. 53 − 3n < 0 eşitsizliği n > 17,6… verir; n tam sayı olduğundan ilk negatif terim 18. terimdir. Kontrol: a₁₇ = 2, a₁₈ = −1.

Ortadaki terim iki komşusunun ortalamasıdır

aₙ₋₁ ile aₙ₊₁, aₙ'den birer adım uzaktır: biri d eksik, öteki d fazla. Toplandıklarında farklar birbirini götürür ve 2aₙ kalır. Aynı şey k adım uzaktaki iki terim için de geçerlidir:

aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ)/2.

Üç sayının bu sırayla aritmetik dizi oluşturması da 2b = a + c koşuluna denktir. x − 1, 2x + 1 ve 4x − 3 ardışık üç terimse 2(2x + 1) = (x − 1) + (4x − 3) eşitliğinden x = 6 bulunur; terimler 5, 13 ve 21'dir, aralarındaki fark 8'dir.

İndis toplamları eşitse terim toplamları da eşittir

Orta terim özelliğinin genel hâli şudur: m + n = p + q ise aₘ + aₙ = a_p + a_q. Her iki taraf 2a₁ + (m + n − 2)d'ye eşittir ve bu ifade yalnız indislerin toplamına bağlıdır. a₃ + a₁₅ = 40 biliniyorsa indis toplamı 18 olan her çift aynı toplamı verir: a₁ + a₁₇ = a₇ + a₁₁ = 40. İndis toplamı çift olduğunda çiftin ortasında bir terim bulunur; burada 2a₉ = 40 ve a₉ = 20'dir.

Bu kural yalnız ikişer terim için kurulur. a₁₈ = a₃ + a₁₅ gibi bir eşitlik indislerin toplanmasıyla elde edilemez; sol tarafta tek terim, sağda iki terim vardır.

a − d, a, a + d gösterimi

Toplamı verilen üç terimli bir aritmetik dizide terimleri a₁, a₁ + d, a₁ + 2d almak işlemi büyütür. Ortadaki terimi a seçip terimleri a − d, a, a + d yazmak toplamı 3a'ya indirir. Toplamı 27 ve çarpımı 585 olan üç terim için 3a = 27'den a = 9 bulunur; çarpım (9 − d) · 9 · (9 + d) = 9(81 − d²) = 585 eşitliğinden d² = 16 gelir. d = 4 de d = −4 de aynı üç sayıyı verir: 5, 9, 13.

İlk n terimin toplamı

Ardışık sayılar dersinde toplamı «terim sayısı × (ilk + son)/2» diye kurmuştuk. Aynı eşleştirme aritmetik dizinin her parçasında çalışır, çünkü baştan ve sondan eşit uzaklıktaki iki terimin indis toplamı hep n + 1'dir ve yukarıdaki kurala göre bu terimlerin toplamı a₁ + aₙ'ye eşittir. Dizi diliyle:

Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Son terim bilinmiyorsa yerine a₁ + (n − 1)d yazılır ve ikinci biçim elde edilir:

Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)d]/2.

a₁ = −11, d = 3 olan dizinin ilk 12 teriminin toplamı 12(−22 + 33)/2 = 66'dır. Birinci biçimle denetlemek için a₁₂ = −11 + 33 = 22 bulunur: 12(−11 + 22)/2 = 66. Negatif terimler toplama karışsa da formül değişmez. Kancadaki salonun ilk 20 sırası da böyle bulunur: a₂₀ = 18 + 19 · 2 = 56 ve S₂₀ = 20(18 + 56)/2 = 740 kişilik yer vardır.

İkinci biçimi açınca Sₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n çıkar. Aritmetik dizide ilk n terim toplamı, sabit terimi olmayan ve n² katsayısı d/2 olan bir ikinci dereceden ifadedir.

Toplamdan genel terime

Sₙ verilmişse n. terim, ilk n terimin toplamından ilk n − 1 terimin toplamı çıkarılarak bulunur: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2) ve a₁ = S₁. Sₙ = 2n² + 3n için S₁ = 5 ve n ≥ 2 iken aₙ = 4n + 1 gelir; bu formül n = 1'de de 5 verdiği için dizi baştan sona aritmetiktir, ortak farkı 4'tür.

Sabit terim işi değiştirir. Sₙ = n² + n + 1 için a₁ = S₁ = 3, sonraki terimler 4, 6, 8, … çıkar. İkinci terimden itibaren fark 2 olsa da 3'ten 4'e geçiş bu düzene uymaz; dizi aritmetik değildir. Bu yüzden a₁ her zaman S₁'den ayrıca hesaplanır.

İki sayı arasına terim yerleştirmek

4 ile 40 arasına, oluşan sayılar aritmetik dizi olacak biçimde 8 terim yerleştirilsin. Uçlarla birlikte dizi 10 terimlidir ve 40 onuncu terimdir: 40 = 4 + 9d, d = 4. Yerleştirilen terimler 8, 12, …, 36'dır. Genel olarak k terim yerleştirmek k + 1 adım açar; d = (son − ilk)/(k + 1) olur. Paydaya k yazmak, kancadaki salonda sıra sayısıyla sıralar arasındaki boşluk sayısını karıştırmaktır.

Sıradaki adım

Bu derste ardışık terimler hep aynı miktar eklenerek ilerledi ve her şey o eklemenin sayısına dayandı. Terimler sabit bir sayıyla çarpılarak ilerlediğinde ise ölçülecek şey fark değil iki ardışık terimin oranı olur. Bu oranla genel terimi kuvvet olarak yazmak, üç ardışık terimde ortadakinin bu kez komşularıyla nasıl bağlandığını görmek ve böyle dizilerin toplamını kurmak, sıradaki konu olan geometrik dizilerin işidir.

Örnek 1 — İki terimden uzak terim

Soru: Bir aritmetik dizide a₅ = 17 ve a₁₂ = 45 olduğuna göre dizinin yirminci terimi nedir?

• A) a₂₀ = 81
• B) a₂₀ = 73
• C) a₂₀ = 80
• D) a₂₀ = 65
• E) a₂₀ = 77

Çözüm: Beşinci terimden on ikinci terime yedi adım vardır ve değer 28 artmıştır: d = 4. Yirminci terime on ikinciden sekiz adım daha gidilir: a₂₀ = 45 + 8 · 4 = 77. İlk terimden giderek denetlenebilir: a₁ = 17 − 4 · 4 = 1, a₂₀ = 1 + 19 · 4 = 77. A, adım sayısını n alıp 1 + 20 · 4 yazmanın; C, ilk terimi unutup 20 · 4 yazmanın sonucudur. Cevap: E.

Örnek 2 — İndis toplamıyla toplam

Soru: Bir aritmetik dizide a₄ + a₁₄ = 46 veriliyor. Dizinin ilk 17 teriminin toplamı nedir?

• A) S₁₇ = 782
• B) S₁₇ = 414
• C) S₁₇ = 391
• D) S₁₇ = 368
• E) S₁₇ = 23

Çözüm: 4 + 14 = 18 = 1 + 17 olduğundan a₁ + a₁₇ = a₄ + a₁₄ = 46'dır. Toplam formülüne d ya da a₁ ayrı ayrı gerekmez: S₁₇ = 17 · 46/2 = 391. A, ikiye bölmeyi unutan; B, terim sayısını 18 alan öğrencinin bulduğu değerdir. Cevap: C.

Örnek 3 — Toplam formülünden terim

Soru: Bir dizinin ilk n teriminin toplamı her n için Sₙ = 3n² − 5n ile veriliyor. Bu dizinin onuncu terimi nedir?

• A) a₁₀ = 250
• B) a₁₀ = 52
• C) a₁₀ = 25
• D) a₁₀ = 58
• E) a₁₀ = 46

Çözüm: a₁₀ = S₁₀ − S₉ = (300 − 50) − (243 − 45) = 250 − 198 = 52. Genel olarak aₙ = 6n − 8 bulunur ve n = 1'de S₁ = −2 ile tutar. A, toplamı terim sanan; C, toplamı terim sayısına bölüp ortalamayı terim sanan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

Örnek 4 — Yerleştirilen terim sayısı

Soru: 6 ile 62 arasına, oluşan sayılar aritmetik dizi olacak biçimde k tane terim yerleştiriliyor. Yerleştirilen terimlerin toplamı 238 ise k kaçtır?

• A) k = 5
• B) k = 9
• C) k = 8
• D) k = 7
• E) k = 6

Çözüm: Uçlarla birlikte k + 2 terim vardır ve bu terimlerin toplamı (k + 2)(6 + 62)/2 = 34(k + 2)'dir. Uçlar çıkarılınca yerleştirilenlerin toplamı 34(k + 2) − 68 = 34k olur. 34k = 238'den k = 7 gelir; ortak fark 56/8 = 7'dir ve terimler 13, 20, …, 55'tir. A, 238'i uçlar dahil toplam sanıp 238/34 = 7'den iki çıkaran öğrencinin cevabıdır. Cevap: D.

• n. terimde n adım saymak. a₁'den aₙ'ye n − 1 adım vardır; a₁ + nd yazmak bir terim ileri kaydırır.
• İki terimden fark bulurken indis farkını yanlış almak. a₄ ile a₁₁ arasında 7 adım vardır; değer farkı 7'ye bölünür, 11'e değil.
• Toplam formülünden a₁'i genel terim formülüyle hesaplamak. aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ yalnız n ≥ 2 için kurulur; a₁ her zaman S₁'dir ve Sₙ'de sabit terim varsa ikisi ayrılır.
• İndis kuralını tek terime uygulamak. m + n = p + q kuralı iki terimin toplamını iki terimin toplamına bağlar; a₃ + a₁₅'i a₁₈'e eşitlemez.
• Araya k terim konunca farkı k'ye bölmek. k terim k + 1 boşluk açar; d = (son − ilk)/(k + 1).