Dizi kavramı

Çağla bir kumbaraya ilk akşam 3 lira atıyor. Kendine koyduğu kural şu: her akşam kumbarada ne varsa o kadar daha ekleyecek, üstüne de 1 lira. Defterine akşamları sırayla yazıyor: 3, 7, 15, 31. Kardeşi defteri görüp «beşinci akşam ne olacak?» diye soruyor; Çağla bir an düşünüp 63 diyor: kural her satırı bir öncekinden üretiyor. Defterde dikkat çeken başka bir şey de var: her tutarın yanında bir sıra numarası duruyor ve hiçbir numaraya iki farklı tutar düşmüyor. «Birinci akşam, ikinci akşam, …» diye giden bu numaralandırma, matematikte dizi dediğimiz yapının tam kendisidir. Bu derste diziyi bir fonksiyon olarak tanımlayacak, terimlerini bazen bir formülden, bazen bir önceki terimden üretecek ve bir ifadenin ne zaman dizi olmadığını göreceğiz.

• Genel terimi ya da indirgeme bağıntısı verilen bir dizinin istenen terimlerini hesaplarsın.
• Bir ifadenin her pozitif tam sayı için tanımlı olup olmadığına bakarak dizi belirtip belirtmediğine karar verirsin.
• Sabit diziyi, iki dizinin eşitliğini ve diziler arası işlemleri katsayı karşılaştırmasıyla çözersin.
• aₙ₊₁ − aₙ farkının işaretinden dizinin artan ya da azalan olduğunu belirler, verilen bir değerin kaçıncı terim olduğunu bulursun.

Dizi bir fonksiyondur

Fonksiyon kavramı dersinde bir kümenin her elemanını başka bir kümenin tek bir elemanına götüren kuralı fonksiyon diye adlandırmıştık. Dizi, bu kuralın özel bir hâlidir: tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi N⁺ = {1, 2, 3, …} olan ve gerçek sayılara giden bir fonksiyon. f: N⁺ → ℝ fonksiyonunda 1'in görüntüsüne dizinin birinci terimi denir ve a₁ ile gösterilir; 2'nin görüntüsü a₂, genel olarak n'nin görüntüsü aₙ = f(n) olur. Dizinin bütünü (aₙ) biçiminde yazılır, aₙ ise genel terim adını alır.

Kancadaki defter bu tanımı somutlaştırır. Sıra numarası tanım kümesinin elemanıdır; tutar o numaranın görüntüsüdür. Sıra numarası olarak 0, −2 ya da 2,5 hiç kullanılmaz, bu yüzden tanım kümesi yalnız pozitif tam sayılardır. Fonksiyonda olduğu gibi farklı iki sıra numarasının aynı değeri alması serbesttir: 4, 4, 4, … de bir dizidir.

Genel terimden terim yazmak

Genel terim bir formülse, istenen terim n yerine sıra numarası konarak bulunur. aₙ = 3n − 1 dizisinin ilk terimleri 2, 5, 8, 11, 14'tür. aₙ = n² − 2n için a₁ = −1, a₂ = 0, a₃ = 3, a₄ = 8 çıkar; negatif ya da sıfır terim bulunması diziyi bozmaz, sınırlama yalnız sıra numarasına konmuştur.

Sorularda sık görülen bir başka istek aₙ₊₁ ya da a₂ₙ gibi ifadelerdir. Bunlar da aynı işlemdir: n yerine n + 1 yazılır ve sadeleştirilir. aₙ = n² − 2n ise aₙ₊₁ = (n + 1)² − 2(n + 1) = n² − 1 olur. Burada aₙ₊₁'i «aₙ'ye 1 eklemek» sanmak en yaygın hatadır; aₙ + 1 ile aₙ₊₁ bambaşka ifadelerdir.

Ne zaman dizi değildir?

Bir ifadenin dizi belirtmesi için N⁺'nın her elemanında tanımlı olması ve gerçek bir sayı vermesi gerekir. Tek bir sıra numarası bile açıkta kalırsa ifade dizi değildir. aₙ = 1/(n − 3) ifadesinde n = 3 için payda sıfırlanır; üçüncü terim yoktur, dolayısıyla bu bir dizi değildir. aₙ = √(n − 2) ifadesi n = 1'de √(−1) verir ve gerçek sayı olmadığı için o da dizi sayılmaz.

Paydanın sıfır olduğu yer pozitif tam sayı değilse sorun çıkmaz. aₙ = 5/(2n − 7) ifadesinde payda yalnız n = 7/2'de sıfırdır; bu değer bir sıra numarası olamayacağından ifade bir dizidir. Bu yüzden paydalı bir genel terimde yapılacak iş, paydanın köklerini bulup içlerinde pozitif tam sayı olup olmadığına bakmaktır. aₙ = (n − 1)/(n² − 5n + 6) ifadesinin paydası 2 ve 3'te sıfırlanır; dizi değildir.

Sonlu dizi ve sabit dizi

Tanım kümesi N⁺'nın tamamı yerine {1, 2, …, m} gibi bir başlangıç parçası olan fonksiyona sonlu dizi denir; m terimden oluşur. Yoklama listesindeki sırayla yazılmış 30 öğrencinin boyları sonlu bir dizidir. Tanım kümesi bütün N⁺ olanlar sonsuz dizidir; aksi söylenmedikçe «dizi» denince sonsuz dizi anlaşılır.

Bütün terimleri aynı sayı olan diziye sabit dizi denir. aₙ = (2n + 6)/(n + 3) ilk bakışta n'ye bağlı görünse de pay 2(n + 3) olduğundan her terimi 2'dir. Kesirli bir genel terimin sabit olması için pay paydanın sabit katı olmalıdır; bu da katsayıların orantılı olmasıyla aynı şeydir. aₙ = (kn + 4)/(2n + 1) dizisi sabitse k/2 = 4/1 olur, buradan k = 8 ve dizinin bütün terimleri 4 bulunur.

İki dizinin eşitliği

(aₙ) ve (bₙ) dizileri, her n ∈ N⁺ için aₙ = bₙ oluyorsa eşittir. Birkaç terimin tutması yetmez. aₙ = n² ile bₙ = 3n − 2 dizilerinde a₁ = b₁ = 1 ve a₂ = b₂ = 4'tür, ama a₃ = 9 iken b₃ = 7'dir; diziler eşit değildir.

Genel terimleri polinom olan iki dizinin eşitliği, aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşitliğine dönüşür. aₙ = (a − 1)n + 5 ile bₙ = 3n + (b + 2) eşitse a − 1 = 3 ve 5 = b + 2'den a = 4, b = 3 çıkar. Kesirli bir ifade de sadeleşerek bir polinom diziye eşit olabilir: (n² + 3n + 2)/(n + 1) dizisi, n + 1 hiçbir sıra numarasında sıfır olmadığından, n + 2 dizisinin ta kendisidir.

Dizilerle işlemler

İki dizi terim terim toplanır, çıkarılır ve çarpılır; bir dizi bir sabitle çarpıldığında her terimi o sabitle çarpılır. aₙ = 2n + 1 ve bₙ = n − 4 ise (aₙ + bₙ) = (3n − 3) ve (aₙ · bₙ) = (2n² − 7n − 4) olur. Bölüm dizisi için bir koşul daha vardır: (aₙ/bₙ)'nin dizi olması için bₙ hiçbir n'de sıfır olmamalıdır. Bu örnekte b₄ = 0 olduğundan aₙ/bₙ bir dizi belirtmez.

Artan ve azalan diziler

Her n için aₙ₊₁ > aₙ ise dizi artan, aₙ₊₁ < aₙ ise azalan dizidir. Karar için genellikle aₙ₊₁ − aₙ farkı hesaplanıp işaretine bakılır. aₙ = (2n + 1)/(n + 3) dizisinde fark 5/((n + 3)(n + 4)) çıkar; her n için pozitiftir ve dizi artandır.

Her dizi bu iki gruptan birine girmez. aₙ = n² − 6n dizisinin terimleri −5, −8, −9, −8, −5 diye önce iner, sonra çıkar; fark 2n − 5 olduğu için n = 1 ve 2'de negatif, sonra pozitiftir. (−1)ⁿ dizisi de −1 ile 1 arasında gidip gelir. Bu dizilere ne artan ne azalan denir. İlk iki terime bakıp yön söylemek bu yüzden güvenilmez; farkın bütün n'ler için işareti incelenmelidir.

Parçalı tanımlı diziler

Genel terim sıra numarasının tek ya da çift olmasına göre ayrı yazılabilir:

aₙ = n + 3 (n tek), aₙ = n/2 (n çift).

Burada a₅ = 8, a₆ = 3'tür. İç içe sorularda içten dışa gidilir: a₃ = 6 olduğundan sıra numarası a₃ olan terim a₆ = 3 olur. Her adımda hangi parçanın kullanılacağına sıra numarası karar verir, terimin değeri değil.

İndirgemeli diziler

Bazı dizilerde genel terim yerine, bir terimi önceki terimlere bağlayan bir kural ve başlangıç değeri verilir. Kancadaki kumbara bunun örneğidir: a₁ = 3 ve aₙ₊₁ = 2aₙ + 1. n = 1 yazılınca a₂ = 7, n = 2 yazılınca a₃ = 15 çıkar; böyle devam edilerek 3, 7, 15, 31, 63 elde edilir. Kural geriye doğru da işler: aynı bağıntıda a₄ = 47 verilmişse a₃ = (47 − 1)/2 = 23, a₂ = 11, a₁ = 5 bulunur.

Bir terim önceki iki terime de bağlanabilir. a₁ = 1, a₂ = 2 ve aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ dizisinde her terim kendinden önceki ikisinin toplamıdır: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Bu, Fibonacci dizisine benzeyen bir yapıdır ve başlatmak için iki başlangıç değeri gerekir.

Kaçıncı terim?

Bir sayının dizinin kaçıncı terimi olduğu sorulduğunda genel terim o sayıya eşitlenir ve n çözülür. aₙ = 3n − 1 dizisinde 3n − 1 = 50'den n = 17 olur; 50 dizinin on yedinci terimidir. Çözüm pozitif tam sayı çıkmazsa sayı dizide yer almaz: 3n − 1 = 70 denkleminden n = 71/3 gelir, demek ki 70 bu dizinin terimi değildir. İkinci dereceden denklemde negatif kök atılır: aₙ = n² − n = 72 eşitliği n = 9 ve n = −8 verir; sıra numarası 9'dur.

Terimlerden genel terime

Örüntü açıksa birkaç terimden genel terim tahmin edilebilir. 2, 5, 10, 17, 26 dizisi kare sayıların bir fazlasıdır: aₙ = n² + 1. 1/2, 2/3, 3/4, … için aₙ = n/(n + 1), işareti nöbetleşen 1, −1, 1, −1, … için aₙ = (−1)ⁿ⁺¹ yazılır. Ancak sonlu sayıda terim bir diziyi tek başına belirlemez. aₙ = n ile bₙ = n + (n − 1)(n − 2)(n − 3) dizilerinin ilk üç terimi 1, 2, 3'tür; dördüncü terimler 4 ve 10 olarak ayrılır. Bu yüzden sınavda «genel terim» istendiğinde seçenekleri verilen terimlerle sınamak, akla gelen ilk formülü yazmaktan daha güvenlidir.

Ardışık sayılar dersinde 7, 11, 15, …, 83 gibi listelerin terim sayısını ve toplamını bulmuştuk; o listeler de birer sonlu diziydi, yalnız henüz bu adı taşımıyorlardı. Ardışık iki terimi arasındaki fark her sıra numarasında aynı kalan diziler, dizi ailesinin en çok kullanılan üyesidir. Bu sabit farka bir ad vermek, genel terimi yalnız ilk terim ve bu farkla kurmak ve iki uzak terim arasındaki ilişkiyi sıra numaralarından okumak, bir sonraki dersin konusu olan aritmetik dizilerin işidir.

Örnek 1 — Dizi olma koşulu

Soru: Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir dizinin genel terimi olabilir?

• A) aₙ = 2/(n² − 4)
• B) aₙ = √(5 − n)
• C) aₙ = (n + 2)/(2n − 9)
• D) aₙ = 1/(n² − 5n + 6)
• E) aₙ = n/(3 − n)

Çözüm: A'da n = 2, D'de n = 2 ve 3, E'de n = 3 paydayı sıfırlar. B'de n = 6 için kök içi −1 olur ve terim gerçek sayı değildir. C'de payda yalnız n = 9/2'de sıfırdır; bu bir sıra numarası olmadığından her terim tanımlıdır. Cevap: C.

Örnek 2 — İndirgemeli dizi

Soru: a₁ = 3 ve aₙ₊₁ = 3aₙ − 4 bağıntısıyla tanımlanan dizide a₅ kaçtır?

• A) a₅ = 29
• B) a₅ = 81
• C) a₅ = 245
• D) a₅ = 77
• E) a₅ = 83

Çözüm: Sırayla a₂ = 9 − 4 = 5, a₃ = 15 − 4 = 11, a₄ = 33 − 4 = 29, a₅ = 87 − 4 = 83 bulunur. 29 dördüncü terimdir; 245 bir adım fazla ilerlemekten gelir. Cevap: E.

Örnek 3 — Kaçıncı terim

Soru: Genel terimi aₙ = (4n + 5)/(n + 2) olan dizide 37/10 değeri hangi sıradadır?

• A) n = 37
• B) n = 8
• C) n = 10
• D) n = 7
• E) n = 12

Çözüm: (4n + 5)/(n + 2) = 37/10 eşitliğinde içler dışlar çarpımı 40n + 50 = 37n + 74 verir; 3n = 24 ve n = 8. Kontrol: a₈ = 37/10. Paydaya bakıp n + 2 = 10'dan n = 8 demek burada tesadüfen tutar; pay 4 · 8 + 5 = 37 ile de doğrulanmalıdır. Cevap: B.

Örnek 4 — Artan dizi için koşul

Soru: aₙ = (kn + 3)/(n + 1) dizisinin artan olmasını sağlayan en küçük k tam sayısı kaçtır?

• A) k = 3
• B) k = −4
• C) k = 0
• D) k = 4
• E) k = 5

Çözüm: aₙ₊₁ − aₙ = (k(n + 1) + 3)/(n + 2) − (kn + 3)/(n + 1) farkı ortak paydada (k − 3)/((n + 1)(n + 2)) olur. Payda her n için pozitif olduğundan dizi ancak k − 3 > 0 iken artandır. k = 3'te dizi sabit 3 olur, artan değildir. En küçük tam sayı k = 4'tür. Cevap: D.

• aₙ₊₁ ile aₙ + 1'i karıştırmak. aₙ₊₁ için genel terimde n yerine n + 1 yazılır; terime 1 eklenmez.
• Paydanın kökünü bulup tam sayı olup olmadığına bakmamak. 2n − 7 = 0 kökü 7/2 olduğu için ifade yine dizidir; dizi olmamak için kökün pozitif tam sayı olması gerekir.
• n = 0'ı terim saymak. Tanım kümesi N⁺'dır; azalan bir dizinin en büyük terimi a₀ değil a₁'dir.
• Birkaç terim tuttu diye dizileri eşit saymak. Eşitlik her n için gerekir; ilk iki ya da üç terimde örtüşen farklı diziler kurulabilir.
• İlk iki terime bakıp «artan» demek. aₙ = n² − 6n önce azalır, sonra artar; farkın bütün n'ler için işaretine bakılır.