Üstel ve logaritmik eşitsizlikler

Nazlı deneme sınavında (1/3)^(x−1) > 27 eşitsizliğini görüyor. 27'yi (1/3)⁻³ diye yazıyor, tabanlar eşitlenince üsleri karşılaştırıyor: x − 1 > −3, buradan x > −2. Cevabı işaretlemeden önce bir sayı deniyor, x = 0. Bu değer onun kümesinde, ama (1/3)⁻¹ = 3 çıkıyor ve 3 sayısı 27'nin çok altında kalıyor. x = −5 denediğinde ise (1/3)⁻⁶ = 729 buluyor; kümesinin dışında bıraktığı sayı eşitsizliği rahatça sağlıyor. Nazlı'nın tabanları eşitlemesinde hata yok. Hata, üsse geçerken eşitsizliğin yönünü olduğu gibi taşımasında: taban 1'den küçükken üs büyüdükçe değer küçülür ve doğru sonuç x < −2'dir.

• Aynı tabana yazılmış üstel eşitsizliği, tabanın 1'i aşıp aşmadığına göre yönü koruyup ya da çevirip üslerin eşitsizliğine indirirsin.
• aˣ yerine t yazarak ikinci dereceye inen eşitsizliği çözer, t > 0 koşuluyla kesiştirip x'e geri dönersin.
• Logaritmik eşitsizlikte önce tanım kümesini yazar, sonra yönü tabana göre belirleyip iki kümenin kesişimini bulursun.
• Bir çözüm aralığının içinde kalan tam sayıları sayar, sınır noktalarının kümeye girip girmediğini eşitsizliğin türünden ve tanım kümesinden okursun.

Yönü fonksiyon belirler

İki sayı arasındaki sıra, ikisine birden aynı fonksiyon uygulandığında korunabilir de tersine dönebilir de. Hangisinin olacağına fonksiyonun gidişi karar verir. «Üstel fonksiyon» dersinde y = aˣ fonksiyonunun a > 1 iken artan, 0 < a < 1 iken azalan olduğunu, «Logaritmanın tanımı» dersinde de logaritma fonksiyonunda aynı ayrımın geçerli olduğunu gördük. Bu dersin bütün kuralları bu iki bilgiden çıkar ve tek bir soruya bağlanır: taban 1'den büyük mü, küçük mü?

Artan bir fonksiyonda büyük girdi büyük çıktı verir, çıktıların sırası girdilerin sırasıyla aynıdır. Azalan bir fonksiyonda büyük girdi küçük çıktı verir, sıra ters çevrilir. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar birebir olduğu için bunun tersi de doğrudur: çıktıları karşılaştırmak, girdileri karşılaştırmaya denktir.

Üstel eşitsizlik: taban 1'den büyükken

a > 1 için aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ ⇔ f(x) > g(x).

2^(x+1) > 2^(3−x) eşitsizliğinde taban 2'dir ve yön aynen üslere geçer: x + 1 > 3 − x, yani x > 1. Üsler ikinci dereceden olduğunda da yöntem değişmez, yalnız sonra gelen adım uzar. 3^(x²−2x) ≤ 27 eşitsizliğinde sağ taraf 3³ yazılır ve x² − 2x ≤ 3 elde edilir. x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) olduğundan «İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu» dersindeki tabloyla −1 ≤ x ≤ 3 bulunur. Üstel kısım burada yalnız bir kapıdır; asıl iş, kapıdan geçince kalan polinom eşitsizliğidir.

Taban 1'den küçükse yön döner

0 < a < 1 için aᶠ⁽ˣ⁾ > aᵍ⁽ˣ⁾ ⇔ f(x) < g(x).

(1/2)ˣ > 8 eşitsizliğinde 8 = (1/2)⁻³ yazılır. Fonksiyon azalan olduğu için çıktısı büyük olanın girdisi küçüktür: x < −3. Aynı sonuca tabanı 2'ye çevirerek de varılır. (1/2)ˣ ifadesi 2⁻ˣ olarak da yazılabilir; o zaman taban 2 olur ve 2⁻ˣ > 2³ eşitsizliğinden −x > 3 çıkar; iki taraf −1 ile çarpılırken eşitsizlik ters çevrilir ve x < −3 yine bulunur. Yönün dönmesinden kaçılamaz; seçilebilen tek şey, bunun azalan tabandan üsse geçerken mi yoksa −1 ile çarparken mi yapılacağıdır. Kancadaki Nazlı tabanı 1/3 bıraktığı hâlde yönü çevirmedi; tabanı 3'e çevirseydi −(x − 1) > 3 eşitsizliğinde −1 ile çarparken yönü değiştirmek zorunda kalacaktı.

0,2 ya da 0,5 gibi ondalık tabanlar da 1'den küçüktür ve aynı kurala uyar. Taban bir ifadeyle verildiyse önce onun hangi aralıkta kaldığı belirlenir; bilinmeyen bir tabanla yön seçilemez.

Ortak tabana yazılamayan sayılar ve işaret

Bir taraf ortak tabana çevrilemiyorsa logaritmayla yazılır. 3^(2x−1) < 20 eşitsizliğinde taban 3 olduğundan 2x − 1 < log₃ 20 olur. 27 > 20 > 9 olduğundan log₃ 20 sayısı 2 ile 3 arasındadır ve x < 1,86 civarında kalır; bu sınırın altında kalan en büyük tam sayı 1'dir.

Pozitif tabanlı her kuvvetin pozitif olması bazı soruları hesapsız bitirir. 5ˣ > −4 her gerçek x için doğrudur, 5ˣ < 0 ise hiçbir x için sağlanmaz.

aˣ yerine t: ikinci dereceye inen eşitsizlik

4ˣ = (2ˣ)² olduğundan 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 < 0 eşitsizliği, t = 2ˣ yazılınca t² − 6t + 8 < 0 olur. (t − 2)(t − 4) < 0 eşitsizliği 2 < t < 4 verir. Şimdi t'den x'e dönülür: 2 < 2ˣ < 4, yani 1 < x < 2.

Burada atlanmaması gereken bir adım vardır: t = aˣ her zaman pozitiftir. 9ˣ − 2 · 3ˣ − 3 > 0 eşitsizliğinde t = 3ˣ ile t² − 2t − 3 > 0, yani (t − 3)(t + 1) > 0 bulunur ve işaret tablosu t'nin −1'in altında veya 3'ün üstünde olduğunu söyler. −1'in altındaki parça hiçbir x'ten gelmez; t > 0 ile kesiştirince yalnız t > 3 kalır ve çözüm x > 1'dir. Bu kesiştirme «Eşitsizlik sistemleri» dersindeki ortak çözüm adımıdır: polinom eşitsizliği ile t > 0 koşulu iki ayrı satır olarak yazılıp sayı doğrusunda üst üste konur.

Logaritmik eşitsizlik: önce tanım kümesi

Logaritma yalnız pozitif sayılarda tanımlıdır. Bu yüzden logaritmik eşitsizliğin çözümü iki koşulun kesişimidir: logaritmaların içinin pozitif olması ve eşitsizliğin kendisi.

log₂(x − 1) < 3 eşitsizliğini ele alalım. Tanım kümesi için x − 1 pozitif olmalıdır; bu x > 1 demektir. Taban 2 olduğundan yön korunur ve 3 = log₂ 8 yazılınca x − 1 < 8, yani x < 9 olur. Kesişim 1 < x < 9'dur ve bu aralıkta 2'den 8'e kadar 7 tam sayı vardır. Tanım kümesi yazılmasaydı x < 9 tek başına kalır ve sonsuz sayıda tam sayı içerirdi.

Taban 1'den küçükse yön yine döner. log_(1/3) x > −2 için önce x > 0 yazılır. −2 = log_(1/3) 9 olduğundan, çünkü (1/3)⁻² = 9, azalan fonksiyonda x < 9 elde edilir. Kesişim 0 < x < 9'dur. Burada tanım kümesinin işlevi açıktır: x < 9 bütün negatif sayıları da kapsıyordu, oysa negatif bir sayının logaritması yoktur.

İki logaritmanın karşılaştırılması

Aynı tabanlı iki logaritma karşılaştırılınca tanım kümesi her logaritma için ayrı yazılır. log₃(2x − 1) ≤ log₃(x + 4) eşitsizliğinde 2x − 1 ile x + 4 ifadelerinin pozitifliği x > 1/2 sonucunu verir. Taban 3 olduğundan 2x − 1 ≤ x + 4, yani x ≤ 5. Çözüm 1/2 < x ≤ 5'tir.

Taban 1'den küçük olduğunda içler ters sıralanır. log_(1/2)(x + 1) > log_(1/2)(5 − x) için tanım kümesi −1 < x < 5'tir. Azalan fonksiyonda büyük çıktının içi küçüktür: x + 1 < 5 − x, yani x < 2. Kesişim −1 < x < 2 olur. Yönü çevirmeyen biri x > 2 bulur ve tanım kümesiyle kesiştirip 2 < x < 5 gibi derli toplu ama yanlış bir aralığa ulaşır; aralığın düzgün görünmesi doğru olduğunu göstermez.

Sınır noktaları ve tam sayılar

Çözüm kümesinin uçları iki kaynaktan gelir ve her biri farklı davranır. Eşitsizlikten gelen uç, işaret ≤ ya da ≥ ise kümeye girer. Tanım kümesinden gelen uç ise hiçbir zaman girmez, çünkü orada logaritmanın içi sıfırdır. log₃(2x − 1) ≤ log₃(x + 4) örneğinde 5 kapalı uç, 1/2 açık uçtur; aralıktaki tam sayılar 1, 2, 3, 4, 5'tir.

İçi ikinci dereceden olan logaritmalarda iki koşul birden işaret tablosu ister. log₂(x² − 3x) ≤ 2 eşitsizliğinde tanım kümesi x² − 3x > 0, yani x < 0 ya da x > 3'tür; eşitsizlik ise x² − 3x ≤ 4, yani −1 ≤ x ≤ 4 verir. İkisinin kesişimi iki parçalı bir kümedir: [−1, 0) ∪ (3, 4]. Bu kümede yalnız −1 ve 4 tam sayıdır; tanım kümesini unutan öğrenci −1'den 4'e kadar altı tam sayı sayar.

Eşikten zamana

Bu derste her soru bir üstel ya da logaritmik ifadeyi bir sayıyla karşılaştırdı. Aynı karşılaştırma, bir miktarın her dönem sabit bir oranla büyüdüğü ya da küçüldüğü durumlarda kendiliğinden ortaya çıkar: bileşik faizle büyüyen bir birikim, her yıl değer kaybeden bir makine, yarı ömrüyle azalan bir madde. Böyle bir miktar A₀ · aᵗ biçiminde yazılınca «hangi t'den sonra eşik aşılır» sorusu, tabanı 1'den büyükse yön korunarak, 1'den küçükse yön çevrilerek çözülen bir eşitsizliğe dönüşür. Sonraki ders bu modellerin nasıl kurulduğunu, yarı ömrün ve ikiye katlanma süresinin formüle nasıl girdiğini, bilinmeyen sürenin logaritmayla nasıl bulunduğunu ve pH ile desibel gibi logaritmik ölçeklerde iki değerin kaç kat farklı olduğunun nasıl okunduğunu ele alıyor.

Örnek 1 — Ondalık taban

Soru: (0,5)^(2x−1) ≥ 0,125 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?

• A) {x | x ≥ 2}
• B) {x | x ≤ 2}
• C) {x | x ≤ −1}
• D) {x | x ≥ −1}
• E) {x | x ≤ 1/2}

Çözüm: 0,125 = 1/8 = (0,5)³ olduğundan (0,5)^(2x−1) ≥ (0,5)³ yazılır. Taban 1'den küçüktür ve yön döner: 2x − 1 ≤ 3, yani x ≤ 2. A seçeneği yönü çevirmeyen çözümdür. Cevap: B.

Örnek 2 — İkinci dereceye inen eşitsizlik

Soru: 4ˣ − 10 · 2ˣ + 16 ≤ 0 koşuluna uyan tam sayı x değerlerinin toplamı T ise T kaçtır?

• A) T = 35
• B) T = 3
• C) T = 10
• D) T = 6
• E) T = 5

Çözüm: t = 2ˣ yazılınca t² − 10t + 16 ≤ 0, yani (t − 2)(t − 8) ≤ 0 ve 2 ≤ t ≤ 8 bulunur. Bu aralık pozitif olduğundan t > 0 koşulu bir şey kesmez. 2 ≤ 2ˣ ≤ 8 eşitsizliği 1 ≤ x ≤ 3 verir; tam sayılar 1, 2, 3 ve toplamları 6'dır. A seçeneği t'nin aralığındaki tam sayıları (2'den 8'e kadar) toplayıp x'e dönmeyi unutur. Cevap: D.

Örnek 3 — Tabanı 1'den küçük logaritma

Soru: log_(1/2)(x − 3) ≥ −2 eşitsizliğini doğru kılan tam sayılar Ç kümesinde toplanıyor. s(Ç) kaçtır?

• A) s(Ç) = 5
• B) s(Ç) = 3
• C) s(Ç) = 4
• D) sonsuz sayıda
• E) s(Ç) = 7

Çözüm: Tanım kümesi x − 3 > 0, yani x > 3. −2 = log_(1/2) 4 olduğundan, çünkü (1/2)⁻² = 4, azalan fonksiyonda x − 3 ≤ 4, yani x ≤ 7 olur. Kesişim 3 < x ≤ 7'dir ve 7 dahil, 3 hariç olmak üzere bu aralığa dört tam sayı sığar. A seçeneği tanım kümesinden gelen 3'ü de sayar; yönü çevirmeyen biri x ≥ 7 bulup D seçeneğine gider. Cevap: C.

Örnek 4 — İki parçalı çözüm kümesi

Soru: x tam sayı olmak üzere log₂(x² − 3x) ≤ 2 eşitsizliğinin çözümleri toplanırsa ne bulunur?

• A) Σ = 9
• B) Σ = 4
• C) Σ = 7
• D) Σ = −1
• E) Σ = 3

Çözüm: Tanım kümesi x² − 3x > 0 koşulundan x < 0 ya da x > 3 çıkar. Eşitsizlik x² − 3x ≤ 4 olur; (x + 1)(x − 4) çarpımı −1 ile 4 arasında, uçlar dahil, pozitif değildir. Kesişim [−1, 0) ∪ (3, 4] olur; tam sayılar −1 ve 4, toplamları 3'tür. A seçeneği tanım kümesini atlayıp −1'den 4'e kadar bütün tam sayıları toplar. Cevap: E.

• Taban 1'den küçükken yönü korumak. (1/2)ˣ, (0,2)ˣ, log_(1/3) x azalan fonksiyonlardır; üsse ya da logaritmanın içine geçerken eşitsizlik ters çevrilir. Kontrol için kümeden bir sayı seçip yerine koymak yeterlidir.
• Logaritmik eşitsizlikte tanım kümesini yazmamak. x < 9 gibi bir sonuç negatif sayıları da içerir; logaritmanın içini pozitif yapan koşul ayrıca yazılıp kesiştirilmezse fazladan değerler sayılır ve tam sayı sorusunda cevap «sonsuz» ya da çok büyük çıkar.
• t = aˣ ile çözüp t'de kalmak. 1 ≤ t ≤ 3 bulunduktan sonra soru x'i sorar; 3ˣ = 1 ve 3ˣ = 3 sınırlarından 0 ≤ x ≤ 1 elde edilmeden bırakılan çözüm, seçeneklerde hazır bekleyen çeldiricidir.
• t < 0 parçasını x'e çevirmeye çalışmak. 2ˣ < −2 gibi bir koşulu sağlayan x yoktur; işaret tablosunun negatif t bölgesi t > 0 ile kesiştirilince düşer.
• Tanım kümesinden gelen ucu kümeye almak. ≤ ya da ≥ yalnız eşitsizlikten gelen ucu kapatır; logaritmanın içini sıfır yapan nokta her zaman açık uçtur.