Üstel ve logaritmik denklemler

Gülşen'in önündeki soru log₃ x + log₃(x − 8) = 2 denkleminin köklerinin toplamını istiyor. İki logaritmayı çarpım kuralıyla birleştiriyor, x(x − 8) = 9 yazıyor ve x² − 8x − 9 = 0 denklemine varıyor. Kökler toplamının −b/a olduğunu biliyor; 8'i işaretleyip sonraki soruya geçiyor. Cevap anahtarında 9 yazıyor. Geri dönüp çarpanlara ayırınca kökleri görüyor: 9 ve −1. x = −1 yerine konunca ilk terim log₃(−1) oluyor ve bu sayı tanımlı değil. İkinci dereceden denklem iki kök vermişti, ama soruda yazan denklem bunlardan yalnız birini kabul ediyordu. Bu derste logaritmanın ve üssün içindeki bilinmeyeni bulmanın yollarını, yolda araya karışan sahte kökleri ayıklamayı da birlikte işliyoruz.

• Tabanları ortak bir sayıya indirilemeyen üstel denklemlerde iki tarafın logaritmasını alarak kökü log biçiminde yazarsın.
• aˣ'i yeni bir bilinmeyenle değiştirip ikinci dereceye inen üstel denklemleri çözer, t > 0 koşuluyla geçersiz değerleri elersin.
• Logaritmik denklemleri tek logaritmaya ya da üslü eşitliğe çevirir, bulunan her kökü ilk denklemin tanım koşullarıyla sınarsın.
• Logaritmanın kendisini ya da x^(log x) biçimini içeren denklemleri yeni değişkenle ikinci dereceye indirip köklerin çarpımını ve toplamını hesaplarsın.

Ortak taban yoksa logaritma al

TYT'deki «Üslü denklemler» dersinde 2ˣ⁺¹ = 32 gibi denklemleri iki tarafı aynı asalın kuvveti yaparak çözmüştük. 3ˣ = 7 bu yönteme direnir: 7, üçün ne tam ne kesirli bir kuvvetidir. Logaritmanın tanımı tam bu boşluğu doldurur. 3'ün 7 veren üssü x ise, bu üssün adı log₃ 7'dir; denklem tek satırda x = log₃ 7 olarak çözülür.

Üste bir ifade varsa önce o ifade yalnız bırakılır. 5ˣ⁻¹ = 12 denkleminde x − 1 = log₅ 12 yazılır, sonra 1 = log₅ 5 eklenir: x = log₅ 5 + log₅ 12 = log₅ 60. Bu son adım, önceki dersteki çarpımın logaritması kuralının ters yönde kullanılışıdır.

İki tarafta farklı tabanlar ve ikisinde de bilinmeyen olduğunda, iki tarafın aynı tabanda logaritması alınır. 2ˣ = 3ˣ⁻¹ için onluk logaritma seçelim: x · log 2 = (x − 1) · log 3. Bilinmeyenli terimler bir tarafa toplanıp bölüm kuralı uygulanınca x · log(3/2) = log 3 kalır, buradan x = log 3 / log(3/2). Taban değiştirme kuralı bu kesri tek bir logaritmaya çevirir: x = log_(3/2) 3. Sayısal değeri yaklaşık 2,71'dir; 2 ile 3 arasında olduğunu (3/2)² = 2,25 < 3 < 3,375 = (3/2)³ eşitsizliği de doğrular.

Üsleri aynı, tabanları farklı iki kuvvet ise ancak üs sıfırken eşit olur. a ≠ b olmak üzere pozitif a ve b için aˣ = bˣ eşitliği, iki taraf bˣ'e bölünerek (a/b)ˣ = 1 biçimine gelir. 1'den farklı pozitif bir tabanın 1 veren tek üssü 0'dır. 5ˣ⁻² = 7ˣ⁻² denkleminin bütün çözümü bu yüzden x − 2 = 0, yani x = 2'dir.

Üstel terimi yeni bilinmeyene çevirmek

4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0 denkleminde 4ˣ = (2ˣ)² olduğunu görmek, denklemin gizli bir ikinci dereceden denklem olduğunu açığa çıkarır. t = 2ˣ dersek t² − 3t − 4 = 0 elde edilir; (t − 4)(t + 1) = 0 ise t = 4 ya da t = −1'dir. Burada durup t'nin neyi temsil ettiğine bakmak gerekir: 2ˣ her x için pozitiftir. t = −1 hiçbir x'ten gelmez ve atılır; t = 4'ten x = 2 kalır. Denklemin tek kökü vardır.

Bu süzgeç, ikinci dereceden denklemler modülünde x² = t ya da √x = t yazarken yaptığımız elemenin aynısıdır; değişen yalnız t'nin hangi aralıkta kalmak zorunda olduğudur. t = aˣ için koşul t > 0'dır, sıfır bile kabul edilmez.

Kökler tam sayı çıkmayabilir. 25ˣ − 5ˣ⁺¹ + 6 = 0 denkleminde t = 5ˣ ile t² − 5t + 6 = 0 bulunur; t = 2 ya da t = 3. Bu değerler sıfırın üstünde kaldığı için x = log₅ 2 ile x = log₅ 3 köklerini verir. Kökler toplamı sorulursa her kökü ayrı ayrı hesaplamaya gerek yoktur: log₅ 2 + log₅ 3 = log₅(2 · 3), yani toplam, t değerlerinin çarpımının logaritmasıdır. Vieta'dan t₁ · t₂ = 6 olduğu için toplam log₅ 6'dır.

Negatif üs de aynı kalıba sokulabilir. 2ˣ + 2²⁻ˣ = 5 denkleminde 2²⁻ˣ = 4/2ˣ yazılır. t = 2ˣ ile t + 4/t = 5, iki taraf t ile çarpılınca t² − 5t + 4 = 0 olur. t = 1 ve t = 4 pozitiftir; kökler x = 0 ve x = 2'dir.

Logaritmik denklemin iki temel biçimi

Bilinmeyen logaritmanın içindeyse ilk biçim log_a f(x) = c denklemidir ve tanımla üslü eşitliğe çevrilir: f(x) = aᶜ. log₂(3x − 1) = 3 için 3x − 1 = 2³ = 8, yani x = 3 bulunur.

İkinci biçimde iki tarafta aynı tabanlı birer logaritma vardır: log_a f(x) = log_a g(x). Logaritma fonksiyonu birebir olduğundan bu, f(x) = g(x) demektir; ama yalnız f(x) ile g(x) ikisi birden pozitifken. log₅(x² − 3) = log₅(2x) denkleminde x² − 3 = 2x yazılır, x² − 2x − 3 = 0 ise x = 3 ya da x = −1'dir. x = −1 için sağdaki logaritmanın içi −2 olur; bu değer elenir. x = 3 için iki iç değer 6 ve 6'dır, kök geçerlidir.

Eleme logaritmalar kaldırıldıktan sonra yazılan denklemle değil, sorudaki ilk denklemle yapılır. Logaritmasız denklem x = −1'i rahatça kabul eder; elenmesi gerektiğini yalnız ilk denklem söyler.

Önce tek logaritmaya indirmek

Bir tarafta birden fazla logaritma varsa önceki dersin kurallarıyla tek logaritmada toplanır. log₂ x + log₂(x − 3) = 2 denkleminde çarpım kuralı log₂(x(x − 3)) = 2 verir. İçerisi 2² = 4'e eşitlenince x² − 3x − 4 = 0 bulunur; çarpanlar (x − 4)(x + 1) olduğundan adaylar 4 ve −1'dir. Birleştirilmiş log₂(x(x − 3)) ifadesi x = −1 için tanımlıdır, çünkü (−1)(−4) = 4 pozitiftir. Ama ilk denklemdeki log₂ x terimi bu değerde tanımsız kalır. Çarpım kuralı tanım kümesini sessizce genişletmiştir; kancadaki hata da buradan doğar. Çözüm kümesi {4}'tür.

Fark kuralı da aynı biçimde kullanılır. log₃(x + 6) − log₃(x − 2) = 2 denklemi log₃((x + 6)/(x − 2)) = 2 olur; (x + 6)/(x − 2) = 9'dan x + 6 = 9x − 18 ve x = 3 gelir. Sınamada x + 6 = 9 ve x − 2 = 1 pozitiftir.

Kuvvet kuralı en ince ayrımı taşır. 2 · log₃ x = log₃ 4 denkleminde soldaki terim yalnız x > 0 için yazılabilir; x² = 4 olsa da yalnız x = 2 kalır. Oysa log₃(x²) = log₃ 4 denkleminde x² her sıfırdan farklı x için pozitiftir ve hem 2 hem −2 çözümdür. Kural iki ifadeyi eşit gösterir, ama tanım kümeleri aynı değildir.

Bilinmeyen tabana çıkınca

Taban x içerdiğinde iki ek koşul gelir: taban hem sıfırdan büyük olmalı hem de 1'e eşit olmamalıdır. log_x 16 = 2 denkleminde x² = 16, yani x = 4 ya da x = −4 bulunur. Negatif sayı taban olamaz; çözüm kümesi {4}'tür.

Daha uzun bir örnek: log_(x−1)(x + 11) = 2 denklemi (x − 1)² = x + 11 eşitliğine döner. x² − 3x − 10 = 0'dan x = 5 ya da x = −2 çıkar. x = −2 için taban −3'tür ve elenir. x = 5 için taban 4, logaritması alınan sayı 16'dır; 4² = 16 eşitliği kökü doğrular.

Logaritmanın kendisi bilinmeyen olunca

(log₂ x)² − log₂ x − 6 = 0 denkleminde tekrar eden blok log₂ x'tir. t = log₂ x ile t² − t − 6 = 0, yani t = 3 ya da t = −2 bulunur. Bu kez t üzerinde işaret koşulu yoktur, çünkü bir logaritma her gerçek değeri alabilir. Bulunan t'lerin her biri bir kök verir: x = 2³ = 8 ve x = 2⁻² = 1/4. Üstel yerine koymadaki t > 0 süzgeci burada x > 0 koşuluna dönüşür ve her iki kök bunu zaten sağlar.

Köklerin çarpımı Vieta ile kısa yoldan bulunur: x₁ · x₂ = 2^(t₁) · 2^(t₂) = 2^(t₁ + t₂) = 2¹ = 2. Gerçekten 8 · 1/4 = 2'dir.

Üste logaritma gelen denklemler

x^(log x) = 100x gibi denklemlerde bilinmeyen hem tabanda hem üstedir. İki tarafın onluk logaritması alınır: log x · log x = log 100 + log x. t = log x ile t² − t − 2 = 0 bulunur; t = 2 ya da t = −1. Buradan x = 100 ve x = 1/10 gelir. Sınamak için 100^(log 100) = 100² = 10⁴ ile 100 · 100 = 10⁴ karşılaştırılır; ikinci kökte (1/10)^(−1) = 10 ve 100 · (1/10) = 10 eşittir.

Denetim alışkanlığı

Bu dersteki her yöntem, ilk denklemi daha geniş bir tanım kümesinde yaşayan başka bir denkleme çevirir: logaritma kaldırılır, terimler birleştirilir ya da yeni bir bilinmeyen getirilir. Güvenli sıra şudur. Önce ilk denklemin koşullarını yaz: her logaritmanın içi pozitif, her taban sıfırdan büyük ve 1'e eşit değil. Sonra dönüştür ve çöz. En sonda her adayı koşullara koy. Sınav soruları çoğu zaman köklerin toplamını ya da sayısını sorar; elenmesi gereken kök, cevaplar arasında genellikle bir çeldirici olarak bekler.

Bütün bu denklemlerde eşittir işareti iki tarafın aynı değeri aldığı noktaları arıyordu. Sonraki ders aynı ifadeleri bir küçüktür ya da büyüktür işaretiyle karşılaştırıyor. Orada logaritmayı ya da üssü kaldırmak kendi başına bir karar gerektiriyor: taban 1'den büyükken sıra olduğu gibi korunuyor mu, 0 ile 1 arasındayken ne oluyor, ve tanım kümesi koşulları bulunan aralığı nereden kesiyor.

Örnek 1 — İki farklı taban

Soru: 3ˣ⁺¹ = 5ˣ denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir?

• A) x = log₅ 3
• B) x = log_(5/3) 3
• C) x = log₃ 5
• D) x = log_(3/5) 3
• E) x = log_(5/3) 5

Çözüm: İki tarafın onluk logaritması alınır: (x + 1) · log 3 = x · log 5. Bilinmeyenli terimler toplanınca x(log 5 − log 3) = log 3 ve x = log 3 / log(5/3) = log_(5/3) 3 bulunur; değer yaklaşık 2,15'tir. D seçeneği farkı ters kurmanın, yani log 3 − log 5 yazmanın sonucudur ve işaret olarak eksidir. E seçeneği x'i değil x + 1'i verir: log_(5/3) 3 + log_(5/3)(5/3) = log_(5/3) 5. Cevap: B.

Örnek 2 — Köklerin toplamı

Soru: 4ˣ − 2ˣ⁺³ + 12 = 0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

• A) log₂ 8
• B) 8
• C) log₂ 6
• D) log₂ 12
• E) 12

Çözüm: 2ˣ⁺³ = 8 · 2ˣ olduğundan t = 2ˣ ile t² − 8t + 12 = 0 yazılır; t = 2 ya da t = 6. Bulunan t'ler sıfırdan büyüktür; kökler x = 1 ve x = log₂ 6'dır. Toplam 1 + log₂ 6 = log₂ 2 + log₂ 6 = log₂ 12'dir. Kısa yol: x₁ + x₂ = log₂(t₁ · t₂) ve t₁ · t₂ = 12. B seçeneği t'lerin toplamını, A ise logaritmayı t'lerin toplamına uygular. Cevap: D.

Örnek 3 — Elenen kök

Soru: log₃(x − 2) + log₃(x + 4) = 3 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?

• A) {5}
• B) {−7, 5}
• C) {−7}
• D) {7, −5}
• E) ∅

Çözüm: İlk denklemin koşulları x − 2 > 0 ve x + 4 > 0, yani x > 2'dir. Çarpım kuralıyla (x − 2)(x + 4) = 3³ = 27, x² + 2x − 35 = 0 ve (x + 7)(x − 5) = 0 bulunur. x = −7 koşulu sağlamaz; x = 5 için iç değerler 3 ve 9, logaritmalar 1 ve 2'dir, toplam 3. B elemeyi unutanın, D çarpanlardaki işareti ters okuyanın cevabıdır. Cevap: A.

Örnek 4 — Üste logaritma

Soru: x^(log₃ x) = 81 denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır?

• A) 81
• B) 9
• C) 1
• D) 1/9
• E) 0

Çözüm: İki tarafın 3 tabanında logaritması alınır: log₃ x · log₃ x = log₃ 81 = 4. t = log₃ x ile t² = 4 olur; t hem 2 hem −2 değerini alabilir. Kökler x = 9 ve x = 1/9'dur, ikisi de pozitiftir. Çarpım 9 · 1/9 = 1; kısa yoldan 3^(t₁ + t₂) = 3⁰ = 1. Negatif t'yi «logaritma eksi olamaz» diye atan öğrenci yalnız 9'u bulur ve B'yi işaretler. Cevap: C.

• Logaritmaları birleştirdikten sonra tanım kümesini yeni ifadeden okumak. log₂ x + log₂(x − 3) ifadesi x < 0 için tanımsızdır, ama log₂(x(x − 3)) orada tanımlıdır. Koşullar her zaman sorudaki ilk denklemden yazılır.
• t = aˣ dönüşümünde negatif t'yi köke çevirmeye çalışmak. aˣ hep pozitiftir; t ≤ 0 çıkan değer bir kök vermez, köklerin sayısını da azaltır.
• t = log_a x dönüşümünde aynı süzgeci uygulamak. Logaritma negatif olabilir; t = −2 geçerlidir ve x = a⁻² gibi bir kök verir. Süzgeç t'ye değil x'e uygulanır.
• 2 · log x ile log(x²) ifadelerini aynı denklem saymak. İlki x > 0 ister, ikincisi yalnız x ≠ 0. Bu fark bir kökün kalıp kalmayacağını belirler.
• Bilinmeyen tabanda yalnız pozitifliğe bakmak. Taban 1 de olamaz; x − 2 = 1 veren değer de elenir.
• Kökler toplamını Vieta ile doğrudan yazmak. Vieta ikinci dereceden denklemin köklerini verir; ilk denklemin bunlardan birini reddettiği durumda toplam değişir.