Logaritmanın özellikleri

Egemen'in deneme kitapçığında log 2 ≈ 0,301 ve log 3 ≈ 0,477 değerleri verilmiş, log 5 soruluyor. Egemen hızlı davranıyor: 5 = 2 + 3 olduğuna göre log 5 de iki değerin toplamı olmalı, 0,778 yazıp geçiyor. Akşam hesap makinesiyle kontrol ettiğinde 10 üzeri 0,778'in 5 değil, 6'ya çok yakın çıktığını görüyor. Topladığı iki logaritma 2 ile 3'ü toplamamış, çarpmış. Doğru değeri bulmak için 5'i 10/2 diye yazmak yetiyordu: 1 − 0,301 = 0,699. Egemen'in hatası bu dersin iki yüzünü birden gösteriyor: logaritma çarpımı toplamaya çevirir, ama toplamın logaritması için hiçbir kısa yol yoktur.

• Çarpım, bölüm ve kuvvet kurallarıyla logaritmalı ifadeleri tek logaritmaya toplar ya da parçalarına ayırırsın.
• Taban değiştirme kuralıyla farklı tabanlı logaritmaları ortak tabana taşır, zincir biçimindeki çarpımları sadeleştirirsin.
• log 2 ve log 3 için verilen yaklaşık değerlerden ya da harflerden başka logaritmaları ifade eder, büyük bir kuvvetin basamak sayısını bulursun.

Üs kurallarının logaritmadaki karşılığı

Logaritma bir üs olduğuna göre, üslü sayıların her kuralı logaritmada da bir kurala dönüşmelidir. aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ eşitliğinden başlayalım. Tabanı a > 0, a ≠ 1 seçip x ile y'yi de sıfırdan büyük alalım; log_a x = m ve log_a y = n diyelim. Tanım gereği x = aᵐ ve y = aⁿ olur, çarpımları da x · y = aᵐ⁺ⁿ çıkar. Bu son eşitliği logaritma diliyle yazınca

log_a(x · y) = log_a x + log_a y

bulunur. Çarpanlar logaritmanın dışına toplam olarak çıkar. 20 = 4 · 5 olduğundan kural log₂ 20'yi log₂ 4 + log₂ 5 toplamına böler; log₂ 4 = 2 olduğundan log₂ 20 = 2 + log₂ 5 yazılır. Kural ters yönde de kullanılır: log 4 + log 25 iki ayrı logaritma gibi görünür, oysa toplamları log 100 = 2'dir.

Bölüm ve kuvvet

Bölmede üsler çıkarılır (aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ), bu yüzden

log_a(x / y) = log_a x − log_a y.

Kancadaki doğru hesap bu kuraldan gelir: log 5 = log(10/2) = log 10 − log 2 ≈ 1 − 0,301 = 0,699. Aynı kuralla log₃ 54 − log₃ 2 = log₃ 27 = 3 olur. Pay 1 alınırsa log_a(1/x) = −log_a x çıkar; bir sayının çarpmaya göre tersinin logaritması, o sayının logaritmasının ters işaretlisidir.

Kuvvet alınırken üsler çarpılır, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Logaritmadaki karşılığı

log_a(xⁿ) = n · log_a x

kuralıdır ve n her gerçek sayı olabilir. Köklü ifadeler kesirli üsse çevrilerek bu kurala girer: log₂ √8 = log₂(2^(3/2)) = 3/2.

Kuralların hepsi x ve y pozitifken geçerlidir. log((−4)²) tanımlıdır ve log 16'ya eşittir, ama 2 · log(−4) yazılamaz. Çift kuvvetli bir ifade dışarı alınırken mutlak değer gerekir: log_a(x²) = 2 · log_a |x|.

Tabandaki kuvvet

Taban da bir kuvvet olarak yazılabiliyorsa üssü dışarı kesrin paydası olarak çıkar:

log_(aᵐ)(xⁿ) = (n/m) · log_a x.

Gerekçe kısadır: log_(aᵐ)(x) = t ise (aᵐ)ᵗ = x, yani a^(mt) = x olur; buradan m · t = log_a x, yani t = (1/m) · log_a x olur. Payda ise kuvvet kuralından gelir. log₂₅ 125 için taban 5², sayı 5³'tür ve sonuç 3/2 çıkar. Taban kök olduğunda payda kesir olur: log_(√2) 8 = log_(2^(1/2))(2³) = 3 / (1/2) = 6.

Taban değiştirme

Logaritma tabloları da sınavda verilen yaklaşık değerler de çoğunlukla 10 tabanındadır. İki tabanlı bir logaritmayı on tabanlılarla ifade etmek için log_a b = t yazılır ve aᵗ = b eşitliğinin iki yanının 10 tabanına göre logaritması alınır: t · log a = log b. Buradan t = log b / log a bulunur. 10 yerine herhangi bir uygun c tabanı (c > 0, c ≠ 1) seçilebilir:

log_a b = log_c b / log_c a.

Kancadaki veriyle log₂ 20 = log 20 / log 2 = (1 + log 2) / log 2 ≈ 1,301 / 0,301 ≈ 4,32 bulunur. Bu sonuç, log₂ 20 için daha önce bulunan 4 ile 5 arasındaki yerle de uyuşur.

a ile b yer değiştirdiğinde değer tersine döner: log_a b · log_b a = (log b / log a) · (log a / log b) = 1. Aynı sadeleşme zincir kuralını da verir: log_a b · log_b c = log_a c. Ortadaki b, bir çarpanın paydasında ve ötekinin payında durduğu için sadeleşir. Zincir uzasa da ilke değişmez: log₂ 3 · log₃ 5 · log₅ 16 çarpımında 3 ve 5 sadeleşir, geriye log₂ 16 = 4 kalır.

Üs ile tabanın yer değiştirmesi

Taban değiştirmenin daha az göze çarpan bir sonucu şudur: a, b, c pozitif ve b ≠ 1 iken

a^(log_b c) = c^(log_b a).

İki yanın b tabanına göre logaritması alındığında sol taraf log_b c · log_b a, sağ taraf log_b a · log_b c olur; çarpma değişmeli olduğundan ikisi eşittir. Bu eşitlik, hesaplanması zor görünen farkları sıfıra indirir: 3^(log₂ 5) − 5^(log₂ 3) = 0.

Yaklaşık değerlerle hesap ve basamak sayısı

Sınavda sık verilen iki yaklaşık değer log 2 ≈ 0,301 ve log 3 ≈ 0,477'dir. Kurallarla bunlardan pek çok değer türetilir. log 6 = log 2 + log 3 ≈ 0,778; log 12 = 2 · log 2 + log 3 ≈ 1,079; log 1,5 = log 3 − log 2 ≈ 0,176. 5'in logaritması 10'a bölmeyle, yani log 5 = 1 − log 2 yazılarak bulunur.

Basamak sayısı sorusu da bu değerleri kullanır. k basamaklı bir N doğal sayısı 10ᵏ⁻¹ ≤ N < 10ᵏ aralığındadır; logaritma alınınca k − 1 ≤ log N < k olur. Öyleyse N'nin basamak sayısı, log N'nin tam kısmının bir fazlasıdır. 2⁵⁰ için log(2⁵⁰) = 50 · log 2 ≈ 15,05; tam kısım 15, basamak sayısı 16'dır. Gerçekten 2⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624 sayısı 16 basamaklıdır. Yaklaşık değerle çalışırken ondalık kısmın sıfıra çok yakın çıkması bir uyarıdır; bu derste seçilen kuvvetlerde ondalık kısım güvenli bir uzaklıktadır.

Harflerle ifade

Bazı sorular sayı yerine harf verir: log 2 = a ve log 3 = b ise başka logaritmalar a ile b cinsinden yazılır. Yol, istenen sayıyı 2, 3 ve 10'un çarpımı ya da bölümü olarak yazmaktır. 18 = 2 · 3² olduğundan log 18 = a + 2b; 15 = 3 · 10 / 2 olduğundan log 15 = b + 1 − a. Taban 10'dan farklıysa önce taban değiştirilir: log₆ 12 = log 12 / log 6 = (2a + b) / (a + b).

Kural olmayan eşitlikler

Logaritmanın çarpım, bölüm ve kuvvetle ilgili kuralları vardır; toplam ve fark için yoktur. log(x + y) ifadesi log x + log y'ye eşit değildir: kancadaki 0,778, log 5'in değil log 6'nın değeriydi. Aynı biçimde log x / log y, log(x/y) ile karışmamalıdır; ilki taban değiştirme kuralındaki log_y x'tir. (log x)² ile log(x²) de farklıdır: x = 100 için ilki 4, ikincisi yine 4 çıkar ama x = 1000 için 9 ile 6'dır. Bir kuralı kullanmadan önce logaritmanın içinde çarpım, bölüm ya da kuvvet bulunduğundan emin olmak gerekir.

Bu kurallar yalnız sayısal ifadeleri sadeleştirmek için değil, bilinmeyeni üste ya da logaritmanın içine saklanmış eşitlikleri çözmek için de araçtır. Üstel ve logaritmik denklemler dersinde 3ˣ = 5 gibi ortak tabana yazılamayan bir eşitlikte iki yanın logaritmasını almayı, log₂ x + log₂(x − 2) = 3 gibi iki logaritmayı çarpım kuralıyla birleştirdikten sonra bulunan değerleri tanım kümesine göre elemeyi göreceğiz.

Örnek 1 — Üç logaritmayı tek logaritmada toplamak

Soru: log₃ 54 + log₃ 6 − 2 · log₃ 2 işleminin sonucu kaçtır?

• A) işlem = 3
• B) işlem = 4
• C) işlem = 5
• D) işlem = 2
• E) işlem = 6

Çözüm: Önce katsayı kuvvete çevrilir: 2 · log₃ 2 = log₃ 4. Toplananlar çarpılır, çıkarılan böler: log₃(54 · 6 / 4) = log₃ 81 = 4. Katsayıyı unutup yalnız log₃ 2 çıkaran öğrenci log₃ 162 değerine varır; bu sayı 4 ile 5 arasındadır ve C seçeneğindeki 5 böyle bir yuvarlamadan gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Taban değiştirme ile çarpım

Soru: P = log₃ 4 · log₂ 27 ise P kaçtır?

• A) P = 1
• B) P = 5
• C) P = 12
• D) P = 6
• E) P = 3/2

Çözüm: Kuvvetler dışarı alınır: log₃ 4 = 2 · log₃ 2 ve log₂ 27 = 3 · log₂ 3. Çarpım 6 · (log₃ 2 · log₂ 3) olur; parantezdeki iki logaritma birbirinin tersidir ve çarpımları 1'dir. Sonuç 6. A seçeneği katsayıları görmeden yalnız ters logaritmaları fark eder; B seçeneği 2 ile 3'ü çarpmak yerine toplar. Cevap: D.

Örnek 3 — Harfli ifadede taban değiştirme

Soru: log 2 = a ve log 3 = b olduğuna göre log₄ 45 ifadesinin a ve b cinsinden değeri hangisidir?

• A) (2b + 1 − a) / (2a)
• B) (2b + 1 + a) / (2a)
• C) (2b + 5) / (2a)
• D) (b + 1 − a) / a
• E) 2a / (2b + 1 − a)

Çözüm: Taban 10'a geçilir: log₄ 45 = log 45 / log 4. 45 = 9 · 5 ve 5 = 10/2 olduğundan log 45 = 2b + 1 − a; log 4 = 2a. C seçeneği log 5'i 5 sanır, E seçeneği taban değiştirmede kesri ters kurar. Cevap: A.

Örnek 4 — Bir kuvvetin basamak sayısı

Soru: log 2 ≈ 0,301 ve log 3 ≈ 0,477 alındığında 6²⁰ sayısı kaç basamaklıdır?

• A) 15 basamak
• B) 17 basamak
• C) 20 basamak
• D) 156 basamak
• E) 16 basamak

Çözüm: log 6 ≈ 0,301 + 0,477 = 0,778, log(6²⁰) ≈ 20 · 0,778 = 15,56. Tam kısım 15, basamak sayısı 16'dır. A seçeneği tam kısmı basamak sayısı sanar, D seçeneği 15,56'yı virgülsüz okur. Cevap: E.

• Toplamın logaritmasını parçalamak. log(2 + 3) ≠ log 2 + log 3; sağdaki toplam log 6'dır. Toplam ve farkın logaritması için kural yoktur.
• Logaritmaların bölümünü bölümün logaritması sanmak. log 8 / log 2 = 3 iken log(8/2) = log 4 ≈ 0,602'dir; ilki taban değiştirmedir.
• Basamak sayısında bir eklemeyi unutmak. log N ≈ 15,05 ise sayı 15 değil 16 basamaklıdır; 10¹⁵ bile 16 basamaklıdır.
• Tabandaki üssü pay yapmak. log_(aᵐ)(xⁿ) değerinde m paydaya gider; log₂₅ 125 için 3/2 yerine 2/3 bulunursa kesir ters kurulmuştur.
• Negatif sayıda kuvvet kuralı. log((−3)²) tanımlıdır, ama 2 · log(−3) tanımsızdır; çift kuvvet dışarı alınırken |x| yazılır.