Logaritmanın tanımı

Övgü bir deneme sorusunda 2ˣ = 20 eşitliğine takılıyor. Üslü denklemlerde iki tarafı aynı tabana yazmaya alışkın: 20'yi ikinin kuvveti olarak yazmayı deniyor, olmuyor. 2⁴ = 16 biraz eksik, 2⁵ = 32 fazla kaçıyor; demek ki x dördü geçiyor ama beşe varmıyor. Kesir yazmayı deniyor, o da tutmuyor. Çözüm sayfasında tek satır duruyor: x = log₂ 20. Övgü önce bunu bir hile sanıyor, sanki cevabı bulamayan biri soruyu başka harflerle geri yazmış. Oysa o satır, aranan üssün kendisine bir ad veriyor. Bu derste o adın ne anlama geldiğini, hangi koşullarda yazılabildiğini, grafiğinin nasıl göründüğünü ve böyle bir sayının iki tam sayı arasına nasıl yerleştirildiğini görüyoruz.

• log_a(b) = c ifadesini aᶜ = b üslü eşitliğine çevirip tanımdan logaritma değeri hesaplarsın.
• Taban ve logaritması alınan ifade için koşulları yazıp logaritmalı bir ifadenin tanım kümesini bulursun.
• y = log_a x grafiğini y = aˣ grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği olarak çizer, fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu tabandan okursun.
• Bir logaritmayı ardışık iki tam sayı arasına yerleştirir, a^(log_a x) = x ve log_a(aˣ) = x eşitlikleriyle ifadeleri sadeleştirirsin.

Üssü soran işlem

Üslü sayılarda soru hep aynı yönden sorulur: taban ve üs verilir, sonuç istenir. 3⁴ kaçtır diye sorulduğunda 81 yazılır. Logaritma soruyu tersten sorar: sonuç ve taban bellidir, üs bilinmez. «3'ü kaçıncı kuvvete yükseltirsek 81 olur?» sorusunun cevabı 4'tür ve bu cevap log₃ 81 = 4 diye yazılır. Kancadaki 2ˣ = 20 eşitliğinde de durum aynıdır; tek fark, aranan üssün tam sayı ya da basit bir kesir çıkmamasıdır. Üs yine vardır ve log₂ 20 o üssün adıdır.

Tanım

a > 0, a ≠ 1 ve b > 0 olmak üzere

log_a(b) = c ⇔ aᶜ = b.

a sayısına taban, b sayısına logaritması alınan sayı denir; c ise aranan üstür. Bu çift yönlü ok, logaritmayla ilgili her hesabın başlangıç noktasıdır: bir logaritma görüldüğünde onu üslü eşitliğe çevirmek, bilinmeyeni çoğu zaman tek adımda verir.

Birkaç değer bu çeviriyle bulunur. log₂ 32 sorusu 2ᶜ = 32 eşitliğine döner; 32 = 2⁵ olduğundan c = 5'tir. log₃(1/9) için 3ᶜ = 1/9 yazılır; 1/9 = 3⁻² olduğundan c = −2 bulunur. Negatif üsler dersinden bilindiği gibi, birden küçük pozitif bir sayının birden büyük tabana göre logaritması eksidir. log₄ 8 hesabında 4 ile 8 aynı tabanın kuvveti değil gibi görünür, ama ikisi de ikinin kuvvetidir: 4ᶜ = 8 eşitliği 2²ᶜ = 2³ olur ve c = 3/2 çıkar. Logaritmanın değeri kesirli de olabilir.

Tabanın ve sayının koşulları

Tanımdaki her koşul üslü sayıların bir davranışından gelir.

Taban pozitif olmalıdır, çünkü negatif bir sayının kesirli kuvveti gerçek sayılarda her zaman tanımlı değildir: (−4)^(1/2) bir gerçek sayı vermez. Taban 1 olamaz, çünkü 1'in her kuvveti 1'dir. log₁ 5 için 1ᶜ = 5 eşitliğini sağlayan hiçbir c yoktur; log₁ 1 içinse her c uyar ve ifadenin tek bir değeri kalmaz. Logaritması alınan sayı pozitif olmalıdır, çünkü pozitif bir tabanın hangi kuvveti alınırsa alınsın sonuç sıfırın üstünde kalır: 2ᶜ = −8 ya da 2ᶜ = 0 eşitliğini sağlayan c bulunmaz.

Dikkat edilmesi gereken nokta, koşulların c için değil a ile b için konmasıdır. Logaritmanın değeri sıfır, eksi ya da kesir olabilir; log₅ 1 = 0 ve log₂(1/8) = −3 tamamen geçerli değerlerdir.

Logaritmalı ifadenin tanım kümesi

Taban ya da logaritması alınan kısım x içeriyorsa üç koşul x için birer eşitsizliğe dönüşür ve hepsi birlikte sağlanmalıdır. log_(x−1)(5 − x) ifadesini ele alalım:

• logaritması alınan kısım pozitif: 5 − x > 0, yani x < 5;
• taban pozitif: x − 1 > 0, yani x > 1;
• taban 1'den farklı: x − 1 ≠ 1, yani x ≠ 2.

Üç koşulun kesişimi 1 < x < 5 ve x ≠ 2'dir. Bu aralıktaki tam sayılar yalnız 3 ve 4'tür. En çok unutulan koşul üçüncüsüdür: taban yalnız pozitif olsun diye bakan öğrenci 2'yi de sayar. Logaritması alınan kısım ikinci dereceden bir ifadeyse, örneğin log₃(9 − x²), işaret tablosuyla çözülen bir eşitsizlik çıkar: 9 − x² > 0 koşulu −3 < x < 3 aralığını verir.

Onluk ve doğal logaritma

İki taban o kadar sık kullanılır ki kendi gösterimleri vardır. Tabanı 10 olan logaritmaya onluk logaritma (common logarithm) denir ve taban yazılmaz: log x, log₁₀ x demektir. log 1000 = 3, log 0,01 = −2'dir, çünkü 10³ = 1000 ve 10⁻² = 0,01'dir.

Tabanı e sayısı olan logaritmaya doğal logaritma (natural logarithm) denir ve ln x biçiminde yazılır: ln x = logₑ x. e, yaklaşık 2,718 olan irrasyonel bir sayıdır; sınavda değeri değil, bir taban olarak kullanılışı önemlidir. ln e = 1, ln 1 = 0 ve ln(e³) = 3 eşitlikleri tanımdan doğrudan çıkar.

Tanımın kendisinden çıkan dört eşitlik

Tanım, hesap yapmadan okunabilen dört sonucu kendi içinde taşır. Her biri için a > 0, a ≠ 1'dir.

• log_a 1 = 0, çünkü a⁰ = 1.
• log_a a = 1, çünkü a¹ = a.
• a^(log_a x) = x (x > 0): log_a x, a'nın x'i veren üssüdür; a bu üsse yükseltilince x'in kendisi elde edilir. 5^(log₅ 7) = 7 ve 10^(log 3) = 3 böyle sadeleşir.
• log_a(aˣ) = x (her gerçek x için): aˣ sayısını veren üs sorulmaktadır ve o üs zaten yazılıdır. log₂(2⁻⁶) = −6 olur.

Üçüncü eşitlik üs kurallarıyla birleşince daha uzun ifadeleri de çözer. 9^(log₃ 5) sorusunda 9 = 3² yazılır; (3²)^(log₃ 5) = (3^(log₃ 5))² = 5² = 25. Bu adımda yalnız üslü sayılardaki (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ eşitliği kullanıldı; logaritmaya yeni bir kural eklenmedi.

İç içe yazılmış logaritmalar dışarıdan değil içeriden açılır. log₂(log₃ 81) ifadesinde önce log₃ 81 = 4 bulunur, ardından log₂ 4 = 2.

Üstel fonksiyonun tersi

Üstel fonksiyon dersinde f(x) = aˣ fonksiyonunun (a > 0, a ≠ 1) gerçek sayılardan pozitif gerçek sayılara birebir ve örten olduğunu gördük. «Ters fonksiyon» dersine göre böyle bir fonksiyonun tersi vardır. Tersi bulmak için y = aˣ yazılır, x yalnız bırakılır: x = log_a y. Değişkenlerin adları değiştirilince f⁻¹(x) = log_a x elde edilir.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi üstel fonksiyonun görüntü kümesidir, yani (0, ∞); görüntü kümesi de üstel fonksiyonun tanım kümesi olan bütün gerçek sayılardır. Yukarıdaki iki sadeleştirme, ters fonksiyon dersindeki f(f⁻¹(x)) = x ve f⁻¹(f(x)) = x eşitliklerinin bu fonksiyon çiftindeki adıdır.

Tersini bulma yöntemi kaydırılmış fonksiyonlarda da aynı kalır. f(x) = log₂(x − 3) + 1 için y − 1 = log₂(x − 3) yazılır, tanımla üslüye çevrilir: x − 3 = 2^(y−1). Buradan f⁻¹(x) = 2^(x−1) + 3 bulunur.

Grafik

Ters fonksiyonların grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. y = 2ˣ grafiğindeki (0, 1), (1, 2) ve (3, 8) noktaları yer değiştirince y = log₂ x grafiğinin (1, 0), (2, 1) ve (8, 3) noktaları çıkar. Bu yansıma logaritma grafiğinin bütün özelliklerini verir:

• Her tabanda grafik (1, 0) noktasından geçer; üstel grafiğin (0, 1) noktasının yansımasıdır.
• Taban ne olursa olsun x = a için y = 1 çıkar; (a, 1) grafiğin ikinci sabit noktasıdır.
• Taban birden büyükse x büyüdükçe y de büyür; taban 0 ile 1 arasındaysa x büyüdükçe y küçülür.
• Üstel grafiğin yatay asimptotu olan x ekseni, yansıyınca y eksenine dönüşür: x sıfıra yaklaştıkça grafik y ekseninin yanında sınırsızca aşağı iner (a > 1) ya da yukarı çıkar (0 < a < 1), ama ekseni hiç kesmez. y ekseni dikey asimptottur.

Grafik işaret okumayı da kolaylaştırır. a > 1 iken x > 1 için logaritma pozitif, 0 < x < 1 için negatiftir. 0 < a < 1 iken bu işaretler yer değiştirir: log_(1/2) 16 = −4 olur, çünkü (1/2)⁻⁴ = 16'dır. Grafik y = log_a(x − 2) gibi kaydırılmış bir biçimde verilirse, «Grafik dönüşümleri» dersindeki öteleme kuralı uygulanır ve dikey asimptot x = 2 doğrusuna taşınır.

İki tam sayı arasına yerleştirmek

Kancadaki log₂ 20 sayısı bir tam sayı değildir, ama yeri bulunabilir. 20, ikinin ardışık iki kuvveti arasındadır: 16 < 20 < 32, yani 2⁴ < 20 < 2⁵. Taban birden büyük olduğundan fonksiyon artandır ve sıra korunur: 4 < log₂ 20 < 5. Aynı yolla 27 < 50 < 81 olduğundan 3 < log₃ 50 < 4'tür; e² yaklaşık 7,39, e³ yaklaşık 20,09 olduğundan 2 < ln 10 < 3'tür.

Taban birden küçükse sıra ters döner. log_(1/2) 10 için (1/2)⁻³ = 8 ve (1/2)⁻⁴ = 16 değerleri arasında 10 bulunur; fonksiyon azalan olduğu için büyük sayıya küçük üs düşer ve −4 < log_(1/2) 10 < −3 yazılır. Aynı kaymayı birden küçük sayılarda da görmek gerekir: 0,01 < 0,05 < 0,1 olduğundan −2 < log 0,05 < −1'dir.

Soru kökleri ve sonraki adım

Bu dersin soruları bir logaritmanın değerini, x içeren bir ifadenin tanım kümesini ya da oradaki tam sayıları, bir grafiğin geçtiği noktadan tabanı, bir logaritmanın hangi iki tam sayı arasında kaldığını ve a^(log_a x) biçimli ifadelerin sadeleşmesini ister. Bütün bunları yalnız tanımla yaptık; iki logaritma birbirine eklendiğinde, bölündüğünde ya da bir logaritmanın içindeki sayı bir kuvvet olduğunda ne olacağını henüz sormadık. Sonraki ders tam bunu inceliyor: üslü sayılarda çarpımın üsleri toplaması logaritmada nasıl bir toplama kuralına dönüşür, log₂ 20 sayısı log₂ 4 ve log₂ 5 cinsinden nasıl yazılır, ve tabanı 2 olan bir logaritma tabanı 10 olan logaritmalarla nasıl ifade edilir.

Örnek 1 — Ortak tabana yazarak değer

Soru: log₈ 32 kaçtır?

• A) değer = 4
• B) değer = 5/3
• C) değer = 3/5
• D) değer = 2
• E) değer = 5/2

Çözüm: log₈ 32 = c dersek 8ᶜ = 32 olur. İki sayı da ikinin kuvveti: 2³ᶜ = 2⁵, buradan 3c = 5 ve c = 5/3. C seçeneği tabanla sayıyı karıştırıp 32'nin 8'e göre değil, 8'in 32'ye göre logaritmasını alır; A seçeneği 32'yi 8'e böler. Cevap: B.

Örnek 2 — Tanım kümesindeki tam sayılar

Soru: log_(x−2)(8 − x) ifadesini tanımlı yapan kaç x tam sayısı vardır?

• A) 3 tam sayı
• B) 6 tam sayı
• C) 5 tam sayı
• D) 4 tam sayı
• E) 7 tam sayı

Çözüm: Logaritması alınan kısım pozitif olmalı: x < 8. Taban pozitif olmalı: x > 2. Taban 1 olmamalı: x − 2 ≠ 1, yani x ≠ 3. Ortak bölge 2 < x < 8 ve x ≠ 3; tam sayılar 4, 5, 6 ve 7'dir. C seçeneği x ≠ 3 koşulunu atlar ve 3'ü de sayar. Cevap: D.

Örnek 3 — Grafikten taban ve öteleme

Soru: f(x) = log_a(x + b) fonksiyonunun grafiği (3, 0) ve (5, 1) noktalarından geçiyor. a + b kaçtır?

• A) a + b = 5
• B) a + b = −1
• C) a + b = 1
• D) a + b = 3
• E) a + b = 7

Çözüm: Logaritma yalnız 1 için sıfırdır, öyleyse (3, 0) noktasında 3 + b = 1 ve b = −2. İkinci noktada log_a(5 − 2) = 1, yani log_a 3 = 1 ve a¹ = 3. Taban koşulları (a > 0, a ≠ 1) sağlanır. a + b = 3 − 2 = 1. A seçeneği b'yi +2 alır. Cevap: C.

Örnek 4 — Üç logaritmayı sıralamak

Soru: m = log₂ 12, n = log₃ 12, t = log_(1/2) 12 sayılarının doğru sıralanışı hangisidir?

• A) t < m < n
• B) n < m < t
• C) m < n < t
• D) t < n < m
• E) n < t < m

Çözüm: 8 < 12 < 16 olduğundan 3 < m < 4; 9 < 12 < 27 olduğundan 2 < n < 3. Taban birden küçük olan t için (1/2)⁻⁴ = 16 ve (1/2)⁻³ = 8 alınır; 12 bu ikisi arasında olduğundan −4 < t < −3 ve t negatiftir. Sıra t < n < m. B seçeneği birden küçük tabanın işareti tersine çevirdiğini görmez. Cevap: D.

• Taban için yalnız pozitiflik koşulunu yazmak. Taban 1'e de eşit olamaz; log_(x−1)(5 − x) gibi ifadelerde x = 2 elenmezse tam sayı sayısı bir fazla çıkar.
• Logaritmanın değerinin de pozitif olması gerektiğini sanmak. Koşullar taban ve logaritması alınan sayı içindir; log₃(1/9) = −2 ve log₇ 1 = 0 geçerli değerlerdir.
• Tabanla sayıyı yer değiştirmek. log₈ 32 sorusunda 8ᶜ = 32 kurulur; 32ᶜ = 8 kurulursa 5/3 yerine 3/5 bulunur.
• Birden küçük tabanda sırayı korumak. Tabanı 1/2 olan logaritma azalandır; 8 < 10 < 16 iken log_(1/2) 10 değeri −4 ile −3 arasındadır, 3 ile 4 arasında değil.
• Logaritma grafiğine yatay asimptot çizmek. Üstel grafiğin yatay asimptotu yansıyınca dikey olur: y = log_a x için asimptot y eksenidir, y = log_a(x − 2) biçiminde ise x = 2 doğrusudur.