Üstel fonksiyon

Tuncay'ın deneme kitapçığındaki soru f(x) = (a − 3)ˣ kuralını veriyor ve bunun bir üstel fonksiyon olması için a'nın sağlaması gereken koşulu soruyor. Tabanın pozitif olması gerektiğini hatırlıyor, a − 3 > 0 yazıyor ve a > 3 seçeneğini işaretliyor. Cevap anahtarında «a > 3 ve a ≠ 4» yazıyor. Tuncay a = 4'ü denediğinde kuralın 1ˣ olduğunu görüyor: x ne olursa olsun çıktı 1. Grafik yatay bir doğru: artmıyor, azalmıyor, her girdiyi aynı çıktıya gönderiyor. Tuncay'ın atladığı tek koşul, bu modülün bütün sorularının dayandığı fonksiyonun neden 1'i taban kabul etmediğini anlatıyor.

• f(x) = aˣ kuralında tabana getirilen a > 0 ve a ≠ 1 koşullarını gerekçesiyle uygularsın.
• Üstel fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini, artan ya da azalan oluşunu ve yatay asimptotunu tabandan okursun.
• Öteleme ve yansıma uygulanmış üstel grafiklerin asimptotunu, eksen kesişimlerini ve görüntü kümesini bulursun.
• Aynı tabanlı ya da aynı üslü sayıları üstel fonksiyonun monotonluğuyla sıralarsın.

Değişken üste çıkınca

TYT'deki «Üslü sayılarda temel kurallar» ve «Negatif üs ve sıfırıncı kuvvet» derslerinde üs sabit bir sayıydı ve kuralları onunla kurduk. Şimdi üssü serbest bırakıyoruz. f(x) = 2ˣ kuralında x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 için çıktılar sırasıyla 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8 olur. x bir artınca çıktı iki katına çıkıyor, bir azalınca yarıya iniyor. Tam sayılar arasındaki boşluklar da dolar: 2^(1/2) = √2 ≈ 1,414'tür ve √2 gibi irrasyonel üsler, yakınındaki rasyonel üslerin değerleriyle tek biçimde belirlenir. Böylece her gerçek x için bir 2ˣ değeri vardır.

Genel tanım şudur: a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere f: R → R, f(x) = aˣ kuralına üstel fonksiyon denir. Tabanı sabit, bilinmeyeni üste olan bu yapı, x² gibi tabanı değişken üssü sabit olan kuvvet fonksiyonlarından ayrı bir ailedir; ikisini karıştırmamak için önce bilinmeyenin nerede durduğuna bakılır.

Tabana konan iki şart

a = 1 olursa 1ˣ her x için 1'dir; elde sabit fonksiyon kalır ve kancadaki gibi bu durum üstel sayılmaz. a = 0 olursa 0ˣ, x pozitifken 0 verir, ama x = 0'da 0⁰ ve x negatifken 0'a bölme ortaya çıkar; kural her gerçek sayıda çalışmaz. a negatif olursa sorun kesirli üslerde çıkar: (−4)^(1/2) = √(−4) gerçek bir sayı değildir. Bu üç engel birlikte a > 0 ve a ≠ 1 koşulunu verir.

Taban bir ifade olarak verildiğinde iki şart aynı anda yazılır. f(x) = (a − 3)ˣ için a − 3 > 0 ve a − 3 ≠ 1, yani a > 3 ve a ≠ 4 gerekir.

Tanım ve görüntü kümesi

Tanım kümesi R'dir. Pozitif bir tabanın her kuvveti pozitiftir; negatif üs bile yalnız kesir çizgisinin yerini değiştirir, işareti değil. Bu yüzden aˣ hiçbir x için 0 ya da negatif olmaz ve görüntü kümesi (0, ∞) aralığıdır. 2ˣ = 0 ya da 3ˣ = −9 gibi eşitliklerin çözümsüz olmasının nedeni budur.

Grafiğin üç sabit izi

Her üstel grafik (0, 1) noktasından geçer, çünkü a⁰ = 1'dir. (1, a) noktası da her zaman grafiktedir ve tabanı grafikten okumanın en hızlı yoludur.

a > 1 ise fonksiyon artandır: x büyüdükçe aˣ büyür ve sağa doğru hızla yükselir. Sola gidildikçe değerler 0'a yaklaşır ama 0'a hiç ulaşmaz. 0 < a < 1 ise durum tersine döner; fonksiyon azalandır, sola doğru yükselir, sağa doğru 0'a yaklaşır. İki durumda da grafik x eksenine sonsuz yakınlaşır, onu kesmez: x ekseni, yani y = 0 doğrusu, grafiğin yatay asimptotudur.

1'den büyük iki taban karşılaştırıldığında, x > 0 için tabanı büyük olan üsttedir: 3² = 9 > 2² = 4. x < 0 için sıra tersine döner: 2⁻¹ = 1/2 > 3⁻¹ = 1/3. Grafikler yalnız (0, 1)'de buluşur.

2ˣ ile (1/2)ˣ: aynı eğrinin iki yüzü

(1/2)ˣ = 2⁻ˣ olduğundan g(x) = (1/2)ˣ, f(x) = 2ˣ için g(x) = f(−x) demektir. «Grafik dönüşümleri: öteleme ve yansıma» dersinde f(−x)'in, grafiği y eksenine göre aynaladığını görmüştük: 2ˣ grafiğindeki (3, 8) noktası (1/2)ˣ grafiğinde (−3, 8) olur. Bu nedenle azalan bir üstel fonksiyonu ayrıca ezberlemeye gerek yoktur; tabanı 1/a olan grafik, tabanı a olanın aynadaki görüntüsüdür. Bu ilişki şu tuzağı da açıklar: 3⁻ˣ, tabanı 1'den büyük görünse de (1/3)ˣ'e eşittir ve azalandır.

Birebir, örten ve tersi

Artan ya da azalan bir fonksiyon iki farklı girdiye aynı çıktıyı veremez. «Fonksiyon türleri: birebir, örten, içine» dersindeki yatay doğru testiyle söylersek, y = c doğrusu üstel grafiği c > 0 iken tam bir noktada keser, c ≤ 0 iken hiç kesmez. Demek ki f(x) = aˣ birebirdir. Değer kümesi R alınırsa negatif sayılar ve 0 hiçbir girdinin görüntüsü olmaz ve fonksiyon içinedir. Değer kümesi görüntü kümesine daraltılıp f: R → (0, ∞) yazılınca fonksiyon örten olur. «Ters fonksiyon» dersinin ölçütü burada tam karşılanır: birebir ve örten olan f'nin tersi vardır ve bu ters, (0, ∞) aralığından aldığı her pozitif sayıya, a'nın hangi kuvveti olduğunu söyleyen tek bir x verir.

Üslü sayıları sıralamak

TYT'de 1'den büyük tabanlarda üs büyüdükçe sayının büyüdüğünü kullanmıştık. Artık bu bilgi bir fonksiyonun artanlığıdır ve azalan tarafı da vardır: 0 < a < 1 ise büyük üs küçük sayı verir. (0,5)^1,2 ≈ 0,435 ve (0,5)^0,8 ≈ 0,574 olduğundan (0,5)^1,2 < (0,5)^0,8'dir. Tabanlar eşitlenemeyip üsler eşitse yukarıdaki grafik sırası işler: üs pozitifken tabanı büyük olan büyüktür, üs negatifken küçüktür. 3^(−1,5) ≈ 0,192 iken 2^(−1,5) ≈ 0,354'tür. 1 de iyi bir ölçüttür: a > 1 için pozitif üs 1'den büyük, negatif üs 1'den küçük bir sayı verir.

Ötelenmiş üstel grafikler

y = 2^(x−1) + 3 grafiği, 2ˣ'in 1 birim sağa ve 3 birim yukarı taşınmış hâlidir. Yatay öteleme asimptota dokunmaz, dikey öteleme onu y = 3'e çıkarır. Grafik 3'e yaklaşır ama 3 olmaz; görüntü kümesi (3, ∞) olur. y eksenini kestiği nokta x = 0 yazılarak bulunur: 2⁻¹ + 3 = 7/2. Genel olarak y = k · a^(x−h) + c biçiminde asimptot y = c'dir; k > 0 iken görüntü kümesi (c, ∞), k < 0 iken (−∞, c) olur. y = −2ˣ + 4 grafiği x eksenine göre ters çevrilip yukarı taşındığı için 4'ün altında kalır ve görüntü kümesi (−∞, 4) aralığıdır.

e sayısı

(1 + 1/n)ⁿ ifadesi n = 1, 10, 100, 1 000 için 2; yaklaşık 2,594; 2,705; 2,717 değerlerini alır ve n büyüdükçe 2,71828… sayısına yaklaşır. Bu sayıya e denir; π gibi irrasyoneldir. e > 1 olduğundan f(x) = eˣ artan bir üstel fonksiyondur, (0, 1)'den geçer ve grafiği 2ˣ ile 3ˣ arasında kalır. Türev ünitesinde eˣ'in özel bir yeri olacak; şimdilik onu tabanı yaklaşık 2,718 olan bir üstel fonksiyon olarak tanımak yeter. Nüfus, faiz ve bozunma gibi büyüme modelleri de bu kurala dayanır ve modülün son dersinde ele alınır.

Tersi bir ad bekliyor

2ˣ birebir ve örten olduğuna göre 2ˣ = 8 eşitliğini sağlayan x'in 3 olduğunu söylemek kolaydır, ama 2ˣ = 5 eşitliğini sağlayan tek bir x de vardır ve onu bildiğimiz hiçbir sayı sembolüyle yazamayız. Sonraki ders bu sayıya bir ad veriyor: tabanı ve sonucu bilinen bir kuvvetin üssünü gösteren logaritma kavramını ve bu tanımın üstel eşitlikle nasıl karşılıklı okunduğunu ele alıyor.

Örnek 1 — Azalan olma koşulu

Soru: f(x) = (2a − 5)ˣ azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre a hangi aralıktadır?

• A) a > 5/2
• B) 2 < a < 3
• C) 5/2 < a < 3
• D) a < 3
• E) a > 5/2 ve a ≠ 3

Çözüm: Azalan olmak için taban 0 ile 1 arasında olmalıdır: 0 < 2a − 5 < 1, buradan 5 < 2a < 6 ve 5/2 < a < 3. Tabanın 1 olmaması bu aralıkta zaten sağlanır. E seçeneği yalnız üstel olma şartını yazar, azalanlığı hiç kullanmaz. Cevap: C.

Örnek 2 — Asimptot ve kesişim

Soru: y = 2^(x−1) + 3 grafiğinin yatay asimptotu y = c ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı d ise c + d kaçtır?

• A) c + d = 13/2
• B) c + d = 7/2
• C) c + d = 7
• D) c + d = 9/2
• E) c + d = 15/2

Çözüm: Dikey öteleme asimptotu y = 3'e taşır, yani c = 3. x = 0 için 2⁻¹ + 3 = 7/2, yani d = 7/2. Toplam 13/2'dir. B seçeneği asimptotu x ekseninde bırakıp c = 0 alır. Cevap: A.

Örnek 3 — Üç sayıyı sıralamak

Soru: p = (0,5)^1,2, r = (0,5)^0,8 ve s = 2^0,5 sayılarının sıralaması hangisidir?

• A) r < p < s
• B) p < s < r
• C) s < p < r
• D) p < r < s
• E) r < s < p

Çözüm: Taban 0,5 olan fonksiyon azalandır; büyük üs küçük değer verir ve p < r olur. İkisi de pozitif üslü, 1'den küçük tabanlı olduğundan 1'in altındadır; s ise 1'den büyük tabanın pozitif kuvveti olduğundan 1'in üstündedir. Sayısal olarak p ≈ 0,435, r ≈ 0,574, s ≈ 1,414. Cevap: D.

Örnek 4 — İki noktadan kural

Soru: f(x) = aˣ + b grafiği (0, 4) ve (1, 7) noktalarından geçiyor. f(−1) kaçtır?

• A) f(−1) = 2
• B) f(−1) = 13/4
• C) f(−1) = 1
• D) f(−1) = 10/3
• E) f(−1) = 7/2

Çözüm: x = 0 için a⁰ + b = 1 + b = 4, yani b = 3. x = 1 için a + 3 = 7, yani a = 4. f(−1) = 4⁻¹ + 3 = 1/4 + 3 = 13/4. C seçeneği a⁰'ı 0 sanıp b = 4 ve a = 3 bulur, sonra 3⁻¹'i −3 yazıp 4 ile toplar. Cevap: B.

• Taban koşulunda a ≠ 1'i unutmak. Taban 1 olunca fonksiyon sabittir; (a − 3)ˣ için a = 4 dışlanmalıdır.
• 3⁻ˣ'i tabanına bakıp artan saymak. 3⁻ˣ = (1/3)ˣ'tir ve azalandır; üste eksi varsa önce taban yeniden yazılır.
• Görüntü kümesine 0'ı katmak. aˣ asla 0 olmaz; görüntü kümesi [0, ∞) değil (0, ∞)'dur, ötelenmişte de uç açık kalır.
• Yatay ötelemenin asimptotu kaydırdığını sanmak. y = 2^(x−1) + 3'te asimptotu yalnız + 3 belirler; x − 1 grafiği sağa taşır, y = 3 doğrusuna dokunmaz.
• Negatif üste taban sırasını korumak. 2^(−1,5) > 3^(−1,5)'tir; üs negatifken büyük taban küçük sonuç verir.