Gerçek hayat modelleri

Refika'nın deneme sınavında varsayımsal bir ilçe var: nüfusu her yıl %2 artıyor ve sorulan, nüfusun kaç yılda iki katına çıkacağı. Refika hızlı düşünüyor: %2'yi elli kez eklersem %100 eder, demek ki 50 yıl. Sınavdan sonra hesap makinesiyle 1,02⁵⁰ değerine bakıyor ve 2,69 görüyor. Elli yılın sonunda nüfus iki katını çoktan geçmiş. Gerçek süre 35 yılın hemen üstünde, çünkü her yılın %2'si bir önceki yıldan biraz daha kalabalık bir nüfusun %2'si. Refika yüzdeleri toplamış, oysa model onları çarpıyor. Üstteki bilinmeyeni indirmenin yolu da artık elinde: logaritma.

• Sabit oranla büyüyen ya da azalan bir durumu A(t) = A₀ · (1 + r)ᵗ, A₀ · (1 − r)ᵗ ya da A₀ · a^(kt) biçiminde modellersin.
• Yarı ömür ve ikiye katlanma süresi verilen bir süreçte kalan ya da biriken miktarı hesaplarsın.
• Bilinmeyen süreyi logaritma alarak, soruda verilen yaklaşık logaritma değerlerinden yararlanıp bulursun.
• Bir pH farkının hidrojen iyonu derişiminde, bir desibel farkının ses şiddetinde kaç katlık değişime karşılık geldiğini okursun.

Her adımda aynı çarpan

Varsayımsal bir ilçenin bugünkü nüfusu 50 000 olsun ve her yıl %2 artsın. Bir yıl sonra nüfus 50 000 · 1,02 = 51 000 olur. İkinci yılın artışı 51 000 üzerinden hesaplanır ve nüfus 52 020'ye çıkar; üçüncü yılın sonunda yaklaşık 53 060 kişi vardır. Her yıl eklenen kişi sayısı büyüyor ama oran hiç değişmiyor: her yılbaşında nüfus bir önceki yılın 1,02 katı. Bu gözlem tek satıra sığar:

A(t) = A₀ · (1 + r)ᵗ

A₀ başlangıç miktarı, r ondalık yazılmış yıllık oran, t geçen süredir. Formül, «Üstel fonksiyon» dersindeki aˣ kuralının başlangıç değeriyle çarpılmış hâlidir; t = 0 için A(0) = A₀ verir, tıpkı aˣ grafiğinin (0, 1) noktasından geçmesi gibi. Modelin dayandığı tek varsayım oranın sabit kalmasıdır. Gerçek nüfuslar bu varsayıma uzun süre uymaz; o yüzden model kısa ve orta vadede kullanılır ve sonuç bir kestirim olarak okunur.

Taban yönü belirler

Artış oranı r ise çarpan 1 + r > 1 olur ve fonksiyon artandır. Azalmada çarpan 1 − r'dir ve 0 < r < 1 iken 0 < 1 − r < 1 olduğu için fonksiyon azalandır. Her yıl değerinin %20'sini kaybeden bir makinenin değeri V(t) = V₀ · 0,8ᵗ ile izlenir; muhasebede bu kayba amortisman (değer kaybı) denir. Değer hiçbir zaman sıfıra inmez, sıfıra yaklaşır: L01'deki yatay asimptot burada «makine bedavaya düşmez» anlamına gelir.

Azalmada sık yapılan bir hata, yüzdeleri toplayıp sabit bir miktar düşmektir. 250 000 liralık bir makinenin değeri üç yılda %60 düşmez; her yıl kalanın %20'si gider ve üç yıl sonunda 250 000 · 0,8³ = 128 000 lira kalır. Aynı mantık ardışık değişimlerde de geçerlidir: önce %20 düşüp sonra %20 artan bir değer başlangıca dönmez, 0,8 · 1,2 = 0,96 katına iner.

Bileşik faiz bu modelin adıdır

TYT'deki «Faiz problemleri» dersinde bileşik faizi yıl yıl çarpanlarla hesapladık: anapara P, yıllık oran r ise n yıl sonunda hesapta P · (1 + r)ⁿ birikir. Şimdi aynı ifadeyi bir fonksiyon olarak okuyoruz. Basit faiz her yıl anaparanın aynı yüzdesini eklediği için doğrusal büyür; bileşik faiz ise her yıl bir önceki tutarı aynı sayıyla çarptığı için üsteldir. Kısa vadede ikisi birbirine yakındır, süre uzadıkça üstel olan açık farkla öne geçer. Bu dersin faize kattığı yeni şey, sürenin bilinmeyen olduğu sorulardır: «kaç yılda üç katına çıkar» sorusu artık deneme yanılmayla değil, logaritmayla cevaplanır.

Katlanma aralığı: A₀ · a^(kt)

Bazı süreçlerde çarpan her yıl değil, sabit bir aralıkta uygulanır. Varsayımsal bir bakteri kolonisi her 20 dakikada ikiye katlanıyorsa bir saatte üç kez katlanır ve t saat sonundaki sayı N(t) = N₀ · 2^(3t) olur. Genel biçim A₀ · a^(kt)'dir: a bir aralıktaki çarpan, k birim zamandaki aralık sayısıdır. Üstteki kt'yi kurarken birimlere dikkat: süre saat, aralık dakika ise önce birimi eşitle. 300 bakteri 2 saatte altı kez katlanır ve 300 · 2⁶ = 19 200'e ulaşır.

Yarı ömür

Radyoaktif bir madde kendiliğinden bozunur ve kalan miktar sabit bir sürede yarıya iner. Bu süreye yarı ömür (half-life) denir. Yarı ömrü T olan bir maddeden başlangıçta N₀ varsa t süre sonra kalan miktar

N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T)

ile verilir; burada k = 1/T ve a = 1/2'dir. Yarı ömrü 8 gün olan varsayımsal bir maddeden 640 gram alalım. 8 gün sonra 320, 16 gün sonra 160, 24 gün sonra 80 gram kalır. 24 gün üç yarı ömürdür ve kalan oran (1/2)³ = 1/8'dir. Soruda «bozunan miktar» isteniyorsa kalanı başlangıçtan çıkarmayı unutma: 24 günde 560 gram bozunmuştur.

Ters yönde de çalışır: kalan miktar ve süre biliniyorsa yarı ömür sayılır. 12 günde başlangıcın 1/8'ine inen bir maddede 12 gün üç yarı ömre karşılık gelir ve T = 4 gündür.

Süreyi logaritma bulur

Kancadaki soru (1 + r)ᵗ = 2 denklemidir ve bilinmeyen üstedir. «Üstel ve logaritmik denklemler» dersindeki gibi iki yanın onluk logaritması alınır: t · log(1 + r) = log 2, yani t = log 2 / log(1 + r). Bu, «Logaritmanın özellikleri» dersindeki taban değiştirme kuralının ta kendisidir: t = log_(1 + r)(2).

Sınav log 1,2 gibi değerleri vermez; onları 0,301 (log 2), 0,477 (log 3) ve 0,699 (log 5) gibi verilen yaklaşık değerlerden kurmak gerekir. Çarpanı kesre çevirmek yeter:

• 1,2 = 12/10 olduğundan log 1,2 = log 4 + log 3 − 1 ≈ 0,079
• 1,25 = 5/4 olduğundan log 1,25 = log 5 − log 4 ≈ 0,097
• 0,8 = 8/10 olduğundan log 0,8 = log 8 − 1 ≈ −0,097
• 1,08 = 4 · 27/100 olduğundan log 1,08 = log 4 + log 27 − 2 ≈ 0,033

Yıllık %25 bileşik faizle bir paranın üç katına çıkması için 1,25ᵗ = 3 olmalı ve t = 0,477 / 0,097 ≈ 4,92 bulunur. Para dördüncü yılın sonunda henüz 1,25⁴ ≈ 2,44 katındadır, beşinci yılın sonunda 1,25⁵ ≈ 3,05 katına geçer. Faiz yılsonunda işlediği için cevap tam sayıya yukarı yuvarlanır: en az 5 yıl. Kesirli sonucu aşağı yuvarlamak, hedefe henüz varılmamış bir yılı vermek demektir.

Logaritma değerleri yaklaşık olduğu için sonuç bir tam sayıya çok yakın çıktığında doğrudan kontrol et. %8 ile ikiye katlanmada tablo değerleri 0,301 / 0,033 ≈ 9,1 verir; gerçekten de 1,08⁹ ≈ 1,999 ikinin hemen altında kalır ve ikiye katlanma ancak onuncu yılda gerçekleşir. Hızlı bir sağlama olarak bilinen 70 kuralı işe yarar: ikiye katlanma süresi kabaca 70'in yüzde oranına bölümüdür. %2 için 35 yıl verir ve kancadaki sonuçla örtüşür.

Logaritmik ölçekler: pH ve desibel

Bazı ölçekler bir büyüklüğün kendisini değil onun logaritmasını yazar; böylece milyonlarca kat değişen değerler küçük sayılara sığar. Bir çözeltinin asitliği pH = −log[H⁺] ile verilir; [H⁺], litredeki hidrojen iyonu derişimidir (mol/L). [H⁺] = 10⁻⁴ ise pH 4'tür. pH bir birim azalınca derişim 10 katına çıkar: pH'ı 3 olan çözeltinin derişimi, pH'ı 6 olanınkinin 10³ = 1000 katıdır. Fark çıkarılır, oran ise onun kuvvetidir.

Ses düzeyi desibelle ölçülür: L = 10 · log(I/I₀); I sesin şiddeti, I₀ sabit bir referans şiddettir. Şiddet 10 katına çıkınca düzey 10 dB, 100 katına çıkınca 20 dB artar. Şiddet iki katına çıkınca artış 10 · log 2 ≈ 3 dB'dir. Bu yüzden 70 dB'lik eş iki kaynak birlikte 140 değil, yaklaşık 73 dB verir: logaritmik ölçekte değerler toplanmaz, şiddetler toplanır ve sonra yeniden logaritma alınır.

Modeli kurarken sorulacak sorular

Bir gerçek hayat sorusunu okurken sırayla şunlara bak: Değişim her adımda sabit bir miktar mı, sabit bir oran mı? Oran ise çarpan 1 + r mi, 1 − r mi? Çarpan hangi aralıkta uygulanıyor, üs kaçtır? Sorulan şey bir andaki miktar mı, bilinmeyen süre mi, yoksa oran mı? Süre soruluyorsa logaritma, oran soruluyorsa kök alınır: üç yılda değerinin 0,512'sine inen bir malın yıllık çarpanı ∛0,512 = 0,8'dir.

Modelin bir sınırı daha var. Nüfusu yalnız her yılın sonunda yazarsak sürekli bir eğri yerine 51 000, 52 020, 53 060,4, … diye uzayan bir liste elde ederiz. Yılları 1, 2, 3, … diye numaralayıp n. yılın sonundaki nüfusu aₙ ile gösterirsek aₙ = 50 000 · 1,02ⁿ olur: girdisi yalnız pozitif tam sayılar olan bir fonksiyon. Sıra numarasına bir sayı bağlayan bu yapı, onun genel terimi ve hangi ifadelerin böyle bir liste oluşturamadığı, sonraki modülün dizi kavramıyla açtığı konudur.

Örnek 1 — Amortisman

Soru: Varsayımsal bir atölyede 250 000 liraya alınan bir makine her yıl, o yılın başındaki değerinin %20'sini kaybediyor. Üç yıl sonra makinenin değeri kaç liradır?

• A) değer = 100 000 TL
• B) değer = 160 000 TL
• C) değer = 102 400 TL
• D) değer = 128 000 TL
• E) değer = 150 000 TL

Çözüm: Yıllık çarpan 1 − 0,2 = 0,8'dir: 250 000 · 0,8³ = 250 000 · 0,512 = 128 000 lira. A, %20'yi üç kez toplayıp %60 düşen doğrusal hesaptır; B iki yılın, C dört yılın sonucudur. Cevap: D.

Örnek 2 — Yarı ömür

Soru: Yarı ömrü 8 gün olan varsayımsal bir maddeden 640 gram alınıyor. 40 gün sonra bu maddeden kaç gram kalır?

• A) kalan = 80 g
• B) kalan = 20 g
• C) kalan = 128 g
• D) kalan = 40 g
• E) kalan = 10 g

Çözüm: 40 gün 40/8 = 5 yarı ömürdür; kalan 640 · (1/2)⁵ = 640/32 = 20 gram. C, 640'ı yarı ömür sayısı olan 5'e bölen hatadır; A üç, D dört yarı ömrün sonucudur. Cevap: B.

Örnek 3 — Bilinmeyen süre

Soru: Yıllık %25 bileşik faizle yatırılan bir para, en az kaç tam yıl sonra başlangıçtakinin üç katını aşar? (log 2 ≈ 0,301; log 3 ≈ 0,477; log 5 ≈ 0,699)

• A) süre = 4 yıl
• B) süre = 8 yıl
• C) süre = 12 yıl
• D) süre = 6 yıl
• E) süre = 5 yıl

Çözüm: 1,25ᵗ ≥ 3 için t ≥ log 3 / log 1,25. log 1,25 = log 5 − log 4 ≈ 0,097 ve t ≥ 0,477 / 0,097 ≈ 4,92. Dört yılda para 1,25⁴ ≈ 2,44 katındadır, beş yılda 3,05 katına çıkar. A aşağı yuvarlamadır; B, %25 basit faizle faizin anaparanın iki katı olduğu süredir. Cevap: E.

Örnek 4 — İki kaynak, kaç desibel?

Soru: Tek başına çalıştığında 70 dB ses düzeyi oluşturan bir makinenin yanına aynı şiddette ikinci bir makine konuyor. Ses düzeyi L = 10 · log(I/I₀) olduğuna göre iki makine birlikte yaklaşık kaç desibellik ses oluşturur? (log 2 ≈ 0,301)

• A) düzey ≈ 73 dB
• B) düzey = 140 dB
• C) düzey ≈ 76 dB
• D) düzey = 80 dB
• E) düzey = 70 dB

Çözüm: Şiddet iki katına çıkar: yeni düzey 10 · log(2I/I₀) = 10 · log 2 + 10 · log(I/I₀) ≈ 3,01 + 70 ≈ 73 dB. B desibelleri toplar; C dört eş kaynağın, D on eş kaynağın düzeyidir. Cevap: A.

• Yüzdeleri toplamak. %2 artışın elli yılı %100 değil, 1,02⁵⁰ ≈ 2,69 kattır; %20 kaybın üç yılı %60 değil, 0,8³ = 0,512 kat kalmaktır.
• Azalmada çarpanı r almak. %20 değer kaybında çarpan 0,2 değil 0,8'dir; 0,2ᵗ değerin %80'inin her yıl gittiğini söyler.
• Süreyi aşağı yuvarlamak. 4,92 çıkan süre «en az kaç tam yıl» sorusunda 5'tir; dördüncü yılın sonunda hedefe henüz varılmamıştır.
• Yarı ömür sayısıyla bölmek. Beş yarı ömür başlangıcı 5'e değil 2⁵ = 32'ye böler.
• Logaritmik ölçekte değerleri toplamak. İki eş 70 dB kaynak 140 dB değil, yaklaşık 73 dB verir; pH farkı 3 ise derişim oranı 3 değil 1000'dir.