Trigonometrik fonksiyonların grafikleri ve periyot

Gökçe periyot sorularını hızlı çözdüğünü düşünüyor: katsayıya bak, 2π'yi ona böl. Denemede f(x) = sin²x geliyor; x'in önünde katsayı yok, o hâlde periyot 2π. İşaretliyor. Cevap anahtarında π yazıyor. Kontrol için x yerine x + π koyuyor: sin(x + π) = −sin x, karesi alınınca eksi işaret kayboluyor ve değer aynı çıkıyor. Yani grafik 2π'yi beklemeden, yarım turda bir kendini tekrar ediyor. Kare almak sinüsün eksi kalan yaylarını yukarı taşımış, eğrinin biçimini değiştirmişti. Katsayı kuralı doğruydu ama yalnız a·sin(bx + c) + d kalıbındaki fonksiyonlar için. Bu derste sinüs, kosinüs ve tanjantın grafiklerini noktalardan kuruyor, periyodu tanımdan sınıyor ve kalıba uymayan ifadeleri kalıba getirmeyi öğreniyoruz.

• y = sin x, y = cos x ve y = tan x grafiklerini anahtar noktalardan kurar, görüntü kümesini, simetrisini ve asimptotlarını okursun.
• y = a·sin(bx + c) + d ve y = a·cos(bx + c) + d fonksiyonlarında periyodu ve genliği bulur, dalganın tavanını ve tabanını hesaplarsın.
• sin²x, |sin x| ve iki periyodik fonksiyonun toplamı gibi ifadelerin esas periyodunu dönüştürerek ya da EKOK ile hesaplarsın.
• Grafikten a, b ve d katsayılarını okur, bir denklemin aralıktaki kök sayısını iki grafiğin kesişim noktalarıyla sayarsın.

Birim çemberden değer tablosuna

Birim çemberde dönen bir noktanın ordinatı sinüs, apsisi kosinüstür. Nokta 0'dan 2π'ye bir tur atarken bu iki sayının nasıl değiştiğini bir tabloya dökersek grafik kendiliğinden ortaya çıkar. Yatay eksene açıyı radyanla, dikey eksene değeri yazarız.

Çizim için beş anahtar nokta yeter. Sinüste bunlar (0, 0), (π/2, 1), (π, 0), (3π/2, −1) ve (2π, 0) noktalarıdır: eğri orijinden çıkar, π/2'de tepeye varır, π'de ekseni keser, 3π/2'de dibe iner ve 2π'de eksene döner. Ara değerler eğrinin düz bir zikzak olmadığını gösterir: π/6'da yükseklik zaten 1/2'ye ulaşmıştır, yani eğri eksene yakınken dik, tepeye yakınken yataya yakındır. Kosinüsün beş noktası (0, 1), (π/2, 0), (π, −1), (3π/2, 0) ve (2π, 1) olur; eğri tepeden başlar.

Görüntü kümesi ve simetri

Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları −1 ile 1 arasında kaldığı için iki fonksiyonun da görüntü kümesi [−1, 1] aralığıdır. Tanım kümesi bütün gerçek sayılardır, çünkü her açıya çemberde bir nokta karşılık gelir.

M12'de «Tek ve çift fonksiyonlar» başlığıyla kurduğumuz tanımlar bu grafiklerde gözle görülür. sin(−x) = −sin x olduğundan sinüs tektir ve grafiği orijine göre simetriktir: (π/6, 1/2) noktasının eşi (−π/6, −1/2) noktasıdır. cos(−x) = cos x olduğundan kosinüs çifttir ve grafiği y eksenine göre simetriktir.

Sinüs eğrisinin bir simetrisi daha var ve bu kez ekseni dikey bir doğrudur. İlk yayın tepesi x = π/2'dedir; bu doğrudan sola ve sağa eşit uzaklıktaki iki açı aynı yüksekliği verir. Tablodaki π/6 ile 5π/6 bunun örneğidir: ikisi de π/2'den π/3 uzaktadır ve ikisinin de sinüsü 1/2'dir. Cebirsel karşılığı sin(π − x) = sin x eşitliğidir. Derece diliyle söylersek 40° ve 140°, ya da 70° ve 110° gibi toplamı 180° olan her açı çifti yayın üzerinde aynı yükseklikte durur. Sinüs teoremiyle bir üçgen açısı ararken karşımıza çıkan iki aday, dar açı ve onun 180°'den farkı olan geniş açı, eğride bu dikey aynanın iki yanındaki iki noktadır. Kosinüs eğrisinde böyle bir ayna yoktur: x ile π − x zıt işaretli değer verir, bu yüzden bir üçgenin kosinüsü açıyı tek başına belirler.

İki eğri aslında aynı dalganın iki konumudur: cos x = sin(x + π/2) eşitliği, «Grafik dönüşümleri» dersindeki yatay öteleme diliyle, kosinüs grafiğinin sinüs grafiğinin π/2 birim sola kaydırılmış hâli olduğunu söyler.

Periyot: grafiğin kendini tekrarlaması

Tablonun son sütunu ilk sütunla aynıdır. Nokta bir turu tamamlayıp başladığı yere döndüğü için 2π'den sonra değerler aynı sırayla yeniden gelir. Bu davranışın adı periyottur: tanım kümesindeki her x için f(x + T) = f(x) eşitliğini sağlayan pozitif bir T sayısı varsa f periyodiktir ve böyle sayıların en küçüğüne esas periyot denir. Sinüs ve kosinüsün esas periyodu 2π'dir. 4π ya da 6π da eşitliği sağlar, ama «periyot kaçtır» sorusu her zaman en küçüğünü ister.

Tanjantta durum farklıdır. x yerine x + π yazılınca hem sinüs hem kosinüs işaret değiştirir ve oranları aynı kalır; bu yüzden tan(x + π) = tan x olur. Trigonometrik denklemler dersinde tanjant köklerinin yarım turda bir yinelendiğini görmüştük; o gözlem grafikte π periyoduna karşılık gelir. Kotanjantın esas periyodu da π'dir.

Tanjant ve kotanjant grafikleri

Tanjant, sinüsün kosinüse bölümüdür; bu yüzden kosinüsün sıfır olduğu x = π/2 + kπ noktalarında tanjant tanımsızdır. Bu doğrular grafiğin dikey asimptotlarıdır: x, π/2'ye soldan yaklaşırken tanjant sınırsız büyür, sağdan yaklaşırken sınırsız küçülür. İki asimptot arasındaki her parça (−π/4, −1), (0, 0) ve (π/4, 1) noktalarının benzerlerinden geçerek artar ve bütün gerçek sayıları tarar. Bu nedenle tanjantın görüntü kümesi R'dir; sinüs ve kosinüs gibi bir tavanı yoktur. Tanjant tek fonksiyondur. Kotanjantın asimptotları sinüsün sıfırlandığı x = kπ doğrularıdır ve her parçada azalır.

Katsayıların etkisi: y = a·sin(bx + c) + d

Grafik dönüşümlerini bu kalıba uygulayalım. d, M12'de gördüğümüz dikey ötelemedir: dalga d birim yukarı kayar, orta çizgisi y = d olur. a dikey esnemedir: bütün yükseklikler a ile çarpılır. |a| sayısına genlik denir; a negatifse buna x eksenine göre yansıma da eklenir. Böylece en büyük değer d + |a|, en küçük değer d − |a| ve görüntü kümesi [d − |a|, d + |a|] olur.

b ise girdiye dokunur ve yatay esneme yapar. bx ifadesinin bir tam tur, yani 2π ilerlemesi için x'in 2π/|b| kadar ilerlemesi yeter. Buradan T = 2π/|b| bulunur; tanjant ve kotanjantta T = π/|b| olur. y = 3·sin 2x + 1 için beş anahtar nokta (0, 1), (π/4, 4), (π/2, 1), (3π/4, −2) ve (π, 1) noktalarıdır: dalga [0, π] aralığında tam bir tur atar, 4 ile −2 arasında salınır.

c yalnız yatay ötelemedir ve periyodu değiştirmez. y = 3·sin(2x − π/3) + 1 yazılırsa önce 2 parantezine alınır: 2(x − π/6). Grafik, bir önceki dalganın π/6 birim sağa kaymış hâlidir; periyodu yine π, genliği 3, en büyük değeri 4, en küçük değeri −2'dir. c'yi doğrudan öteleme miktarı sanmak, yani π/3 kadar kaydırmak, b'yi parantez dışına almayı unutmaktır.

Kalıba uymayan ifadeler: kare ve mutlak değer

Kancadaki sin²x kalıba uymaz, ama iki kat açı formülleri onu kalıba sokar: cos 2x = 1 − 2sin²x eşitliği düzenlenince sinüsün karesi, 1 − cos 2x farkının yarısı olarak yazılır. Sağ tarafta b = 2 olduğundan periyot 2π/2 = π'dir; dalga 0 ile 1 arasında salınır. cos²x için de aynı yol (1 + cos 2x)/2 ifadesini ve π periyodunu verir. sin x · cos x çarpımı da iki kat açı formülüyle sin 2x'in yarısına döner; periyodu π'dir. Kuvvetin tek olduğu sin³x ise eksi işaretini korur ve periyodu 2π'de kalır.

|sin x| grafiği, M12'de gördüğümüz mutlak değerle katlamadır: π ile 2π arasındaki eksi yay x ekseni boyunca yukarı çevrilir ve ilk yayın kopyası olur. Grafik artık her π'de tekrar eder. |cos x| için de periyot π'dir; tanjant zaten π periyotlu olduğundan |tan x| aynı periyodu korur.

İki periyodik fonksiyonun toplamı

f(x) = sin 2x + cos 3x olsun. İlk terimin periyodu π, ikincinin 2π/3'tür. Toplamın tekrar edebilmesi için iki terimin aynı anda başa dönmesi gerekir; bu, TYT'deki «ilk kez birlikte» sorularının aynısıdır ve EKOK ile çözülür. Periyotları aynı birimle yazalım: π = 3 · (π/3) ve 2π/3 = 2 · (π/3). 3 ile 2'nin EKOK'u 6 olduğundan ortak periyot 6 · (π/3) = 2π çıkar. Kesirli periyotlarda kısa yol, payların EKOK'unu paydaların EBOB'una bölmektir.

EKOK her zaman bir periyot verir, fakat en küçüğü olmayabilir. sin²x + cos²x toplamında iki terimin periyodu da π'dir, ama toplam sabit 1'dir ve her pozitif sayı onun bir periyodudur; en küçük pozitif periyot yoktur. Terimler birbirini tamamlıyorsa önce ifadeyi sadeleştirmek, sonra periyoda bakmak gerekir.

Grafikten katsayı okumak

y = a·sin bx + d biçiminde bir grafik verildiğinde önce dalganın en yüksek değeri M ve en düşük değeri m okunur. Orta çizgi d = (M + m)/2, genlik |a| = (M − m)/2 olur. Ardışık iki tepe arasındaki yatay uzaklık periyottur; tepe ile ondan sonraki ilk dip arasında ise yarım periyot vardır. Örneğin en büyük değeri 5, en küçük değeri −1 olan ve tepeleri π/4 ile 5π/4'te bulunan bir dalgada d = 2, |a| = 3 ve T = π çıkar; b = 2π/T = 2 olur. Grafik x = 0'da orta çizgiden yukarı doğru çıkıyorsa a pozitiftir, aşağı iniyorsa negatiftir.

Kesişimle kök saymak

Trigonometrik denklemler dersinde sinüsü 1/2 olan açıları çemberden topladık. Aynı soru grafikte y = sin x eğrisi ile y = 1/2 doğrusunun kesişimi olarak da sorulabilir: doğru her periyotta eğriyi iki kez keser, bu yüzden [0, 4π) gibi iki turluk bir aralıkta dört kök vardır. Grafik yöntemi asıl gücünü cebirle çözülemeyen denklemlerde gösterir. sin x = x/(3π) denkleminde sağ taraf, (−3π, −1) ve (3π, 1) noktalarından geçen bir doğrudur. |x| > 3π iken doğru [−1, 1] bandının dışında kalır ve kesişim olmaz. Pozitif tarafta doğru, (0, π) yayını orijinde ve bir kez daha keser; (2π, 3π) yayının tepesi 1'e çıkarken doğru orada 5/6 yüksekliktedir, bu yay da iki kez kesilir. Sinüs eksi olan (π, 2π) aralığında doğru pozitif kaldığı için kesişim yoktur. Pozitif tarafta üç, simetriden negatif tarafta üç kök ve orijin birlikte yedi kök verir.

Soru kökleri ve sonraki adım

Bu dersin soruları esas periyodu, genliği, görüntü kümesini, dalganın tavanı ile tabanını, asimptot denklemini, grafikten katsayıları ve bir aralıktaki kesişim sayısını ister. Kök sayarken yatay bir doğrunun sinüs eğrisine her periyotta yeniden değdiğini gördük. Bu, sinüsün birebir olmadığını söylemenin grafik yoludur ve bir sonraki adımın engelini oluşturur: değerden açıya geri dönmek. «Ters fonksiyon» dersinde x²'yi tek bir kola kısıtlayarak tersini kurmuştuk. Ters trigonometrik fonksiyonlar dersinde aynı kısıtlamayı sinüs, kosinüs ve tanjanta uygulayacağız; hangi aralıkta sinüsün her değeri yalnız bir kez aldığını ve kosinüs için neden başka bir aralık seçildiğini orada göreceğiz.

Örnek 1 — Periyot ve en küçük değer

Soru: f(x) = 2 − 3·sin(πx/4 + 1) fonksiyonunun esas periyodu T, en küçük değeri m'dir. T ve m hangisidir?

• A) T = 8π, m = −1
• B) T = 8, m = −5
• C) T = 8, m = −1
• D) T = 4, m = −1
• E) T = 8, m = 5

Çözüm: x'in katsayısı π/4 olduğundan T = 2π / (π/4) = 8 bulunur; π'ler sadeleşir, periyot bir tam sayıdır. Genlik |−3| = 3, orta çizgi 2'dir; en küçük değer 2 − 3 = −1, en büyük değer 2 + 3 = 5. A seçeneği π'yi sadeleştirmeyi unutur, E seçeneği en büyük değeri yazar, B seçeneği en küçük değeri −3 − 2 diye kurup d'nin işaretini çevirir. Cevap: C.

Örnek 2 — Kareyi iki kat açıya çevirmek

Soru: f(x) = cos²(3x) fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

• A) T = 2π/3
• B) T = π/3
• C) T = π
• D) T = π/6
• E) T = 2π

Çözüm: cos²u = (1 + cos 2u)/2 yazılır; u = 3x için f(x) = (1 + cos 6x)/2 olur. Kalıpta b = 6 olduğundan periyot 2π/6 = π/3'tür. A seçeneği kareyi görmeyip yalnız cos 3x'in periyodunu yazar; D seçeneği yarıya bölmeyi iki kez uygular. Cevap: B.

Örnek 3 — Toplamın periyodu

Soru: f(x) = sin(3x/2) + cos(2x/5) fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

• A) T = 5π
• B) T = 4π/3
• C) T = 60π
• D) T = 10π
• E) T = 20π

Çözüm: İlk terimin periyodu 2π / (3/2) = 4π/3, ikincinin 2π / (2/5) = 5π'dir. Aynı birimle yazılınca 4 · (π/3) ve 15 · (π/3) olur; 4 ile 15'in EKOK'u 60 olduğundan ortak periyot 60 · (π/3) = 20π çıkar. Kısa yoldan: payların EKOK'u EKOK(4, 5) = 20, paydaların EBOB'u EBOB(3, 1) = 1. Sayısal tarama da 20π'den küçük bir periyot bulmaz. C seçeneği π/3 birimini geri çevirmeyi unutur; A ve B yalnız bir terime bakar. Cevap: E.

Örnek 4 — Grafikten katsayılar

Soru: Jale'nin defterindeki grafik f(x) = a·sin bx + d fonksiyonuna aittir; a ile b pozitiftir. Grafik y eksenini (0, 2) noktasında keser, 5 ile −1 arasında salınır ve pozitif x'ler arasında en büyük değerini ilk kez x = π/6'da alır. a + b + d toplamı kaçtır?

• A) a + b + d = 8
• B) a + b + d = 11
• C) a + b + d = 17
• D) a + b + d = 10
• E) a + b + d = 7

Çözüm: Orta çizgi d = (5 + (−1))/2 = 2 ve genlik a = (5 − (−1))/2 = 3'tür; (0, 2) noktası da orta çizgidedir. sin bx ilk kez bx = π/2 iken 1 olur; bu x = π/6'ya denk geldiğinden b · π/6 = π/2 ve b = 3. Toplam 3 + 3 + 2 = 8. B seçeneği orijinden tepeye kadar olan uzaklığı yarım periyot sanar ve b = 6 bulur; D seçeneği genlik yerine en büyük değeri, 5'i alır. Cevap: A.

• Periyodu x'in önündeki katsayıyla çarpmak. sin 4x'in periyodu 2π · 4 değil 2π/4'tür; b büyüdükçe dalga sıkışır ve periyot küçülür.
• Kare ya da mutlak değeri görmemek. sin²x, cos²x ve |sin x| için periyot π'dir; kalıba uymayan ifade önce iki kat açıyla ya da katlamayla yorumlanır.
• c'yi öteleme miktarı sanmak. sin(2x − π/3) grafiği π/3 değil π/6 sağa kayar; b parantez dışına alınmadan öteleme okunmaz. c periyodu hiç değiştirmez.
• Toplamda periyotları toplamak ya da çarpmak. sin(x/4) + cos(x/6) toplamında 8π + 12π ya da 8π · 12π yazılmaz; aranan EKOK, yani 24π'dir.
• EKOK'u her zaman esas periyot sanmak. Terimler sadeleşiyorsa daha küçük bir periyot çıkabilir; sin²x + cos²x toplamı sabit 1'dir ve en küçük pozitif periyodu yoktur; sadeleşmeyi görmeden EKOK'a geçmek yanlış sayıya götürür.
• Tanjantın periyodunu 2π almak. tan ve cot için temel periyot π, kalıpta π/|b|'dir; asimptotlar da bu aralıkla yinelenir.