Sinüs ve kosinüs teoremi

Ekin deneme sınavında bir üçgenle karşılaşıyor: iki kenar 5 ve 8 birim, aralarındaki açı 60°, üçüncü kenar soruluyor. Eli alışkanlıkla kareleri topluyor, 25 + 64 = 89 buluyor ve √89'u seçeneklerde arıyor. Yok. Seçeneklerde 7 var, 9 var, 2√19 var. Sonradan fark ediyor ki kareleri toplamak yalnız dik açının karşısındaki kenarı verir; burada açı 60° ve karşıdaki kenar Pisagor'un söylediğinden kısa olmak zorunda. Doğru cevap 7. Aradaki 89 − 49 = 40 farkı, açının 90°'den ne kadar uzak olduğunu ölçen bir düzeltme terimidir. Bu derste o terimi kuruyor, her üçgende kenarlarla açılar arasında gidip gelmeyi sağlayan iki teoremi öğreniyor ve hangi veride hangisinin işe yaradığını ayırıyoruz.

• İki kenarı ve aradaki açısı bilinen üçgende üçüncü kenarı, üç kenarı bilinen üçgende istenen açının kosinüsünü kosinüs teoremiyle hesaplarsın.
• İki açı ve bir kenardan kalan kenarları ve çevrel çember yarıçapını sinüs teoremiyle (a/sin A = 2R) bulursun.
• İki kenar ve birinin karşısındaki açı verildiğinde kaç üçgen kurulabildiğini sinüs değeriyle ve açı toplamıyla ayırt edersin.
• Alan formülü ½ · b · c · sin A ile iki teoremi birleştirerek kenar toplamı, alan ve yarıçap sorularını çözersin.

Gösterim ve Pisagor'un sınırı

ABC üçgeninde A köşesinin karşısındaki BC kenarı a, B'nin karşısındaki AC kenarı b, C'nin karşısındaki AB kenarı c ile gösterilir; bu adlandırmayı «Üçgende açı-kenar bağıntıları ve eşitsizlik» dersinde kullanmıştık. «Dik üçgen ve Pisagor teoremi» dersindeki a² = b² + c² eşitliği yalnız A = 90° iken geçerlidir. Kancadaki üçgende A = 60° olduğundan BC kenarı √89'dan kısadır, çünkü iki kenar arasındaki açı daraldıkça uçları birbirine yaklaşır. Açı 90°'yi aştığında ise karşı kenar √89'dan uzun olur. Bu bölümün işi, açının bu etkisini tek bir terimle ölçmektir.

Kosinüs teoremi

A köşesini orijine, AB kenarını x ekseninin pozitif yönüne yerleştirelim. Bu durumda B noktası (c, 0) olur. AC kenarı x ekseniyle A açısı yaptığı ve uzunluğu b olduğu için C noktası, birim çember dersindeki tanımla (b · cos A, b · sin A) konumundadır; A geniş olsa da bu yazılış değişmez, yalnız apsis negatif çıkar. BC uzunluğunun karesi iki noktanın koordinat farklarından yazılır:

a² = (b · cos A − c)² + (b · sin A)² = b² · (cos²A + sin²A) − 2bc · cos A + c².

sin²A + cos²A = 1 olduğundan sonuç sadeleşir:

a² = b² + c² − 2bc · cos A.

Bu, kosinüs teoremidir (law of cosines). Aynı eşitlik öteki köşeler için de yazılır: b² = a² + c² − 2ac · cos B ve c² = a² + b² − 2ab · cos C. Formülde dikkat edilecek nokta, sol taraftaki kenarın sağ taraftaki açının karşısında olmasıdır; diğer iki kenar o açının kollarıdır.

A = 90° iken cos A = 0'dır ve düzeltme terimi kaybolur: geriye Pisagor teoremi kalır. Yani Pisagor, kosinüs teoreminin özel bir hâlidir. Kancadaki üçgende cos 60° = 1/2 olduğundan a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · (1/2) = 49 ve a = 7 bulunur. Açı geniş olduğunda kosinüs negatiftir ve eksi işaretiyle çarpılınca terim artıya döner. Kenarları 4 ve 6, aralarındaki açı 120° olan üçgende cos 120° = −1/2 alınır; a² = 16 + 36 + 24 = 76, a = 2√19 olur. Bu işaret adımı, dersin en sık kaybedilen puanıdır.

Üç kenardan açıyı bulmak

Kosinüs teoremi ters çevrilince kenarlardan açı okunur:

cos A = (b² + c² − a²) / (2bc).

Kenarları 5, 7 ve 8 olan üçgende 7 birimlik kenarın karşısındaki açı için cos = (25 + 64 − 49)/80 = 1/2 çıkar; bu açı 60°'dir. Pay, açının türünü de söyler. b² + c² > a² ise kosinüs pozitif ve A dar; eşitse A dik; b² + c² < a² ise kosinüs negatif ve A geniştir. «Üçgende açı-kenar bağıntıları ve eşitsizlik» dersinde kullandığımız tür denetimi bu payın işaretinden başka bir şey değildir; kosinüs teoremi ona bir de açının ölçüsünü ekler. Kenarları 4, 5, 6 olan üçgenin en büyük açısının kosinüsü (16 + 25 − 36)/40 = 1/8'dir; pozitif olduğu için bu açı yaklaşık 82,8° olan bir dar açıdır.

Kosinüsle açı bulmanın bir üstünlüğü vardır: 0° ile 180° arasında her kosinüs değerine tek bir açı karşılık gelir. Kosinüs bu aralıkta sürekli azalır, artıdan eksiye geçer ve hiçbir değeri iki kez almaz. Bu yüzden üç kenar verilmişse açı her zaman kosinüsle aranır.

Sinüs teoremi

«Üçgende alan» dersindeki formül bir üçgenin alanını üç ayrı biçimde yazmaya izin verir: ½ · b · c · sin A, ½ · a · c · sin B ve ½ · a · b · sin C. Üç ifade de aynı alana eşit olduğundan her biri ½ · a · b · c çarpımına bölünürse

sin A / a = sin B / b = sin C / c

kalır. Kesirler ters çevrilince her kenarın karşı açısının sinüsüne bölümü aynı sayıyı verir; a / sin A oranı b'nin ve c'nin oranlarıyla eşittir. Bu, sinüs teoremidir (law of sines). Her kenar, karşısındaki açının sinüsüyle orantılıdır.

Bu ortak oranın geometrik bir anlamı da vardır. Üçgenin üç köşesinden geçen çembere çevrel çember denir; yarıçapı R olsun. B köşesinden çemberin merkezinden geçen BD çapını çizelim. A ve D açıları aynı BC yayını gördüğü için eşittir (A geniş ise D = 180° − A olur, sinüsleri yine eşittir). Çapı gören çevre açı dik olduğundan BCD üçgeninde C açısı 90°'dir ve |BC| = |BD| · sin D yazılır. Sonuç:

a / sin A = 2R, aynı biçimde b = 2R · sin B ve c = 2R · sin C.

A = 30° ve a = 6 olan bir üçgende 2R = 6 / (1/2) = 12, yani R = 6 bulunur. Oranın R'ye değil 2R'ye eşit olduğunu karıştırmamak gerekir.

Kenar oranı, sinüs oranıdır

Sinüs teoremi kenarların açılarla değil, açıların sinüsleriyle orantılı olduğunu söyler. Açıları 30°, 60° ve 90° olan üçgende açılar 1 : 2 : 3 oranındadır; kenarlar ise sin 30°, sin 60° ve sin 90° değerleriyle orantılı uzar ve oran 1 : √3 : 2 olur. Öte yandan sıralama korunur. Bir üçgende A > B ise sin A > sin B'dir, bu da a > b demektir. Büyük açının karşısında büyük kenar bulunduğunu daha önce sezgiyle kabul etmiştik; sinüs teoremi bu sıralamanın hesaptaki dayanağıdır.

Hangi veride hangi teorem?

Açılardan biri toplam olarak verilmişse «İşaret inceleme ve indirgeme» dersindeki indirgeme işe girer: üçgende A + B = 180° − C olduğundan A + B toplamının sinüsü C'ninkine eşit kalır, kosinüsü ise işaret değiştirir. 75° ya da 105° gibi açıların sinüsü gerektiğinde «Toplam-fark formülleri» dersindeki açılım kullanılır ve 75°'nin sinüsü (√6 + √2)/4 çıkar.

İki kenar ve karşı açı: belirsiz durum

A açısı, karşısındaki a kenarı ve bir b kenarı verildiğinde sinüs teoremi sin B = b · sin A / a değerini verir. Bu değer 1'den büyükse böyle bir üçgen yoktur; tam 1 ise B = 90° olan tek bir üçgen vardır. 1'den küçükse 0° ile 180° arasında sinüsü bu değere eşit iki açı bulunur: dar bir β ve onun bütünleri 180° − β. Önceki derste sin x = a denkleminin her turda verdiği iki kökün bu konudaki yansıması budur. İkinci aday ancak A + (180° − β) < 180° ise, yani A < β ise üçgene sığar.

A = 30°, a = 5, b = 8 alalım. sin B = 8 · (1/2) / 5 = 4/5 bulunur; B yaklaşık 53,13° ya da 126,87° olabilir ve ikisi de 30° ile toplanınca 180°'den küçük kalır. İki farklı üçgen vardır. Üçüncü kenarı kosinüs teoremi doğrudan verir: 25 = 64 + c² − 8√3 · c denkleminden c² − 8√3 · c + 39 = 0, buradan c = 4√3 + 3 ya da c = 4√3 − 3 çıkar; ikisi de pozitiftir. A dar açıyken kural kısaca şöyledir: a ≥ b ise B açısı A'yı geçemez ve dar kalır, tek üçgen vardır; a < b ve sin B < 1 ise iki üçgen kurulur. A geniş verilmişse üçgendeki tek geniş açı odur, bu yüzden üçgen ancak a > b iken ve tek biçimde kurulur.

Alan ve yarıçap birlikte

Sinüs teoreminden sin A = a / (2R) yazılıp alan formülüne konursa

Alan = ½ · b · c · a / (2R) = a · b · c / (4R)

bulunur. Kenarları 5, 7, 8 olan üçgende 60°'lik açının iki kolu 5 ve 8 olduğundan alan ½ · 5 · 8 · (√3/2) = 10√3'tür. Aynı üçgende 2R = 7 / (√3/2), yani R = 7√3/3 çıkar; a · b · c / (4R) = 280 / (28/√3) = 10√3 ile alan doğrulanır. Sorular bu iki teoremi alan bilgisiyle sıkça bağlar: alan bir açının iki kolunun çarpımını verir, kosinüs teoremi de aynı kolların kareleri toplamını üçüncü kenara bağlar.

Sonraki adım

Bu derste sinüs ve kosinüsü yalnız 0° ile 180° arasında, bir üçgenin açısı olarak kullandık. Bir sonraki derste aynı oranları bütün gerçek sayılarda tanımlı birer fonksiyon olarak çiziyoruz: y = sin x eğrisinin hangi noktalardan geçtiğini, dalganın ne kadar yükselip alçaldığını ve kaç birimde bir kendini yinelediğini, yani periyodunu okuyacağız. Eğrinin 90°'ye göre simetrisi, bu derste aynı sinüsü veren iki açının neden hep 180°'ye tamamlandığını da gözle gösterecek.

Örnek 1 — Üç kenardan en büyük açı

Soru: Kenar uzunlukları 7, 8 ve 13 birim olan bir üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?

• A) en büyük açı 90°
• B) en büyük açı 150°
• C) en büyük açı 120°
• D) en büyük açı 135°
• E) en büyük açı 60°

Çözüm: En büyük açı en uzun kenarın, yani 13'ün karşısındadır. Kosinüsü (49 + 64 − 169)/(2 · 7 · 8) = −56/112 = −1/2 olur. Kosinüs negatif olduğu için açı geniştir ve 0° ile 180° arasında kosinüsü −1/2 olan tek açı 120°'dir. E seçeneği işaretin eksi olduğunu gözden kaçırıp kosinüsü 1/2 sanan öğrencinin cevabıdır; A seçeneği ise kareleri Pisagor gibi karşılaştırmadan gelen tahmindir. Cevap: C.

Örnek 2 — İki açı ve bir kenar

Soru: ABC üçgeninde m(B) = 45°, m(C) = 75° ve |BC| = 6 birimdir. |AC| kaç birimdir?

• A) |AC| = 3√2
• B) |AC| = 2√6
• C) |AC| = 2√3
• D) |AC| = 6√2
• E) |AC| = 3√6

Çözüm: Üçüncü açı A = 180° − 45° − 75° = 60°'dir. |BC| = a, A'nın karşısındadır; |AC| = b ise B'nin karşısındadır. Sinüs teoremiyle b = a · sin B / sin A = 6 · (√2/2) / (√3/2) = 6√2/√3 = 2√6. Aynı orandan 2R = 6/(√3/2) = 4√3 ve R = 2√3 çıkar; C seçeneği bu yarıçaptır, kenar değildir. E seçeneği sinüsleri ters orana koymaktan (b = a · sin A / sin B) gelir. Cevap: B.

Örnek 3 — Kaç üçgen kurulur?

Soru: ABC üçgeninde m(A) = 30°, |BC| = 2 ve |AC| = 2√3 birimdir. |AB| uzunluğunun alabileceği bütün değerler hangisidir?

• A) |AB| ∈ {4}
• B) |AB| ∈ {2}
• C) |AB| ∈ {2, 6}
• D) |AB| ∈ {2, 4}
• E) |AB| ∈ {4, 2√3}

Çözüm: Sinüs teoremiyle sin B = 2√3 · (1/2) / 2 = √3/2; B = 60° ya da B = 120° olabilir ve ikisi de 30° ile toplanınca 180°'yi aşmaz. Uzunlukları kosinüs teoremi verir: 4 = 12 + c² − 2 · 2√3 · c · (√3/2), yani c² − 6c + 8 = 0; c = 2 ya da c = 4. B = 60° iken C = 90° olur ve c hipotenüs olarak 4'tür; B = 120° iken C = 30° olur, üçgen ikizkenardır ve c = a = 2'dir. A seçeneği yalnız dar B'yi alan, B seçeneği yalnız geniş B'yi alan öğrencinin cevabıdır. Cevap: D.

Örnek 4 — Alan ve kosinüs teoremi birlikte

Soru: ABC üçgeninde m(A) = 60°, |BC| = √21 birim ve üçgenin alanı 5√3 birimkaredir. |AB| + |AC| toplamı kaçtır?

• A) |AB| + |AC| = √41
• B) |AB| + |AC| = √61
• C) |AB| + |AC| = 7
• D) |AB| + |AC| = 2√21
• E) |AB| + |AC| = 9

Çözüm: Alan ½ · b · c · sin 60° = (√3/4) · bc = 5√3 olduğundan bc = 20'dir. Kosinüs teoreminde cos 60° = 1/2 alınınca 21 = b² + c² − bc, buradan b² + c² = 41 çıkar. (b + c)² = b² + c² + 2bc = 41 + 40 = 81 ve b + c = 9. Kenarlar 4 ile 5'tir; 16 + 25 − 20 = 21 denetimi tutar. A seçeneği kosinüs teoremindeki eksi işaretini artı alan öğrenciden gelir: o zaman b² + c² = 1 ve (b + c)² = 41 olur. B seçeneği bc terimini hiç yazmayıp b² + c² = 21 alan, yani Pisagor'da kalan hatadır. Cevap: E.

• Kenar ile açıyı yanlış eşlemek. a² = b² + c² − 2bc · cos A formülünde sol taraftaki kenar, cos içindeki açının karşısındadır; A'nın kolları olan b ve c'den birini sola yazmak bütün hesabı kaydırır.
• Geniş açıda işareti kaybetmek. cos 120° = −1/2 ile eksi işaret çarpılınca terim toplanır; kenarları 4 ve 6, arası 120° olan üçgende 76'nın kökü yerine 28'in kökünü yazan öğrenci bu adımı atlamıştır.
• Kenar oranını açı oranı sanmak. Açıları 1 : 2 : 3 oranındaki üçgenin kenarları 1 : 2 : 3 değil 1 : √3 : 2'dir; sinüs teoremi kenarları açıların sinüsleriyle orantılar.
• 2R yerine R yazmak. a / sin A çevrel çemberin çapına eşittir; yarıçap istenen soruda bu oranı ikiye bölmeyi unutan öğrenci iki katı cevabı işaretler.
• Sinüsten bulunan açıda tek aday görmek ya da her zaman iki aday saymak. sin B = k (0 < k < 1) iki açı verir, ama 180° − β ancak A ile toplamı 180°'den küçükse üçgene sığar; A dar ve a ≥ b ise tek üçgen vardır.
• Üç kenar varken açıyı sinüsle aramak. Sinüs geniş açıyı dar bütünleriyle aynı gösterir; üç kenardan açı istendiğinde kosinüs teoremi tek ve doğru açıyı verir.