Trigonometrik denklemler

Yiğit deneme kitabında «0° ≤ x < 360° için sin x = 1/2 denkleminin köklerinin toplamı» sorusuna geliyor. Özel açılar tablosu aklında: sin 30° = 1/2. Seçeneklerde 30° de var, işaretleyip geçiyor. Akşam cevap anahtarı 180° diyor. Kaçırdığı kök 150°: birim çemberde ordinatı 1/2 olan iki nokta var, biri birinci bölgede, öteki ikincide. Tablo ona bir açı vermişti; denklem ise o değeri veren bütün açıları soruyordu. Bu derste bir trigonometrik denklemin çözümlerini çemberden eksiksiz topluyor, bütün çözümleri tek bir genel ifadeyle yazıyor ve soruda verilen aralığa düşenleri tek tek sayıyoruz.

• sin x = a, cos x = a, tan x = a ve cot x = a denklemlerinin birim çemberdeki çözümlerini ve genel çözümünü derece ve radyanla yazarsın.
• Genel çözümden verilen aralıktaki kökleri listeleyip sayısını ve toplamını bulursun.
• sin x = sin y biçimli denklemleri, sinüs ve kosinüs katlarının toplamı sıfır olan denklemleri ve iki kat açı içeren denklemleri tek türden bir orana indirgersin.
• t = sin x ya da t = cos x yazılarak ikinci dereceye inen denklemde |t| ≤ 1 koşulu ve tanımsızlık noktalarıyla geçersiz kökleri elersin.

Bir değer, çemberde iki nokta

Bir açının sinüsü, bitim kenarının birim çemberi kestiği noktanın ordinatıdır. sin x = 1/2 demek, ordinatı 1/2 olan noktayı aramaktır. Bu noktalar y = 1/2 yatay doğrusunun çemberle kesiştiği yerlerdir ve yatay bir doğru çemberi iki noktada keser: biri 30°'de, öteki y eksenine göre simetriği olan 150°'de. Kancadaki eksik kök buradan gelir.

Yatay doğrunun konumu üç durum doğurur. |a| > 1 ise doğru çemberin dışından geçer ve denklemin gerçek çözümü yoktur; sin x = 3/2 ya da 2 cos x = 3 böyle denklemlerdir. a = 1 ya da a = −1 ise doğru çembere teğettir ve bir turda tek nokta vardır (sin x = 1 için 90°, sin x = −1 için 270°). −1 < a < 1 ise bir turda iki çözüm bulunur.

sin x = a için genel çözüm

Bir çözüm α ise ikincisi 180° − α'dır, çünkü bu iki açının bitim kenarları y eksenine göre simetriktir ve ordinatları eşittir. Çember her 360°'de bir kendini tekrar ettiği için bu iki açıya tam tur eklemek ya da çıkarmak yeni çözüm üretir:

x = α + k · 360° ya da x = 180° − α + k · 360° (k tam sayı).

Radyanla aynı ifade x = α + 2kπ ya da x = π − α + 2kπ olur. α negatif bir açı da olabilir: sin x = −√2/2 için α = −45° alınırsa çözümler −45° + k · 360° ve 225° + k · 360° biçimindedir; [0°, 360°) aralığına düşenler 315° ile 225°'tir. Önceki derslerde gördüğümüz indirgeme bu adımı hızlandırır: önce değerin mutlak değerini veren dar açıyı bul, sonra işaretin hangi bölgelerde sağlandığını çemberden oku.

cos x = a için genel çözüm

Kosinüs apsistir, bu yüzden bu kez x = a dikey doğrusu çemberi keser. Dikey doğrunun iki kesim noktası x eksenine göre simetriktir; biri α ise öteki −α'dır:

x = α + k · 360° ya da x = −α + k · 360°, kısaca x = ±α + k · 360°.

cos x = −1/2 denkleminde α = 120° alınır; [0°, 360°) aralığındaki kökler 120° ve −120° + 360° = 240°'tir. Radyanla yazılışı x = ±α + 2kπ'dir. Sinüsün simetrisini kosinüse taşımak, yani α ile 180° − α yazmak, bu konuda en sık görülen hatadır: cos x = 1/2 için 60° ile 120° yazan öğrenci, kosinüsü −1/2 olan bir açıyı köke katmış olur.

tan x = a ve cot x = a

tan x, OP doğrusunun eğimidir. Eğimi a olan ve orijinden geçen doğru çemberi birbirine zıt iki noktada keser ve bu iki noktanın açıları arasında 180° fark vardır. Bu nedenle tanjant ve kotanjant denklemlerinin kökleri yarım turda bir yinelenir:

tan x = a ⇒ x = α + k · 180°, cot x = a ⇒ x = α + k · 180° (radyanla α + kπ).

Sinüs ve kosinüsten farklı olarak burada a üzerinde sınır yoktur; her gerçek a için çözüm vardır. tan x = −√3 denkleminde α = 120° alınırsa [0°, 360°) içindeki kökler 120° ile 300°'dür. Yalnız tanımsızlık noktaları akılda tutulur: tan x içeren bir denklemde cos x = 0 olan açılar, cot x içeren denklemde sin x = 0 olan açılar köke giremez.

Aralıktaki kökleri saymak

Sorular genel çözümü sınırsız bırakmaz; bir aralık verir ve kök sayısını ya da köklerin toplamını ister. Yol, genel çözümün her kolunda k'ya sırayla 0, 1, 2, … ve gerekirse −1 değerlerini verip aralığa düşenleri yazmaktır. cos x = 1/2 denklemini [0, 4π) aralığında çözelim. ±π/3 + 2kπ kollarından π/3, 5π/3, 7π/3 ve 11π/3 çıkar; 13π/3 aralığın dışındadır. Dört kökün toplamı 8π'dir.

Toplamı hızlandıran bir gözlem var. [0, 2π) içinde cos x = a denkleminin iki kökü α ile 2π − α'dır ve toplamları her zaman 2π'dir. sin x = a denkleminde 0 < a < 1 ise kökler β ile π − β'dır, toplam π'dir; −1 < a < 0 ise kökler π + β ile 2π − β'dır, toplam 3π'dir. Aralık kapalıysa uç noktaların kök olup olmadığına ayrıca bakılır: [0°, 360°] aralığında cos x = 1 denkleminin iki kökü vardır, [0°, 360°) aralığında tek kökü.

sin x = sin y ve cos x = cos y

İki tarafta aynı oran ama farklı açılar varsa genel çözümün kalıbı açıların kendisine uygulanır. sin 3x = sin x için iki kol yazılır: 3x = x + k · 360°, buradan x = k · 180°; ya da 3x = 180° − x + k · 360°, buradan x = 45° + k · 90°. [0°, 360°) aralığında ilk koldan 0° ve 180°, ikinciden 45°, 135°, 225° ve 315° gelir; altı kök. cos 3x = cos x türünde ±'lı kalıp kullanılır ve kolların verdiği kökler çakışabilir; çakışan kök bir kez sayılır. sin x = cos y biçimindeki bir denklemde de önce cos y yerine sin(90° − y) yazılıp iki tarafı aynı orana getirmek yeterlidir.

İkinci dereceye inen denklemler

2cos²x + 3cos x − 2 = 0 denkleminde cos x'e t dersek 2t² + 3t − 2 = 0 olur. Bu, «İkinci dereceden denklemler ve diskriminant» dersinde gördüğümüz değişken değiştirmenin aynısıdır: t = 1/2 ya da t = −2. Fark, geri dönüşteki süzgeçtedir. t bir kosinüs olduğu için −1 ≤ t ≤ 1 sağlanmalıdır; t = −2 kökü bu yüzden elenir. Kalan cos x = 1/2'den [0°, 360°) içinde 60° ve 300° bulunur.

Sinüs ve kosinüs aynı denklemde karışık duruyorsa sin²x + cos²x = 1 bağıntısı birini ötekine çevirir. 2cos²x + 3 sin x − 3 = 0 denkleminde cos²x yerine 1 − sin²x yazılınca 2 sin²x − 3 sin x + 1 = 0 çıkar; sin x = 1 ya da sin x = 1/2. Kökler 90°, 30° ve 150°'dir.

İki kat açıyla tek türe geçmek

cos 2x = sin x denkleminde iki farklı açı ve iki farklı oran var. Önceki derste gördüğümüz cos 2x = 1 − 2 sin²x açılımı ikisini birden tek türe indirir: 1 − 2 sin²x = sin x, yani 2 sin²x + sin x − 1 = 0. sin x = 1/2 ya da sin x = −1 bulunur; [0°, 360°) içinde 30°, 150° ve 270°. Hangi açılımın seçileceğini denklemin öbür tarafı belirler: karşıda sin x varsa sinüslü açılım, cos x varsa 2cos²x − 1 açılımı seçilir.

sin 2x = sin x denkleminde sol taraf açılınca sin x ile cos x'in çarpımının iki katı gelir; terimler sola toplanıp sin x ortak paranteze alınırsa (2 cos x − 1) · sin x = 0 kalır. İki tarafı sin x'e bölmek, sin x = 0'dan gelen 0° ve 180° köklerini sessizce siler; çarpanlara ayırmak ise dördünü de verir: 0°, 60°, 180°, 300°.

a sin x + b cos x = 0

√3 cos x = sin x denkleminde kosinüs sıfır olsaydı eşitlikten sinüsün de sıfır olduğu çıkardı; ikisi aynı anda sıfır olamaz. O hâlde cos x ≠ 0'dır ve iki taraf cos x'e bölünebilir: tan x = √3. Kökler 60° ile 240°'tir. Bölmeden önce bölünen ifadenin sıfır olamayacağını göstermek, yukarıdaki sin x'e bölme hatasından ayıran adımdır.

Paydayı ve tanımsız oranı elemek

Denklemde kesir ya da tan, cot varsa çözüm bulunduktan sonra tanım kümesine dönülür. (sin 2x)/(cos x) = 1 denkleminde cos x ≠ 0 şartıyla sin 2x = cos x yazılır; (2 sin x − 1) · cos x = 0 çarpımında cos x = 0 kolu şart gereği düşer ve yalnız sin x = 1/2'nin kökleri 30° ile 150° kalır. (1 − cos x)/(sin 2x) = 0 denkleminde pay cos x = 1 ister; o açılarda sin x = 0 olduğundan sin 2x de sıfırdır ve payda sıfırlanır, denklemin hiç kökü yoktur. Böyle bir soruda seçeneklerdeki «0°» ve «360°» tam olarak eleme adımını atlayan öğrenciyi bekler.

Soru kökleri ve sonraki adım

Bu dersin soruları bir aralıktaki kök sayısını, köklerin toplamını, çözüm kümesini ya da genel çözüm ifadesini ister; zor sorular bunlara bir indirgeme, bir eleme ya da bir parametre koşulu ekler. Çözümler bulunurken hep aynı noktaya dikkat ettik: sin x = a denklemi bir turda iki açı verir. Sonraki ders trigonometriyi çemberden üçgene, dik olmayan üçgenlere taşıyor: sinüs ve kosinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunluklarını karşısındaki açıların sinüsü ve kosinüsüyle ilişkilendirir. Orada bir açının sinüsü bilindiğinde 0° ile 180° arasında iki aday açı çıkabilmesi, bu dersteki α ve 180° − α ayrımının üçgendeki karşılığı olacak.

Örnek 1 — Kosinüs denkleminin kök toplamı

Soru: 2 cos x + √3 = 0 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

• A) toplam = 5π/3
• B) toplam = π
• C) toplam = 2π
• D) toplam = 7π/3
• E) toplam = 5π/6

Çözüm: cos x = −√3/2. Kosinüsü √3/2 olan dar açı π/6'dır; değer negatif olduğundan kökler ikinci ve üçüncü bölgededir: π − π/6 = 5π/6 ve π + π/6 = 7π/6. Toplam 12π/6 = 2π. Kosinüs denkleminin [0, 2π) içindeki iki kökü her zaman 2π'ye tamamlanır. B seçeneği sinüs simetrisini (α ile π − α) kullanmaktan gelir; E seçeneği yalnız bir kökü yazar. Cevap: C.

Örnek 2 — İkinci dereceye inen denklem

Soru: 2 sin²x − sin x − 1 = 0 denkleminin [0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

• A) toplam = 3π/2
• B) toplam = 7π/2
• C) toplam = 5π/2
• D) toplam = 2π
• E) toplam = 4π

Çözüm: t = sin x için 2t² − t − 1 = 0, yani (2t + 1)(t − 1) = 0; t = 1 ya da t = −1/2. İki değer de [−1, 1] aralığındadır. sin x = 1'den π/2, sin x = −1/2'den 7π/6 ile 11π/6 gelir. Toplam 3π/6 + 7π/6 + 11π/6 = 21π/6 = 7π/2. sin x = −1/2'nin kökleri üçüncü ve dördüncü bölgede 3π eder, buna π/2 eklenir. A seçeneği t = −1/2 kolunu sinüs simetrisiyle π'ye toplar. Cevap: B.

Örnek 3 — İki kat açıyla kosinüse inmek

Soru: cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 denkleminin [0°, 360°) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

• A) toplam = 360°
• B) toplam = 180°
• C) toplam = 420°
• D) toplam = 540°
• E) toplam = 720°

Çözüm: Denklemin geri kalanında cos x bulunduğundan kosinüslü açılım seçilir ve denklem 2cos²x + 3 cos x + 1 = 0 olur; çarpanları 2 cos x + 1 ile cos x + 1'dir. cos x = −1/2'den 120° ve 240°, cos x = −1'den 180° gelir; −1 değeri çembere teğet olan dikey doğruya karşılık gelir ve bir turda tek kök verir. Toplam 540°. A seçeneği cos x = −1 kolunu atlar; E seçeneği teğet kökü iki kez sayar. Cevap: D.

Örnek 4 — Tanjantlı denklemde eleme

Soru: tan x = 2 sin x denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

• A) toplam = 3π
• B) toplam = 2π
• C) toplam = 5π/3
• D) toplam = π
• E) toplam = 4π

Çözüm: tan x tanımlı olmalı, yani cos x ≠ 0. Kesrin paydası olan cos x ile iki taraf çarpılır, terimler bir yana alınır ve sinüs dışarı çıkarılır; kalan çarpanlar sin x ile 1 − 2 cos x'tir. sin x = 0'dan açık aralıkta yalnız π gelir; 0 aralık dışıdır. cos x = 1/2'den π/3 ve 5π/3 gelir. Bulunan üç açıda cos x sıfır değildir, hepsi geçerlidir. Toplam π/3 + π + 5π/3 = 3π. B seçeneği sin x'e bölüp π kökünü kaybetmekten gelir. Cevap: A.

• Tablodaki tek açıda durmak. sin x = a ve cos x = a denklemleri −1 < a < 1 iken bir turda iki kök verir; ikinci kök sinüste 180° − α, kosinüste 360° − α'dır.
• Sinüsün simetrisini kosinüse taşımak. cos x = 1/2 için 120° yazmak, kosinüsü −1/2 olan bir açıyı köke katar; kosinüs kökleri x eksenine göre simetriktir.
• |t| ≤ 1 süzgecini atlamak. t = cos x yazınca çıkan −2 veya 3 gibi bir kök geri dönüşte çözüm vermez; o koldan kök yazılırsa sayı fazlalaşır.
• Ortak çarpanı bölerek atmak. sin 2x = sin x denkleminde bölme, sin x = 0'dan gelen kökleri siler; çarpanlara ayırmak hepsini korur.
• Tanım kümesine dönmemek. tan x, cot x ya da kesir içeren denklemde payda sıfırlayan açılar elenir; (1 − cos x)/sin 2x = 0 denkleminin hiç kökü yoktur, çünkü payı sıfırlayan her açı paydayı da sıfırlar.
• Kolları çakışan kökü iki kez saymak. cos 3x = cos x gibi denklemlerde iki kolun ortak kökleri bir kez sayılır; aralığın açık ya da kapalı ucunu da ayrıca denetle.