İki kat açı formülleri

Şenay deneme kitapçığında «x ikinci bölgede bir açı ve sin x = 3/5 ise sin 2x kaçtır?» sorusunu görünce hiç düşünmeden 2 · 3/5 = 6/5 yazıyor. Seçeneklere bakınca 6/5 yok; bir an kitapçığın hatalı olduğunu düşünüyor. Sonra geçen haftanın notu aklına geliyor: bir açının sinüsü 1'i aşamaz. Demek ki açıyı iki katına çıkarmak sinüsü iki katına çıkarmıyor. Peki sin 2x neye eşit, kosinüs neden işin içine giriyor ve x'in ikinci bölgede olması sonucu nasıl etkiliyor? Bu derste toplam formülünü iki eşit açıya uygulayıp sin 2x, cos 2x ve tan 2x için kısa kurallar elde ediyoruz; sonra aynı kuralları tersinden okuyup kareleri ve çarpımları sadeleştiriyoruz.

• sin 2x, cos 2x ve tan 2x formüllerini toplam formülünden türetir ve soruya uygun cos 2x biçimini seçersin.
• Tek oranı ve bölgesi bilinen x için sin 2x, cos 2x, tan 2x değerlerini işaretiyle hesaplar, 2x'in bölgesini belirlersin.
• cos²x ve sin²x'i cos 2x cinsinden yazar, 1 ± cos x ifadelerini yarım açının karesine çevirirsin.
• sin x · cos x çarpımını yarım sinüse dönüştürerek ardışık kosinüs çarpımlarını katlayıp hesaplarsın.

Açı iki katına çıkınca oran neden iki katına çıkmaz?

Kancadaki 6/5 sonucunu çürütmek için tek bir örnek yeter. x = 30° alalım: sin 60° = √3/2 ≈ 0,87, oysa 2 · sin 30° = 1. İki değer farklıdır. Sinüs, açıyla doğru orantılı büyüyen bir nicelik değildir; birim çemberdeki noktanın ordinatıdır ve açı 0°'den 90°'ye giderken hızı giderek azalır. Bu yüzden sin 2x'i bulmak için açının kendisini değil, iki açının toplamını işleyen bir kurala ihtiyaç var. O kural elimizde: bir önceki derste sinüsün, kosinüsün ve tanjantın toplam formüllerini kurmuştuk.

Toplam formülünde iki açıyı eşitlemek

Sinüsün toplam formülü iki açının birinin sinüsünü ötekinin kosinüsüyle çarpar ve bu çarpımı yer değiştirerek bir kez daha ekler. İki açı da x seçildiğinde sol taraf sin 2x olur, sağdaki iki terim ise birbirinin aynısı çıkar ve toplanınca katsayı 2 gelir:

sin 2x = 2 sin x · cos x.

Kosinüsün toplam formülünde kosinüslerin çarpımından sinüslerin çarpımı çıkarılıyordu. İki açı eşit olunca bu çarpımlar kareye dönüşür:

cos 2x = cos²x − sin²x

Tanjantın toplam formülünde pay iki tanjantın toplamı, payda 1 eksi çarpımlarıydı. İki açı eşit olunca pay 2 tan x'e, payda 1 − tan²x'e döner:

tan 2x = 2 tan x / (1 − tan²x).

Bu son formül iki koşul ister: tan x tanımlı olmalı (cos x ≠ 0) ve payda sıfır olmamalı (tan²x ≠ 1). tan x = 1 olduğunda, örneğin x = 45°'de, 2x = 90° olur ve tan 90° zaten tanımsızdır; formülün paydasının sıfırlanması bunu haber verir.

Sağlama için x = 30° yeter: 2 · (1/2) · (√3/2) = √3/2 = sin 60°. Kosinüste 3/4 − 1/4 = 1/2 = cos 60°.

cos 2x'in üç yazılışı

cos²x − sin²x ifadesinde kareli terimlerden biri sin²x + cos²x = 1 bağıntısıyla ötekine çevrilebilir. sin²x yerine 1 − cos²x yazınca yalnız kosinüs kalır; cos²x yerine 1 − sin²x yazınca yalnız sinüs kalır:

cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x.

Hangi biçim seçilirse seçilsin sonuç değişmez; seçimi soruda verilen oran yapar. Yalnız sin x biliniyorsa 1 − 2sin²x en kısa yoldur, çünkü cos x'i bulmaya ve işaretini tartmaya gerek kalmaz. Yalnız cos x biliniyorsa 2cos²x − 1 kullanılır. Bir ifadede sin²x ve cos²x farkı görünüyorsa ilk biçim doğrudan tanınır. x = 30° için üç biçim de 1/2 çıkar: 3/4 − 1/4, 2 · 3/4 − 1 ve 1 − 2 · 1/4.

Bir oran ve bölge verildiğinde

Kancadaki soruya dönelim: sin x = 3/5 ve x ikinci bölgede. sin 2x'te cos x gerekir. sin²x + cos²x = 1'den cos²x = 16/25 bulunur. Karekökün iki işaretinden birini bölge seçer; 90° ile 180° arasındaki bir açının apsisi sıfırın solundadır, yani cos x = −4/5. İşaret incelemesini yaptığımız derste kurduğumuz tablo burada doğrudan iş görür.

• sin 2x = 2 · (3/5) · (−4/5) = −24/25
• cos 2x = 1 − 2 · (9/25) = 7/25
• tan 2x = (−24/25)/(7/25) = −24/7

tan 2x'i formülle de bulabiliriz: tan x = −3/4 olduğundan 2 · (−3/4)/(1 − 9/16) = (−3/2)/(7/16) = −24/7. İki yolun aynı sonucu vermesi, işaretin doğru seçildiğini de gösterir. Şenay'ın 6/5'i yalnız sınırı aşmakla kalmıyordu; işareti de yanlıştı.

2x hangi bölgeye düşer?

x'in bölgesi 2x'in bölgesini tek başına belirlemez. x ikinci bölgedeyse 90° < x < 180° ve 2x, 180° ile 360° arasındadır; bu aralık üçüncü ve dördüncü bölgeyi kapsar. Karar sin 2x ve cos 2x'in işaretlerine bakılarak verilir. Yukarıdaki örnekte sin 2x < 0 ve cos 2x > 0 olduğu için 2x dördüncü bölgededir. sin x = 12/13 alınsaydı cos 2x = 1 − 288/169 = −119/169 negatif çıkardı; sin 2x de −120/169 olduğundan 2x üçüncü bölgeye düşerdi. Bölgeyi yalnız aralıktan okumaya çalışan öğrenci burada yarı yarıya şansa kalır; işaret tablosu ise belirsizliği kaldırır.

Formülü tersinden okumak: çarpımı sinüse çevirmek

sin 2x = 2 sin x · cos x eşitliği iki yöne de okunur. Sağdan sola okunduğunda bir çarpımı tek bir sinüse çevirir:

sin x · cos x = (sin 2x)/2.

sin 15° · cos 15° için 15°'nin oranlarını bilmek gerekmez: (sin 30°)/2 = 1/4. cos 2x biçimleri de aynı ters okumaya izin verir. cos²15° − sin²15° = cos 30° = √3/2; 2cos²22,5° − 1 = cos 45° = √2/2; 1 − 2sin²75° = cos 150° = −√3/2. Son örnekte 150°'nin kosinüsünü indirgemeyle bir dar açının kosinüsüne bağlamak gerekir. Bu ters okumayı tanımak, formülü ezbere bilmekten daha çok puan getirir; çünkü soru kökü formülü açıkça değil, kalıbın sonucunu gizleyerek verir.

Kareleri indirgemek ve yarım açı

cos 2x = 2cos²x − 1 ile cos 2x = 1 − 2sin²x eşitliklerinden kareler yalnız bırakılırsa

cos²x = (1 + cos 2x)/2 ve sin²x = (1 − cos 2x)/2

bulunur. Bu iki eşitlik bir karenin derecesini düşürür: kare gider, yerine iki kat açının kosinüsü gelir. cos²15° = (1 + √3/2)/2 = (2 + √3)/4 ve sin²22,5° = (1 − √2/2)/2 = (2 − √2)/4 olur. Böylece 15° ya da 22,5° gibi tablo dışı açıların kareli değerleri, tabloda olan 30° ve 45°'ten hesaplanır.

Aynı eşitliklerde 2x yerine x, x yerine x/2 yazılırsa

1 + cos x = 2cos²(x/2) ve 1 − cos x = 2sin²(x/2)

elde edilir. Payında ya da paydasında 1 ± cos x bulunan kesirler bu yolla sadeleşir. Payı 1 − cos x, paydası sin x olan kesre bakalım. Pay 2sin²(x/2) olarak yazılır. Payda da yarım açının iki kat formülüyle açılır: 2 sin(x/2) · cos(x/2). Ortak çarpanlar gidince tan(x/2) kalır. Bu yüzden (1 − cos 40°)/sin 40° = tan 20°'dir. Kesrin tanımlı olması için sin x ≠ 0 koşulu korunur.

Ardışık katlarla çarpım: katlama

cos 20° · cos 40° · cos 80° çarpımında hiçbir açı tabloda yoktur, yine de sonuç temiz bir sayıdır. Açılar her adımda iki katına çıkıyor; bu, ifadeyi en küçük açının sinüsüyle çarpmanın işaretidir. Çarpım P olsun ve iki taraf sin 20° ile çarpılsın:

• sin 20° · cos 20° = (1/2) sin 40°, böylece sin 20° · P = (1/2) sin 40° · cos 40° · cos 80°
• sin 40° · cos 40° = (1/2) sin 80°, böylece sin 20° · P = (1/4) sin 80° · cos 80°
• sin 80° · cos 80° = (1/2) sin 160°, böylece sin 20° · P = (1/8) sin 160°

sin 160° = sin(180° − 20°) = sin 20° olduğundan iki taraftaki sin 20° sadeleşir ve P = 1/8 olur. Her adım bir yarım çarpanı biriktirir; n adımlık katlama 1/2ⁿ getirir. Genel biçimde sin x · cos x · cos 2x · cos 4x = (sin 8x)/8 yazılır; x = 15° için bu (sin 120°)/8 = √3/16 eder. Son adımdaki sinüsün başlangıçtaki sinüse bağlanması çoğu zaman indirgeme gerektirir.

Soru kökleri ve bir sonraki basamak

Bu dersin soruları, oranlarından biri ve bölgesi bilinen bir açının iki katındaki değerleri, 2x'in bölgesini, gizlenmiş bir formül kalıbının sonucunu, tablo dışı açının karesini ve ardışık katlardan oluşan çarpımları ister. Buraya kadar formülleri hep bir sayıyı hesaplamak için kullandık. Aynı formüller cos 2x = sin x ya da sin 2x = cos x gibi eşitliklerde de karşımıza çıkar; orada x verilmez, eşitliği sağlayan açıların tamamı aranır. İki kat açıyı tek açıya çevirmek bu tür eşitliklerin ilk adımı olur. Trigonometrik denklemler dersinde bu aramanın yöntemini ve çözümlerin bir turdan sonra nasıl tekrarlandığını kuracağız.

Örnek 1 — İşaretle birlikte sin 2x

Soru: x üçüncü bölgede bir açıdır (180° < x < 270°) ve kosinüsü −5/13'tür. sin 2x'in değeri hangisidir?

• A) sin 2x = −120/169
• B) sin 2x = 120/169
• C) sin 2x = −24/13
• D) sin 2x = 119/169
• E) sin 2x = −119/169

Çözüm: sin²x = 1 − 25/169 = 144/169. Üçüncü bölgede sinüs negatiftir: sin x = −12/13. sin 2x = 2 · (−12/13) · (−5/13) = 120/169. İki negatifin çarpımı pozitiftir; 2x, 360° ile 540° arasındadır ve bu sonuçla tutarlıdır. A seçeneği sin x'i pozitif almaktan, C seçeneği sinüsü yalnızca ikiyle çarpmaktan, E seçeneği ise cos 2x = 2 · 25/169 − 1 değerinden gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Gizlenmiş kalıp

Soru: cos⁴15° − sin⁴15° işleminin sonucu kaçtır?

• A) sin 30° değeri
• B) √3/4 ≈ 0,43
• C) her açıda 1
• D) √3/2 ≈ 0,87
• E) (2 + √3)/4 ≈ 0,93

Çözüm: İki kare farkı: (cos²15° − sin²15°) · (cos²15° + sin²15°). İkinci çarpan 1'dir; birinci çarpan cos 30°'dir. Sonuç √3/2. C seçeneği yalnız ikinci çarpanı görür; E seçeneği cos²15°'nin kendisidir. Cevap: D.

Örnek 3 — tan 2x ve 2x'in bölgesi

Soru: Dar bir x açısının tanjantı 2'dir. tan 2x'in değeri ve 2x'in bulunduğu bölge hangisidir?

• A) −4/3, ikinci bölge
• B) 4/3, birinci bölge
• C) −4/3, dördüncü bölge
• D) 4, birinci bölge
• E) 4/5, ikinci bölge

Çözüm: tan 2x = 2 · 2/(1 − 4) = −4/3. x dar olduğundan 0° < 2x < 180°'dir; bu aralıkta tanjant yalnız ikinci bölgede negatiftir. Aynı sonuca açıdan da varılır: tan x > 1 olduğundan x, 45°'den büyüktür ve 2x, 90°'yi geçer. Gerçekten tan x = 2 için x yaklaşık 63,4° ve 2x yaklaşık 126,9°'dir. C seçeneği işareti doğru bulup aralığı unutur; E seçeneğindeki 4/5, sin 2x = 2 · (2/√5) · (1/√5) değeridir. Cevap: A.

Örnek 4 — Katlama

Soru: P = cos 20° · cos 40° · cos 80° çarpımının değeri kaçtır?

• A) P = 1/4
• B) P = 1/16
• C) P = √3/8
• D) P = 1/2
• E) P = 1/8

Çözüm: Çarpım sin 20° ile çarpılır ve üç kez sin x · cos x = (sin 2x)/2 uygulanır: sin 20° · P = (1/8) sin 160°. sin 160° = sin 20° olduğundan P = 1/8. A seçeneği üç yarım çarpanın yalnız ikisini sayar, B seçeneği bir yarım çarpanı fazla eklemekten gelir. Cevap: E.

• sin 2x'i 2 sin x sanmak. Açının iki katı oranın iki katı değildir; 6/5 gibi 1'i aşan bir sonuç bu hatanın imzasıdır.
• Karekökten gelen işareti bölgeye sormamak. cos x ya da sin x bulunurken işaret x'in bölgesinden okunur; sin 2x'in işareti bu tek seçime bağlıdır.
• 2x'in bölgesini x'in bölgesinden kestirmek. x ikinci bölgedeyken 2x üçüncü de olabilir dördüncü de; karar sin 2x ile cos 2x'in işaretleriyle verilir.
• Kare indirgemede 2'ye bölmeyi atlamak. cos²x = (1 + cos 2x)/2'dir; bölme unutulursa cos²15° için 1'i aşan (2 + √3)/2 çıkar.
• tan 2x formülünün koşullarını unutmak. tan²x = 1 olduğunda payda sıfırdır ve tan 2x'in kendisi tanımsızdır, çünkü 2x bu durumda 90° ya da 270°'ye (bir tam tur farkla) düşer.
• Katlamada son sinüsü başlangıca bağlamamak. sin 160° = sin 20° gibi bir indirgeme yapılmadan sadeleşme görünmez.