Toplam-fark formülleri

Okan bir deneme sınavında cos 15° değerini soran soruya geliyor. 15° tablodaki açılardan biri değil ama 45° − 30° olarak yazılabiliyor; Okan da öyle yapıyor ve kosinüsü parantezin içine dağıtıyor: cos 45° − cos 30° = (√2 − √3)/2. Bu sayı yaklaşık −0,16 ediyor. Oysa 15° dar bir açı, birim çemberde P noktası birinci bölgede ve x eksenine çok yakın; kosinüsü 1'e yakın, pozitif bir sayı olmalı. Hesap kendi kendini yalanlıyor. Kosinüs bir çarpan gibi parantezin üzerine dağılmaz; iki açının farkının kosinüsü, iki açının hem sinüsünü hem kosinüsünü birlikte ister. Bu derste o bağıntıyı birim çemberden çıkarıyoruz ve cos 15°'nin gerçek değerini, yaklaşık 0,97'yi, köklü biçimiyle buluyoruz.

• cos(a − b) formülünü birim çemberdeki iki kirişin eşitliğinden gerekçelendirir, cos(a + b), sin(a ± b) ve tan(a ± b) formüllerini ondan türetirsin.
• 15°, 75°, 105° gibi açıların trigonometrik oranlarını özel açıların toplamı ya da farkı olarak yazıp köklü biçimde hesaplarsın.
• sin a cos b + cos a sin b biçimindeki bir ifadeyi tek bir açının oranı olarak tanır, (1 + tan x)/(1 − tan x) gibi ifadeleri 45° yardımıyla sadeleştirirsin.
• Bölgesi ve bir oranı verilen iki açının toplamının ya da farkının oranını, işaretleri bölgeden seçerek bulursun.

Dağıtmanın neden çalışmadığı

cos(a − b) = cos a − cos b olsaydı her açı için doğru çıkması gerekirdi. a = b = 60° alalım. Sol taraf cos 0° = 1, sağ taraf cos 60° − cos 60° = 0 olur. Tek bir karşı örnek, eşitliğin bir kural olamayacağını göstermeye yeter. Sinüs, kosinüs ve tanjant birer fonksiyondur; bir fonksiyonun farkta aldığı değerin, değerlerin farkına eşit çıkması için hiçbir gerekçe yoktur. Doğru bağıntıyı bulmak için açıların birim çemberdeki noktalarına bakmamız gerekiyor.

Birim çemberde iki kiriş

a ve b açılarını standart konuma yerleştirelim; bitim kenarları birim çemberle sırasıyla P(cos a, sin a) ve Q(cos b, sin b) noktalarında buluşsun. P ile Q arasındaki merkez açısı a − b'dir. İki nokta arası uzaklık formülüyle

|PQ|² = (cos a − cos b)² + (sin a − sin b)²

yazılır. Kareler açılınca cos²a + sin²a ve cos²b + sin²b ikilileri ortaya çıkar; birim çemberde her noktanın sağladığı sin²x + cos²x = 1 özdeşliği gereği her biri 1'dir. Geriye

|PQ|² = 2 − 2(cos a cos b + sin a sin b)

kalır. Şimdi aynı üçgeni döndürelim: Q noktası A(1, 0) noktasına gelecek biçimde bütün şekli b kadar saat yönünde çevirirsek P, R(cos(a − b), sin(a − b)) noktasına gider. Döndürme uzunluğu bozmaz, bu yüzden |RA| = |PQ| olur. Yine uzaklık formülüyle

|RA|² = (cos(a − b) − 1)² + sin²(a − b) = 2 − 2 cos(a − b)

bulunur. İki sonuç eşitlenince formül çıkar:

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

a = b = 60° denemesinde sağ taraf 1/4 + 3/4 = 1 verir; kancadaki tutarsızlık kapanır.

Toplamın kosinüsü

Toplam için yeni bir şekle gerek yok: b yerine −b yazmak yeter. Birim çemberde −b açısının noktası, b'nin noktasının x eksenine göre simetriğidir; apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir. Bu nedenle cos(−b) = cos b ve sin(−b) = −sin b olur. Fark formülüne yerleştirince

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

elde edilir. Toplamın kosinüsünde ortadaki işaret eksi, farkınkinde artıdır; açıların arasındaki işaretin tersi.

Sinüs formülleri

Birim çember dersindeki dik üçgende bir dar açının sinüsü, tümlerinin kosinüsüne eşitti; birim çemberde bu her açı için geçerlidir: sin x = cos(90° − x) ve cos x = sin(90° − x). sin(a + b)'yi kosinüse çevirip fark formülünü kullanalım:

sin(a + b) = cos(90° − a − b) = cos((90° − a) − b) = cos(90° − a) cos b + sin(90° − a) sin b.

cos(90° − a) yerine sin a, sin(90° − a) yerine cos a yazılınca

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

bulunur. b yerine −b koymak farkı verir: sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b. Sinüs formüllerinde işaret, açıların arasındaki işaretle aynıdır ve terimler «sinüs-kosinüs, kosinüs-sinüs» diye karışık dizilir. Kosinüs formüllerinde ise kosinüsler bir arada, sinüsler bir aradadır.

Tanjant formülleri

sin(a + b)'yi cos(a + b)'ye böler, payı ve paydayı cos a cos b'ye bölersek kesirler tanjanta döner:

tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 − tan a tan b), tan(a − b) = (tan a − tan b) / (1 + tan a tan b).

Paydadaki işaret paydakinin tersidir. Formülün kullanılabilmesi için tan a ve tan b'nin tanımlı olması gerekir; payda sıfırsa, yani tan a tan b = 1 ise a + b'nin kosinüsü sıfırdır ve tan(a + b) tanımsızdır. Örneğin tan a = 2 ve tan b = 1/2 olan iki dar açının toplamı 90°'dir.

15°, 75° ve 105°

Formüllerin ilk kazancı tablodaki açılardan türeyen yeni değerlerdir. 15° = 45° − 30° yazılırsa

cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,97,

sin 15° = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30° = √6/4 − √2/4 = (√6 − √2)/4.

75° = 45° + 30° için aynı çarpımlar yer değiştirir: sin 75° = (√6 + √2)/4, cos 75° = (√6 − √2)/4. 15° ile 75° tümler olduğundan bu beklenen bir sonuçtur. Tanjantta tan 15° = 2 − √3 ve tan 75° = 2 + √3 çıkar; iki sayının çarpımı 1'dir. 105° = 60° + 45° ikinci bölgededir: cos 105° = (√2 − √6)/4 negatif, sin 105° = (√6 + √2)/4 pozitif çıkar. Sonucun işareti, bölgelere göre işaret kuralıyla her zaman karşılaştırılmalıdır; tutmuyorsa formülde bir işaret yanlış yazılmıştır.

Formülü sağdan sola okumak

Soruların önemli bir kısmı değer hesaplatmaz, açılmış bir formülü kapatmayı ister. sin 50° cos 10° + cos 50° sin 10° ifadesinde 50° ile 10°'nin oranları «sin-cos, cos-sin» düzeninde ve aralarında artı var; bu, sin(50° + 10°) = sin 60° = √3/2 demektir. cos 70° cos 10° + sin 70° sin 10° ise kosinüsleri ve sinüsleri ayrı ayrı çarpıp topluyor; farkın kosinüsüdür, cos 60° = 1/2. Önce hangi formülün açılımı olduğuna, sonra aradaki işarete bakılır.

Tanjant formülünde 45° özel bir yer tutar, çünkü tan 45° = 1'dir. tan(45° + x) açılınca

(1 + tan x) / (1 − tan x) = tan(45° + x)

bulunur. Benzer biçimde a + b = 45° ise tan(a + b) = 1 eşitliği paydalar kaldırılınca tan a + tan b + tan a tan b = 1 verir; her iki yana 1 eklenince (1 + tan a)(1 + tan b) = 2 olur. tan 20° ya da tan 25° tek başına hesaplanamasa da (1 + tan 20°)(1 + tan 25°) çarpımının 2 olduğu böyle görülür.

Bölgesi bilinen iki açı

Bir açının yalnız bir oranı ve bölgesi verildiğinde öteki oran sin²x + cos²x = 1 ile, işareti de işaret inceleme dersindeki bölge tablosuyla bulunur. 90° < a < 180° ve sin a = 3/5 olsun: cos a = −4/5, çünkü ikinci bölgede kosinüs negatiftir. 270° < b < 360° ve cos b = 5/13 olsun: sin b = −12/13. Şimdi

sin(a + b) = (3/5)(5/13) + (−4/5)(−12/13) = 15/65 + 48/65 = 63/65.

İşaretlerden biri yanlış seçilseydi sonuç 15/65 − 48/65 = −33/65 olurdu. Bu tür sorularda hesap kısadır; puanı işaret seçimi belirler. Açılar bir dik üçgenin içinde ya da yan yana iki dik üçgende verildiğinde de durum aynıdır: oranlar kenarlardan okunur, toplam ya da fark formülü bunları birleştirir.

İki açı aynı olursa

Bütün formüllerde a ile b birbirinden bağımsızdı. a ile b aynı açı olduğunda toplam a + a'ya, yani bir açının iki katına dönüşür; toplamın sinüsü, kosinüsü ve tanjantı artık tek bir açının oranlarıyla yazılabilir. Kosinüste bu yazımın birden fazla biçimi vardır ve sin²a + cos²a = 1 ile biri ötekine çevrilir. Sonraki derste bu iki kat açı formüllerini kuracağız.

Örnek 1 — 75°'nin kosinüsü

Soru: cos 75° kaçtır?

• A) cos 75° = (√6 + √2)/4
• B) cos 75° = (√2 + √3)/2
• C) cos 75° = (√6 − √2)/4
• D) cos 75° = 2 − √3
• E) cos 75° = (√6 − √2)/2

Çözüm: 75° = 45° + 30° alınır ve toplamın kosinüsü kullanılır: cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = √6/4 − √2/4. Ortadaki işareti artı yazan A'yı bulur, kosinüsü parantezin üzerine dağıtan B'yi bulur; D seçeneği tan 15°'tir. Sonuç yaklaşık 0,26 ve pozitiftir; 75° birinci bölgede olduğu için beklenen budur. Cevap: C.

Örnek 2 — Açılmış formülü kapatmak

Soru: sin 80° cos 20° − cos 80° sin 20° ifadesinin değeri kaçtır?

• A) değer 1/2
• B) değer √3/2
• C) değer √2/2
• D) değer 1
• E) değer sin 100°

Çözüm: Terimler sin-cos, cos-sin düzeninde ve aralarında eksi var: sin(80° − 20°) = sin 60° = √3/2. Aradaki işareti artı okuyan sin 100°'e, sinüs yerine kosinüsü kapatan 1/2'ye ulaşır. Cevap: B.

Örnek 3 — Bölgesi verilen iki açı

Soru: 90° < a < 180°, sin a = 4/5 ve 180° < b < 270°, tan b = 5/12 olduğuna göre cos(a − b) kaçtır?

• A) cos(a − b) = 56/65
• B) cos(a − b) = −16/65
• C) cos(a − b) = 16/65
• D) cos(a − b) = 33/65
• E) cos(a − b) = 63/65

Çözüm: İkinci bölgede kosinüs negatif: cos a = −3/5. Üçüncü bölgede tanjant pozitif, sinüs ve kosinüs negatif; 5-12-13 üçgeninden sin b = −5/13, cos b = −12/13. Formüle yerleştirince (−3/5)(−12/13) + (4/5)(−5/13) çıkar; bu da 36/65 − 20/65 = 16/65 eder. b'nin oranlarını pozitif alan −36/65 + 20/65 = −16/65 bulur; dört oranın hepsini pozitif alan 56/65'e varır. Cevap: C.

Örnek 4 — 45° görünmeden

Soru: (1 + tan 20°)(1 + tan 25°) çarpımı kaçtır?

• A) çarpım 1
• B) çarpım 2
• C) çarpım 1 + √3
• D) çarpım 3/2
• E) çarpım √2

Çözüm: 20° + 25° = 45° ve tan 45° = 1. Toplam formülü (tan 20° + tan 25°)/(1 − tan 20° tan 25°) = 1 verir; paydayı karşıya atınca tan 20° + tan 25° + tan 20° tan 25° = 1 olur. Çarpım açıldığında 1 + tan 20° + tan 25° + tan 20° tan 25° bulunur, bu da 1 + 1 = 2'dir. A seçeneği çarpımın içindeki 1'i unutan sonuçtur. Cevap: B.

• Fonksiyonu parantezin üzerine dağıtmak. cos(45° − 30°) ≠ cos 45° − cos 30°; kancadaki gibi dar açıya negatif kosinüs çıkması bu hatanın işaretidir.
• Kosinüs formüllerinde işareti çevirmemek. cos(a + b)'de ortadaki işaret eksi, cos(a − b)'de artıdır; sinüste ise işaret açıların arasındakiyle aynı kalır.
• Tanjantın paydasını karıştırmak. tan(a + b)'nin paydası 1 − tan a tan b'dir; paydadaki artıyla hesaplanan değer genellikle bir çeldiricide bekler.
• Bölgeyi okumadan karekök almak. sin a verildiğinde cos a'nın işareti a'nın bölgesinden seçilir; ikinci bölgede kosinüs, sinüs ise üçüncü ile dördüncü bölgede eksi işaretlidir.
• Açılmış ifadede açı sırasını kaçırmak. sin 80° cos 20° − cos 80° sin 20° ifadesi sin 60°'tır, sin(−60°) değil; ilk sinüsün açısı farkta önce gelir.