Temel trigonometrik özdeşlikler

Figen'in deneme kitapçığındaki soru kısa: tan x = 3 ise (2 sin x + cos x)/(sin x − cos x) kaçtır? Figen hemen kenarları 3 ve 1, hipotenüsü √10 olan bir dik üçgen çiziyor, sin x = 3/√10 ve cos x = 1/√10 yazıyor, köklü kesirleri payda eşitleyerek topluyor ve üç dakika sonra 7/2 buluyor. Yan sıradaki Kenan aynı soruyu yarım dakikada bitirmiş: payı ve paydayı cos x'e bölmüş, (2 · 3 + 1)/(3 − 1) yazmış. Üstelik Kenan'ın yolu x'in hangi bölgede olduğunu hiç sormuyor; x üçüncü bölgede olsaydı Figen'in üçgeni iki işareti de yanlış verecekti, sonuç yine 7/2 çıkacaktı. Aradaki fark hesap hızı değil, sinüs, kosinüs ve tanjant arasındaki bağıntıları birer araç olarak görmek. Bu ders o araç kutusunu kuruyor.

• tan, cot, sec ve cosec'i sin ve cos cinsinden yazar, her birinin tanımsız olduğu açıları belirlersin.
• 1 + tan²x = 1/cos²x ve 1 + cot²x = 1/sin²x bağıntılarını sin²x + cos²x = 1'den türetir, bir oranı ve bölgesi verilen açının öteki oranlarını bulursun.
• Trigonometrik ifadeleri ortak payda, çarpanlara ayırma ve iki kare farkıyla sadeleştirir, kısa bir özdeşliği bir tarafı öbürüne dönüştürerek ispatlarsın.
• sin x + cos x verildiğinde çarpımı kare alarak, tan x verildiğinde sin ve cos içeren kesirleri cos x'e bölerek hesaplarsın.

Her şeyi sinüs ve kosinüse indirmek

Birim çemberde tanjantı P noktasının ordinatının apsisine bölümü, kotanjantı da tersi olarak tanımlamıştık:

tan x = sin x / cos x ve cot x = cos x / sin x.

Bu iki eşitlik bir tanım olmanın ötesinde bir yöntemdir: içinde tan ve cot geçen hemen her ifade, bu oranlar sin ve cos'a çevrilince sadeleşmeye hazır hâle gelir. Örneğin tan x · cos x yazılınca kesirdeki cos x paydaki cos x ile gider ve geriye sin x kalır. Çevirmenin bir bedeli vardır: kesir, paydası sıfır olan açıda anlamını yitirir. tan x için cos x ≠ 0 gerekir; bu, 90° ve 270° gibi x = 90° + k · 180° açılarını dışarıda bırakır. cot x için sin x ≠ 0 gerekir; 0°, 180°, 360° gibi x = k · 180° açıları dışarıda kalır.

tan x · cot x = 1 eşitliği iki kesrin birbirinin tersi olmasından gelir, ama ancak ikisi de tanımlıyken geçerlidir. 90°'de cot 90° = 0 olduğu hâlde tan 90° tanımsızdır ve çarpım yazılamaz. Eşitliğin geçerli olduğu açılar 90°'nin katları dışındaki bütün açılardır.

Sekant ve kosekant

Kosinüsün ve sinüsün çarpmaya göre terslerinin de adları vardır: sec x = 1/cos x (sekant, secant) ve cosec x = 1/sin x (kosekant, cosecant). Kimi kaynak kosekantı csc x diye yazar. Bu iki fonksiyon yeni bir bilgi taşımaz; yalnız 1/cos x ve 1/sin x için kısa bir addır. Tanımsız oldukları açılar da kosinüs ve sinüsün sıfır olduğu açılardır: sekant tanjantla, kosekant kotanjantla aynı yerde tanımsızdır. Soruda sec ya da cosec görünce ilk iş onları kesre çevirmektir.

Birim çember bağıntısından iki kardeş

Birim çember dersinde P(cos x, sin x) noktasını x² + y² = 1 denklemine yazarak sin²x + cos²x = 1'i elde ettik. Bu eşitliğin iki tarafı cos²x'e bölünürse (cos x ≠ 0 iken)

sin²x/cos²x + 1 = 1/cos²x, yani 1 + tan²x = 1/cos²x = sec²x

bulunur. İki taraf sin²x'e bölünürse (sin x ≠ 0 iken) aynı yoldan

1 + cot²x = 1/sin²x = cosec²x

çıkar. Ezberlenecek üç eşitlik yoktur, bir eşitlik ve iki bölme vardır. Bu kardeşlerin işe yaradığı yer, tanjant ya da kotanjant verilip sinüs ya da kosinüs istenen sorulardır: üçgen çizmeden, doğrudan kareler üzerinden ilerlenir.

Bir oran ve bölge: kalan oranlar

90° < x < 180° ve tan x = −5/12 olsun. 1 + tan²x = 1 + 25/144 = 169/144 olduğundan cos²x = 144/169 bulunur. Karekök iki işaret verir ve hangisinin alınacağına bölge karar verir: önceki derste gördüğümüz gibi ikinci bölgede apsis negatif, ordinat pozitiftir. Bu yüzden cos x = −12/13 olur; sin x = tan x · cos x = (−5/12) · (−12/13) = 5/13 pozitif çıkar ve bölgeyle uyuşur. Bu son kontrol işaret hatasını yakalamanın en ucuz yoludur.

Dik üçgen yolu da kullanılabilir: kenarları 5, 12, 13 olan üçgenden mutlak değerler okunur, işaretler bölgeden eklenir. İki yol aynı sonuca varır; hata hep işaret adımında yapılır.

Sadeleştirme ve M07'nin özdeşlikleri

TYT'deki çarpanlara ayırma modülünde kurduğumuz özdeşlikler, trigonometrik ifadelerde değişkenin yerine sin x ve cos x konarak aynen çalışır. En sık kullanılan üç hamle şunlardır:

• 1 − sin²x = cos²x ve 1 − cos²x = sin²x: temel bağıntının bir terimi karşıya atılmış hâli.
• İki kare farkı: (1 − cos x)(1 + cos x) = 1 − cos²x = sin²x. Aynı yolla sin⁴x − cos⁴x = (sin²x − cos²x)(sin²x + cos²x) = sin²x − cos²x olur; ikinci çarpan 1'e eşittir.
• Ortak çarpan: sin³x + sin x · cos²x = sin x (sin²x + cos²x) = sin x.

İçinde kesir olan ifadelerde rasyonel ifadeler dersindeki sıra izlenir: önce her terim sin ve cos'a çevrilir, sonra payda eşitlenir, en son paydaki ifade çarpanlarına ayrılır. Örneğin sin x/(1 − cos x) − (1 + cos x)/sin x ifadesinde ortak payda (1 − cos x) sin x olur; pay sin²x − (1 − cos²x) = 0'a iner. Demek ki iki kesir, tanımlı oldukları her açıda birbirine eşittir.

Özdeşlik ispatı: bir taraftan öbürüne

sin x = 1/2 bir denklemdir: yalnız 30°, 150° gibi belirli açılarda doğrudur. Özdeşlik ise iki tarafın tanımlı olduğu her açıda doğru olan eşitliktir. Bir eşitliği çürütmeye tek açı yeter: 1 + cot²x = 1/cos²x yazan biri 30°'yi denesin; sol taraf 1 + 3 = 4, sağ taraf 1/(3/4) = 4/3 çıkar. Tersini göstermek ise birkaç açı denemekle olmaz. Bir eşitliğin özdeşlik olduğunu göstermek için iki tarafla aynı anda oynanmaz; daha karışık görünen taraf alınır ve adım adım öbür tarafa dönüştürülür. tan x + cot x = 1/(sin x · cos x) eşitliğinde sol taraf daha çok iş vaat eder:

tan x + cot x = sin x/cos x + cos x/sin x = (sin²x + cos²x)/(sin x · cos x) = 1/(sin x · cos x).

Son adımda payın 1'e dönüşmesi, ispatların çoğunda yolun nereye gittiğini gösterir: sin²x + cos²x bir yerde mutlaka belirir. Bu eşitlik ileride de işe yarar, çünkü tan x + cot x'i bulmak için sin x · cos x'i bilmek yeter.

Toplam verildiğinde çarpım: kare almak

sin x + cos x = k verilsin. İki tarafın karesi sin²x + 2 sin x · cos x + cos²x = k² verir ve kare terimler birleşip 1 olur:

sin x · cos x = (k² − 1)/2.

k = 4/3 için çarpım (16/9 − 1)/2 = 7/18'dir. Birim çember dersinde bunun farkla kurulan hâlini gördük; burada bir adım ileri gidilebilir. Farkın karesi açılınca 1 − 2 sin x · cos x, bu da 2 − k² olur. Bir kare negatif olamayacağı için k² ≤ 2 şartı kendiliğinden çıkar: sin x + cos x = 3/2 eşitliğini sağlayan bir x yoktur. Farkın kendisi istenirse karekökün işaretini yine bölge belirler. Çarpım bulunduktan sonra küp toplamı da (sin x + cos x)(1 − sin x · cos x) özdeşliğiyle hesaplanır.

Tanjant verildiğinde kesir: cos x'e bölmek

Kancadaki yol genel bir kuraldır. a sin x + b cos x ile c sin x + d cos x'in oranında pay ve payda cos x'e bölünürse (a tan x + b)/(c tan x + d) kalır. Bölme her terimde aynı kuvvetle yapıldığı için oran değişmez ve bölge sorusu hiç doğmaz: tan x aynıysa birinci ve üçüncü bölgedeki x için oran aynıdır.

Paydası olmayan ifadelerde hile, 1'i sin²x + cos²x diye yazmaktır. tan x = 2 iken sin x · cos x istensin. sin x · cos x/(sin²x + cos²x) yazılır, pay ve payda cos²x'e bölünür: tan x/(tan²x + 1) = 2/5. Her terimi sin ve cos'a göre ikinci dereceden olan ifadelerde aynı numara çalışır: sin²x, sin x · cos x, cos²x ve sabit sayı.

Sonraki adım

Bu dersteki bütün özdeşlikler tek bir açının oranları arasında kuruldu: x neyse, sinüsü de kosinüsü de aynı x'e aitti. Sınavda ise sin 75° gibi tablodaki hiçbir açıya denk gelmeyen değerler sorulur; 75° = 45° + 30° yazmak kolaydır, ama sin 75°'in sin 45° + sin 30°'a eşit olmadığı birkaç saniyelik hesapla görülür. Sonraki derste iki açının toplamının ve farkının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını o açıların kendi oranlarından kurmanın formüllerini çıkaracağız.

Örnek 1 — Dördüncü kuvvetlerden sadeleştirme

Soru: sin⁴x − cos⁴x + 2 cos²x ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 2 cos²x
• B) sin²x + 3 cos²x
• C) 1
• D) sin²x
• E) 1 + 2 cos²x

Çözüm: İki kare farkıyla sin⁴x − cos⁴x = (sin²x − cos²x)(sin²x + cos²x) = sin²x − cos²x olur. Buna 2 cos²x eklenince sin²x + cos²x = 1 kalır. E seçeneği dördüncü kuvvetlerin farkını sıfır sanmaktan, B seçeneği farkı sin²x + cos²x diye açmaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Tanjant ve bölgeden fark

Soru: 90° < x < 180° ve tan x = −8/15 olduğuna göre sin x − cos x farkı kaçtır?

• A) −7/17
• B) 23/17
• C) −23/17
• D) 7/17
• E) 23/15

Çözüm: 1 + tan²x = 1 + 64/225 = 289/225 olduğundan cos²x = 225/289. İkinci bölgede kosinüs negatiftir: cos x = −15/17. sin x = tan x · cos x = 8/17. Fark 8/17 − (−15/17) = 23/17. Kosinüsü pozitif alan öğrenci A seçeneğindeki −7/17'yi bulur. Cevap: B.

Örnek 3 — Toplamdan tan x + cot x

Soru: Bir x açısı için sin x + cos x = 1/3 veriliyor. tan x + cot x toplamı kaçtır?

• A) −4/9
• B) 9/4
• C) −9/8
• D) −9/4
• E) 4/9

Çözüm: Kare alınınca 1 + 2 sin x · cos x = 1/9, buradan sin x · cos x = −4/9. tan x + cot x = 1/(sin x · cos x) olduğundan sonuç −9/4. A seçeneği çarpımın kendisidir; C seçeneği çarpımı −8/9 sanmaktan (ikiye bölme atlanmış), B seçeneği işareti düşürmekten gelir. Cevap: D.

Örnek 4 — Paydasız ifadede 1'i yeniden yazmak

Soru: tan x = 3 olduğuna göre sin²x + sin x · cos x toplamı kaçtır?

• A) 6/5
• B) 12
• C) 3/5
• D) 9/10
• E) 4/5

Çözüm: İfade paydası 1 olan bir kesir gibi düşünülür ve 1 yerine sin²x + cos²x yazılır. Pay ve payda cos²x'e bölününce (tan²x + tan x)/(tan²x + 1) = (9 + 3)/(9 + 1) = 6/5 kalır. B seçeneği yalnız payı cos²x'e bölüp paydayı unutmaktır; D seçeneği yalnız sin²x'i hesaplar. Cevap: A.

• tan x · cot x = 1'i her açıda geçerli saymak. 90°'de kotanjant 0'dır ama tanjant tanımsızdır; eşitlik yalnız 90°'nin katları dışında yazılır.
• Karekökte bölgeyi atlamak. 1 + tan²x'ten bulunan cos²x iki kosinüs verir; ikinci ve üçüncü bölgede kosinüs negatiftir. Sonunda sin x = tan x · cos x işaretini bölgeyle karşılaştır.
• 1 + cot²x'i 1/cos²x sanmak. Kotanjantın kardeşi sinüstür: sin²x'e bölündüğü için 1 + cot²x = 1/sin²x.
• Kare aldıktan sonra 2'ye bölmeyi unutmak. sin x + cos x = k'dan sin x · cos x = (k² − 1)/2 çıkar; 2 unutulursa çarpım iki katına çıkar.
• Paydasız ifadede yalnız cos²x'e bölmek. sin²x + sin x · cos x'i cos²x'e bölünce ifadenin değeri değişir; önce 1 = sin²x + cos²x paydası yazılmalıdır.