İşaret inceleme ve indirgeme

Elvan deneme sınavından sonra cevaplarını bilimsel hesap makinesiyle kontrol ediyor. sin 150 tuşlayınca ekranda 0,5 çıkıyor; merak edip sin 30'a bakıyor, o da 0,5. Ardından cos 150 için −0,866 okuyor, cos 30 için 0,866. tan 150 ise −0,577. Sayılar hep tanıdık, yalnız bazılarının önüne bir eksi gelmiş, bazılarına gelmemiş. Elvan sınavda cos 150°'yi pozitif yazdığı için bir soruyu kaçırmış. Makine haklı ama nedenini söylemiyor. Neden birim çemberde: 150°'nin bitim kenarı ile 30°'ninki y eksenine göre birbirinin aynası. Bu derste o aynayı ve öteki iki aynayı kullanarak her açının değerini bir dar açının değerine bağlıyoruz, işareti de hesap makinesine sormadan bölgeden okuyoruz.

• Açının bölgesinden sin, cos, tan ve cot'un işaretini belirler, verilen işaret koşullarından açının bölgesini bulursun.
• 180° ± α, 360° − α ve −α biçimindeki açıları aynı fonksiyonla dar açıya indirir, işareti açının bölgesine göre koyarsın.
• 90° ± α ve 270° ± α biçimindeki açılarda sinüsü kosinüse, tanjantı kotanjanta çevirir; derece ya da radyanla verilmiş büyük açıları önce esas ölçüye, sonra dar açıya indirirsin.
• Tümler açı bağıntısını ve üçgende A + B + C = 180° eşitliğini kullanarak sin(A + B), cos(A + B) gibi ifadeleri tek açıya bağlarsın.

İşaret koordinattan gelir

Önceki derste her açıya birim çember üzerinde bir P noktası bağladık; P'nin apsisi kosinüs, ordinatı sinüstü. Bu tanımdan hemen bir sonuç çıkar: kosinüsün işareti P'nin apsisinin, sinüsün işareti P'nin ordinatının işaretidir. Birinci bölgede iki koordinat da pozitiftir. İkinci bölgede P eksenin solundadır, apsis negatif olur, ordinat pozitif kalır. Üçüncü bölgede ikisi de negatiftir. Dördüncü bölgede apsis pozitife döner, ordinat negatif kalır.

Tanjant ile kotanjant sin ve cos'un bölümüdür, bu yüzden işaretleri bölümün işaret kuralından çıkar: aynı işaretli iki sayının bölümü pozitif, farklı işaretlilerinki negatiftir. Birinci ve üçüncü bölgede sin ile cos aynı işaretlidir, tan ve cot pozitiftir. İkinci ve dördüncü bölgede farklı işaretlidir, tan ve cot negatiftir. tan ile cot her bölgede aynı işareti taşır, çünkü biri ötekinin tersidir.

Tabloyu hızlı hatırlamak için bölgeleri sırayla «hepsi, sinüs, tanjant, kosinüs» diye okuyan bir kısaltma kullanılır: her bölgede pozitif kalan oran sayılır, gerisi negatiftir. Kısaltma unutulduğunda P'yi çizip koordinatlara bakmak her zaman aynı sonucu verir; asıl dayanak çemberdir.

İşaretten bölgeye

Soru bazen tersten gelir: iki işaret verilir, açının bölgesi istenir. sin α > 0 ise P x ekseninin üstündedir, yani I ya da II. bölgededir. tan α < 0 koşulu birinci bölgeyi eler. Geriye II. bölge kalır. Her koşul olası bölgeleri ikiye indirir; iki koşulun kesişimi çoğu zaman tek bölge bırakır.

Koşul bir çarpım ya da bölüm olarak da gelebilir. Sinüs ile kosinüsün çarpımının negatif verilmesi, ikisinin farklı işaretli olduğunu söyler ve bu II ile IV. bölgede olur; tan α < 0 ile aynı bilgiyi taşır. Çarpımı önce tek bir oranın işaretine çevirmek işi kısaltır: sin α · tan α, sin²α / cos α'ya eşittir ve pay pozitif olduğundan bu çarpımın işareti cos α'nın işaretidir.

Üç ayna: 180° − α, 180° + α, 360° − α

α bir dar açı olsun; ona karşılık gelen P noktası birinci bölgededir. 180° − α açısının bitim kenarı, OP'nin y eksenine göre yansımasıdır. Yansıyan noktanın ordinatı aynı kalır, apsisi ters işaret alır: (−cos α, sin α). Buradan sin(180° − α) = sin α ve cos(180° − α) = −cos α çıkar. Kancadaki 150° = 180° − 30° olduğundan sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2 ve tan 150° = −√3/3 olur.

180° + α'da P orijine göre yansır, iki koordinat da işaret değiştirir: sin(180° + α) = −sin α, cos(180° + α) = −cos α. Bölümleri değişmediği için tan(180° + α) = tan α'dır; tanjantın 180°'de bir tekrar etmesi buradan gelir. 225° = 180° + 45° olduğundan cos 225° = −√2/2 bulunur. 360° − α'da yansıma x eksenine göredir, apsis korunur, ordinat ters döner: cos(360° − α) = cos α, sin(360° − α) = −sin α. tan 300° = tan(360° − 60°) = −√3 olur.

Bu üç durumda fonksiyonun adı değişmez. İşaret için ezber gerekmez: α dar varsayılır, açının düştüğü bölge bulunur ve ilk fonksiyonun o bölgedeki işareti yazılır. cos(180° + α) için açı III. bölgededir ve orada kosinüs negatiftir; sonuç −cos α olur.

Negatif açı

−α açısı, α'nın saat yönünde çizilmiş hâlidir ve bitim kenarı OP'nin x eksenine göre yansımasıdır; 360° − α ile aynı ışındır. Bu yüzden kosinüs değişmez, cos(−α) = cos α; sinüs ve tanjant ise yalnız işaret değiştirir: sin(−α) = −sin α ve tan(−α) = −tan α. «Tek ve çift fonksiyonlar» dersindeki dille söylersek sinüs ile tanjant tek, kosinüs çift fonksiyondur: kosinüsün grafiği y eksenine göre, sinüsünki orijine göre simetriktir. cos(−120°) = cos 120° = −1/2 olur; eksi işareti açıdan atılır, sonucun işaretine dokunmaz.

Adın değiştiği açılar: 90° ± α ve 270° ± α

90° − α açısında P'nin y = x doğrusuna göre yansıması oluşur ve iki koordinat yer değiştirir: (sin α, cos α). Önceki derste dik üçgende gördüğümüz tümler açı ilişkisi, sin(90° − α) = cos α ve cos(90° − α) = sin α, bu yansımanın kendisidir. Tanjant ile kotanjant da yer değiştirir: tan(90° − α) = cot α.

Bitim kenarı dikey eksene göre kurulan bütün açılarda aynı şey olur: 90° + α, 270° − α ve 270° + α için sinüs kosinüse, kosinüs sinüse, tanjant kotanjanta, kotanjant tanjanta dönüşür. İşaret yine ilk fonksiyonun, açının düştüğü bölgedeki işaretidir. cos(90° + α) için açı II. bölgededir, orada kosinüs negatiftir ve cos(90° + α) = −sin α olur. tan(270° − α) III. bölgededir, tanjant orada pozitiftir: tan(270° − α) = cot α. sin(270° + α) IV. bölgede, sinüs negatif: −cos α.

Kısa kural iki sorudan oluşur. Açı yatay eksenle (180°, 360°) mi kurulmuş, dikey eksenle (90°, 270°) mi? Yataysa ad aynı kalır, dikeyse tümleyenine döner. Ardından işaret, verilen ifadenin kendi bölgesinden konur. Hangi yazım seçilirse seçilsin değer değişmez: 225° hem 180° + 45° hem 270° − 45° olarak yazılabilir; ilkinden −cos 45°, ikincisinden −sin 45° gelir ve ikisi de −√2/2'dir.

Radyanla indirgeme

Radyanda ayna açıları π − α, π + α, 2π − α; adın değiştiği açılar π/2 ± α ve 3π/2 ± α olarak yazılır. Kural aynıdır. sin(7π/6) = sin(π + π/6) = −1/2 ve cos(5π/3) = cos(2π − π/3) = 1/2 olur. cos(3π/2 + α)'da açı IV. bölgededir; kosinüs orada pozitiftir ve ad değişir: cos(3π/2 + α) = sin α. Değişken içeren ifadelerde de aynı yol izlenir; tan(π + x) · cot(3π/2 − x) çarpımı tan x · tan x = tan²x olur.

Büyük açılar: önce esas ölçü

Yönlü açılar dersinde her açının 0° ile 360° arasında bir esas ölçüsü olduğunu gördük; aynı bitim kenarı aynı P noktasını, dolayısıyla aynı değerleri verir. Büyük açıda sıra şöyledir: tam turlar atılır, kalan açı dar açıya indirilir. 1230° − 3 · 360° = 150° olduğundan sin 1230° = sin 150° = 1/2'dir. Negatif açıda kosinüsün çiftliği bir adım kazandırır: cos(−1020°) = cos 1020° ve 1020° − 720° = 300° olduğundan sonuç cos 60° = 1/2 çıkar. Radyanda 2π'nin katları atılır: 17π/4 − 4π = π/4 ve tan(17π/4) = 1. Tanjantta yarım tur da yeter, çünkü tanjant 180°'de bir tekrar eder.

Tümler açılar ve üçgen

Toplamı 90° olan iki açının birinin sinüsü ötekinin kosinüsüdür: sin 20° = cos 70°, sin 35° / cos 55° = 1. Tanjantta tümler açının tanjantı kotanjanta dönüştüğü için tan 25° · tan 65° = tan 25° · cot 25° = 1 olur. Değerini bilmediğimiz açılarla kurulmuş sorular çoğunlukla bu eşleşmeyi bekler.

Bir ABC üçgeninde A + B = 180° − C'dir. Bu yüzden A + B açısı, C'nin 180°'ye göre aynasıdır: sin(A + B) = sin C, cos(A + B) = −cos C ve C dik değilse tan(A + B) = −tan C. Yarım açılar için (A + B)/2 = 90° − C/2 yazılır ve tümler bağıntı devreye girer: sin((A + B)/2) = cos(C/2). Böylece iki açılı bir ifade tek açılı bir ifadeye iner.

Bölgeden özdeşliğe

Bu dersin soruları işaret tablosu okumayı, işaretten bölge bulmayı, özel ya da büyük açıların değerini ve değişkenli bir indirgemenin sonucunu ister. Şimdiye kadar her eşitliği belirli bir açıda, bir değer hesaplamak için kullandık. Bir sonraki adımda sin²α + cos²α = 1 bağıntısını ve tanjantın sinüsün kosinüse bölümü olmasını tek tek değerler için değil, her açıda geçerli olan bağıntılar olarak ele alacağız: bir ifadenin bütün açılarda başka bir ifadeye eşit olduğunu göstermek, kesirli trigonometrik ifadeleri bu temel özdeşliklerle yeniden yazmak.

Örnek 1 — İşaretten bölge, bölgeden oran

Soru: sin α = −3/5 ve tan α > 0 olduğuna göre tan α + cos α toplamı kaçtır?

• A) toplam 31/20
• B) toplam −31/20
• C) toplam 1/20
• D) toplam −1/20
• E) toplam 7/20

Çözüm: Sinüs negatif olduğundan α III ya da IV. bölgededir; tanjantın pozitif olması IV. bölgeyi eler. III. bölgede kosinüs negatiftir. Kosinüsün karesi 16/25 çıkar (birden 9/25 düşülünce), negatif kök alınır: cos α = −4/5. Sinüs ve kosinüsün bölümü 3/4 olduğundan tanjant 3/4; toplam 3/4 − 4/5 = −1/20. Kosinüsü pozitif alan öğrenci 31/20 bulur. Cevap: D.

Örnek 2 — Büyük ve negatif açılar

Soru: sin 870° − cos(−120°) + tan 1035° işleminin sonucu nedir?

• A) sonuç 2
• B) sonuç −1
• C) sonuç 1
• D) sonuç 0
• E) sonuç −2

Çözüm: 870° − 720° = 150° ve sin 150° = sin 30° = 1/2. Kosinüs çift olduğundan cos(−120°) = cos 120° = −cos 60° = −1/2; çıkarılınca +1/2 gelir. 1035° − 720° = 315° ve tan 315° = −tan 45° = −1. Üç terimin toplamında iki yarım bir eder, son terim onu sıfırlar: sonuç 0. cos(−120°)'yi +1/2 alan −1'e ulaşır. Cevap: D.

Örnek 3 — Radyanda ad değişimi

Soru: cos(3π/2 + x) + sin(π + x) − 2 cos(π/2 + x) ifadesinin en sade biçimi nedir?

• A) 2 sin x
• B) 0
• C) −2 sin x
• D) 2 cos x
• E) 4 sin x

Çözüm: 3π/2 + x dördüncü bölgededir, kosinüs orada pozitiftir ve dikey eksen adı değiştirir: sin x. π + x üçüncü bölgededir, sinüs negatiftir, ad aynı kalır: −sin x. π/2 + x ikinci bölgededir, kosinüs negatiftir ve ad değişir: −sin x; −2 ile çarpılınca +2 sin x. Toplam sin x − sin x + 2 sin x = 2 sin x. sin(π + x)'i +sin x yazan 4 sin x bulur. Cevap: A.

Örnek 4 — Üçgende indirgeme

Soru: ABC üçgeninde cos(A + B) = −3/5 olduğuna göre sin(A + B) + tan C toplamı kaçtır?

• A) T = −32/15
• B) T = −8/15
• C) T = 32/15
• D) T = 8/15
• E) T = 4/5

Çözüm: cos(A + B) = −cos C olduğundan cos C = 3/5 ve C dar açıdır. sin C = 4/5, tan C = 4/3. sin(A + B) = sin C = 4/5. Toplam 4/5 + 4/3 = 32/15. cos(A + B) ile cos C'yi eşit sanan C'yi geniş açı alır ve 4/5 − 4/3 = −8/15 bulur. Cevap: C.

• İndirgemede işareti dar açının fonksiyonundan koymak. cos 150°'nin işareti cos 30°'den değil, 150°'nin bulunduğu II. bölgeden gelir; orada kosinüs negatiftir.
• 90° ve 270°'te adı değiştirmeyi unutmak. sin(90° + α) = cos α'dır; sin α yazmak bir sayısal örnekte hemen ortaya çıkar: sin 120° ≠ sin 30°.
• 180° ve 360°'ta adı gereksiz yere değiştirmek. tan(180° + α) = tan α'dır; kotanjanta dönüşmez.
• Negatif açıda eksiyi her fonksiyondan dışarı almak. cos(−α) = cos α'dır; eksi yalnız sinüs, tanjant ve kotanjantta dışarı çıkar.
• Büyük açıda 360'a bölüp kalanı negatif bırakmak. −1020°'nin esas ölçüsü 60°'dir, −300° değil; değer okunmadan önce açı 0° ile 360° arasına getirilir.
• Üçgende cos(A + B)'yi cos C sanmak. A + B, C'nin 180°'ye tümleyenidir; sinüs korunur, kosinüs ve tanjant işaret değiştirir.