Birim çember ve trigonometrik oranlar

Volkan geometri dersinden beri sin 30° = 1/2 olduğunu biliyor: 30-60-90 üçgeninde 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı. Deneme sınavında önüne cos 180° + sin 90° işlemi geliyor ve kalemi duruyor. Bir dik üçgende 180°'lik açı olamaz, 90°'lik açı ise zaten dik açının kendisi; karşı kenar, komşu kenar diye ayıracak bir şey kalmıyor. Cevap anahtarında 0 yazıyor ve bu sonuç hiçbir üçgenden okunmuyor. Eksik olan formül değil, sinüsün ve kosinüsün tanımı: dik üçgen bu oranları yalnız 0° ile 90° arasındaki açılar için verir. Bu derste aynı oranları yarıçapı 1 olan bir çemberin üzerindeki bir noktanın koordinatları olarak yeniden tanımlıyoruz; böylece her açının sinüsü ve kosinüsü olur, 30°, 45°, 60° değerleri de ezberden değil, çemberin içine yerleşen üçgenden gelir.

• Dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını dik üçgenin kenar oranlarından yazarsın.
• Birim çemberde bir açının bitim kenarının kestiği P(cos α, sin α) noktasından 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180° ve 270°'nin değerlerini türetirsin.
• tan ve cot'un tanımsız olduğu açıları ayırır, sin ve cos'un −1 ile 1 arasında kalmasından bir ifadenin alabileceği en büyük değeri ve en küçük değeri bulursun.
• sin²α + cos²α = 1 bağıntısıyla dar açıda bir oranı verilenin öteki oranlarını hesaplarsın.

Dik üçgende dört oran

Bir dik üçgende dar açılardan birine α diyelim. α'nın karşısındaki dik kenar «karşı», α'ya bitişik dik kenar «komşu», dik açının karşısındaki en uzun kenar ise hipotenüstür. Dört oran bu üç kenardan kurulur:

• sin α = karşı / hipotenüs
• cos α = komşu / hipotenüs
• tan α = karşı / komşu
• cot α = komşu / karşı

Dik kenarları 5 ve 12 olan üçgende hipotenüs Pisagor teoremiyle 13'tür. 5'in karşısındaki açı α ise sin α = 5/13, cos α = 12/13, tan α = 5/12, cot α = 12/5 olur. Oranlar üçgenin büyüklüğüne bağlı değildir: kenarları 10, 24, 26 olan benzer üçgen aynı dört sayıyı verir. Bu yüzden bir oran, açının kendisinin özelliğidir. Aynı üçgende öteki dar açı 90° − α'dır ve onun karşı kenarı α'nın komşu kenarıdır; bir açının sinüsü öteki açının kosinüsüne eşit çıkar.

Dik üçgenin yetmediği yer

Dik üçgenin dar açıları 0° ile 90° arasındadır. 90°'lik, 150°'lik ya da 270°'lik bir açının içinde bulunduğu dik üçgen yoktur; kancadaki takılma buradan gelir. Çözüm, hipotenüsü 1 alıp üçgeni koordinat düzlemine oturtmaktır. Hipotenüs 1 olunca sin α karşı kenarın kendisi, cos α komşu kenarın kendisi olur. Kenar uzunlukları da bir noktanın koordinatlarına dönüşür ve koordinatlar her açı için tanımlıdır.

Birim çember ve P noktası

Merkezi orijin, yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir; denklemi x² + y² = 1'dir. Önceki derste açıyı standart konuma yerleştirdik: köşe orijinde, ilk kenar pozitif x yarı ekseninin üzerinde, saatin tersine dönüş pozitif. α açısının bitim kenarı birim çemberi bir P noktasında keser ve tanım şudur:

P'nin apsisi cos α, ordinatı sin α'dır: P(cos α, sin α).

α dar açıyken P birinci bölgededir. P'den x eksenine bir dikme inilirse hipotenüsü OP = 1 olan bir dik üçgen oluşur; komşu kenar P'nin apsisi, karşı kenar P'nin ordinatıdır. Yeni tanım dar açılarda eski tanımla birebir aynı sonucu verir; yalnızca sınırını kaldırır.

Eksenler üzerindeki açılar

Eksenlerin üzerinde duran dört açıda P'yi çizmek yeter. 0°'de P = (1, 0) noktasından cos 0° = 1, sin 0° = 0 okunur. 90°'de bitim kenarı y ekseninin pozitif yönündedir ve P = (0, 1): cos 90° = 0, sin 90° = 1. 180°'de P = (−1, 0), yani cos 180° = −1 ve sin 180° = 0. 270°'de P = (0, −1), yani cos 270° = 0 ve sin 270° = −1. Tam bir tur dönen 360°'nin bitim kenarı 0°'ninkiyle aynıdır, değerleri de aynıdır. Kancadaki işlem artık okunur: cos 180° + sin 90° = −1 + 1 = 0. Radyanda 90°'ye π/2, 270°'ye 3π/2 karşılık gelir; değerler birimle değişmez.

30°, 45° ve 60°: üçgeni çemberin içine yerleştirmek

45°'de P'den x eksenine inen dikme ile hipotenüsü 1 olan bir 45-45-90 üçgeni oluşur. TYT geometrideki «30-60-90 ve 45-45-90 üçgenleri» dersinde bu üçgenin kenarlarının x : x : x√2 oranında olduğunu görmüştük. x√2 = 1 verir: x = 1/√2 = √2/2. Bu nedenle P(√2/2, √2/2) olur; cos 45° = sin 45° = √2/2, tan 45° = cot 45° = 1.

30°'de oluşan üçgen bir 30-60-90 üçgenidir ve kenarlar x : x√3 : 2x oranındadır. Hipotenüs 2x = 1 olduğundan x = 1/2'dir. 30°'nin karşısındaki kenar, yani P'nin ordinatı 1/2; komşu kenar, yani apsis √3/2'dir. Sonuç: cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2. 60°'de aynı üçgen ters yatar: kısa kenar artık yataydadır ve P(1/2, √3/2) olur; cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2. Bu üç açıda tablo ezberlemek yerine üçgeni çizmek, değeri bir saniyede geri getirir. 30° ile 60°'nin değerlerinin yer değiştirmesi de dik üçgende sinüs ile kosinüsün tümler açılar arasında yer değiştirmesinin bir görünümüdür.

Tanjant ve kotanjant

Dik üçgendeki karşı/komşu oranı birim çemberde ordinatın apsise bölümüdür:

tan α = sin α / cos α ve cot α = cos α / sin α.

tan α, OP doğrusunun eğimidir: 45°'de OP, y = x doğrusu üzerindedir ve eğim 1'dir. Bu kesirlerde paydaya dikkat etmek gerekir. cos α = 0 olan açılarda, yani 90° ve 270°'de, tanjant tanımsızdır. sin α = 0 olan 0°, 180° ve 360°'de kotanjant tanımsızdır. Buna karşılık tan 0° = 0/1 = 0 ve cot 90° = 0/1 = 0 tanımlıdır; tanımsız olanla sıfır olanı karıştırmak en sık yapılan hatadır. İki oranın da tanımlı olduğu her açıda tan α · cot α = 1'dir, çünkü kesirler birbirinin tersidir. Özel açılarda tan 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3, tan 60° = √3 bulunur; kotanjantlar bunların tersidir.

−1 ile 1 arasında kalan değerler

P birim çemberin üzerinde olduğu için koordinatları −1'den küçük, 1'den büyük olamaz. Her gerçek x için

−1 ≤ sin x ≤ 1 ve −1 ≤ cos x ≤ 1

eşitsizlikleri geçerlidir ve P çemberin her noktasına ulaştığı için bu aralıktaki her değer alınır. Tanjantta böyle bir sınır yoktur: P, 90°'ye yaklaştıkça eğim istediğimiz kadar büyür.

Bu sınır, içinde sin x ya da cos x bulunan ifadelerin değer aralığını bulmanın yoludur. 3 − 2 sin x ifadesine bakalım. −1 ≤ sin x ≤ 1 eşitsizliği −2 ile çarpılınca yön değişir: 2 ≥ −2 sin x ≥ −2. Her tarafa 3 eklenince 1 ≤ 3 − 2 sin x ≤ 5 olur. En büyük değer 5, sin x = −1 iken (x = 270°) alınır; en küçük değer 1, sin x = 1 iken (x = 90°) alınır. Negatif katsayıyla çarpılınca yönün dönmesi unutulursa en büyük ile en küçük yer değiştirir. Kare içeren ifadelerde önce karenin aralığı yazılır: cos² x yalnız 0 ile 1 arasındadır, −1 değerini alamaz.

sin²α + cos²α = 1

P(cos α, sin α) birim çemberin üzerindedir ve çemberin denklemi x² + y² = 1'dir. P'nin koordinatları denkleme yazılınca

sin²α + cos²α = 1

bulunur. Dar açıda bu, hipotenüsü 1 olan dik üçgende Pisagor teoreminin ta kendisidir; birim çember onu her açıya genişletir. sin²α yazımı (sin α)² anlamına gelir.

Bağıntının en sık kullanımı, bir oran verildiğinde ötekini bulmaktır. α dar açı ve sin α = 3/5 olsun. cos²α = 1 − 9/25 = 16/25 olduğundan cos α = 4/5'tir; α dar açı olduğu için P birinci bölgededir ve kosinüs pozitif alınır. Buradan tan α = 3/4, cot α = 4/3 çıkar. Aynı sonuca hipotenüsü 5, karşı kenarı 3 olan bir dik üçgen çizerek de ulaşılır; hangisi daha hızlı geliyorsa o kullanılır. Tanjant verildiğinde üçgen yolu daha kısadır: tan α = 2 ise karşı 2, komşu 1, hipotenüs √5 alınır.

Soru kökleri ve sonraki adım

Bu dersin soruları dik üçgende eksik oranı, özel açılı işlemlerin sonucunu, tanımsız olan ifadeyi, sin ve cos içeren bir ifadenin aralığını ve bir oranı verilen dar açının öteki oranlarını ister. Şimdiye kadar P'yi çoğunlukla birinci bölgede ya da eksenlerin üzerinde tuttuk. P ikinci, üçüncü ya da dördüncü bölgeye geçtiğinde koordinatlardan biri ya da ikisi negatif olur ve oranların işareti bölgeden okunur; 150° ya da 225° gibi bir açının değeri de çemberdeki simetriyle bir dar açının değerine bağlanır. Sonraki derste bu işaret incelemesini ve geniş açıları dar açıya taşıyan indirgemeyi kuracağız.

Örnek 1 — Dik üçgende oranlar

Soru: ABC üçgeninde B açısı diktir, |AB| = 7 ve |AC| = 25'tir. C açısının kotanjantı kaçtır?

• A) 7/24
• B) 24/25
• C) 24/7
• D) 25/7
• E) 7/25

Çözüm: Pisagor ile |BC|² = 625 − 49 = 576, |BC| = 24. C açısına göre karşı kenar AB = 7, komşu kenar BC = 24'tür. cot C = komşu/karşı = 24/7. A seçeneği tanjanttır; E seçeneği sinüstür. Cevap: C.

Örnek 2 — Eksen ve özel açılar

Soru: cos 0° − 2 sin 270° + tan²30° işleminin sonucu kaçtır?

• A) 10/3
• B) 7/3
• C) 4/3
• D) 13/3
• E) −2/3

Çözüm: 0°'de P(1, 0) olduğundan cos 0° = 1. 270°'de P(0, −1) olduğundan sin 270° = −1 ve −2 sin 270° = 2. tan 30° = √3/3 ve karesi 3/9 = 1/3. Toplam 1 + 2 + 1/3 = 10/3. sin 270°'yi 1 alan −2/3'e ulaşır. Cevap: A.

Örnek 3 — En büyük değer

Soru: 0° ≤ x < 360° olmak üzere 3 − 2 sin x ifadesinin en büyük değeri ve bu değeri aldığı x hangisidir?

• A) 3 ve 0°
• B) 5 ve 90°
• C) 1 ve 90°
• D) 5 ve 270°
• E) 3 ve 180°

Çözüm: −2 sin x terimi sin x en küçükken en büyüktür. sin x'in en küçük değeri −1'dir ve bu değer 270°'de alınır. 3 − 2 · (−1) = 5. B seçeneği değeri doğru bulup açıyı sin x = 1'den seçer; o açıda ifade 1 olur. Cevap: D.

Örnek 4 — Bir orandan ötekine

Soru: α dar açı ve cos α = 2/3 olduğuna göre tan α kaçtır?

• A) 5/4
• B) √5/3
• C) √5/2
• D) 2√5/5
• E) 3√5/5

Çözüm: sin²α = 1 − 4/9 = 5/9; α dar olduğundan sin α = √5/3. tan α = (√5/3)/(2/3) = √5/2. B seçeneği sinüsün kendisidir; D seçeneği kotanjanttır. Cevap: C.

• Tanımsız ile sıfırı karıştırmak. tan 90° ve cot 0° tanımsızdır, çünkü paydada 0 vardır; tan 0° ve cot 90° ise 0'dır.
• Eksen açılarında işareti kaçırmak. sin 270° = −1, cos 180° = −1'dir; P'yi çizmeden «1» yazmak işaret hatası doğurur.
• 30° ile 60°'nin değerlerini değiştirmek. 30°'de P'nin ordinatı kısa kenardır: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2.
• Negatif katsayıyla çarpınca eşitsizliğin yönünü çevirmemek. 3 − 2 sin x'te en büyük değer sin x = −1'de alınır.
• Toplamın sınırlarını terim terim almak. 2 sin²x + 3 cos²x'te iki terim aynı anda 0 olamaz; önce sin²x + cos²x = 1 ile tek değişkene indir.
• Karekökte işareti seçmemek. sin²α = 5/9'dan dar açıda yalnız pozitif kök alınır.