Yönlü açılar ve radyan

Tuğrul bir kaykay yarışmasının tekrarını izliyor. Spiker bir sporcu için «900!» diye bağırıyor, ötekinin hareketine «1080» diyor. Tuğrul önce bu sayıları gösterişli birer puan sanıyor; sonra ikisinin de dönüş miktarı olduğunu, derece cinsinden söylendiğini fark ediyor. 900 dereceyi parçalayınca iki tam tur ve fazladan 180° çıkıyor: sporcu rampaya sırtı dönük iniyor. 1080 ise tam üç tur; öteki sporcu kalktığı yöne bakarak yere değiyor. Yani sporcunun nereye baktığını belirleyen şey 900'ün kendisi değil, 360'ın katları atıldıktan sonra geriye kalan 180°. Bu derste açıya yön vermeyi, büyük ve negatif açıların geride bıraktığı bu «kalan» ölçüyü bulmayı ve açıyı dereceden başka bir birimle, radyanla ölçmeyi öğreniyoruz.

• Bir açının yönünü başlangıç ve bitim kenarından okur, saat yönündeki dönüşü negatif işaretle yazarsın.
• Derece, dakika ve saniye ile ondalıklı derece arasında, dereceyle radyan arasında dönüşüm yaparsın.
• Pozitif ya da negatif, derece ya da π'nin kesirli katı olarak verilmiş bir açının esas ölçüsünü ve bulunduğu bölgeyi belirlersin.
• Radyan cinsinden merkez açıdan yay uzunluğunu, yay uzunluğundan merkez açıyı hesaplarsın.

Açıya yön vermek

TYT geometrinin «Doğruda açılar» dersinde açı, köşesi ortak iki ışının birleşimiydi ve ölçüsü kolların arasındaki açıklığı anlatıyordu; AOB ile BOA aynı açıydı. Trigonometride açı bir dönme hareketi olarak düşünülür. Işınlardan biri sabit kalır, öteki köşe çevresinde döner. Sabit ışına başlangıç kenarı, dönüş bittiğinde ışının durduğu yere bitim kenarı denir. Böyle tanımlanan açıya yönlü açı adı verilir.

Dönmenin iki yönü vardır. Saat ibrelerinin dönüşüne ters yön pozitif yön, saat ibreleriyle aynı yön negatif yön kabul edilir. Başlangıç kenarından saatin tersine 70° dönen ışın +70°'lik, saat yönünde 70° dönen ışın −70°'lik bir açı oluşturur. Duvar saatinin yelkovanı 15 dakikada 90° döner; dönüşü saat yönünde olduğu için yönlü açısı −90°'dir. Dönme bir turla sınırlı değildir: ışın iki tam tur atıp üstüne 30° daha dönerse açı 750° olur. Geometrideki açılar 0° ile 360° arasında kalırken yönlü açı her gerçek sayı değerini alabilir.

Açıyı koordinat düzleminde incelerken köşe orijine, başlangıç kenarı x ekseninin pozitif yarısına yerleştirilir. Bu yerleşime açının standart konumu denir; bölge ve esas ölçü soruları hep bu konumda sorulur.

Derece, dakika, saniye

Tam tur 360 dereceye bölünür; derecenin altında 1° = 60′ ve 1′ = 60″ ilişkisi vardır. Dakika ve saniyeyle toplama-çıkarma «Doğruda açılar» dersinde yapıldı; burada gereken, ondalıklı dereceyle bu yazım arasında gidip gelmektir. 25,7° yazıldığında 0,7 derece 0,7 · 60 = 42 dakikaya karşılık gelir ve açı 25°42′ olur. Ters yönde dakika 60'a, saniye 3600'e bölünür: 18°45′ = 18 + 45/60 = 18,75°. Hesap makinesinde dereceyi radyana çevirmeden önce açıyı ondalıklı biçime getirmek gerekir.

Radyan

Bir çemberde, uzunluğu yarıçapa eşit olan yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir. Bu tanım çemberin büyüklüğünden etkilenmez: yarıçap iki katına çıkınca o yayın uzunluğu da iki katına çıkar ve açı yine aynı kalır. Çemberin çevresi 2πr olduğu için tam turun içine yarıçap uzunluğunda 2π tane yay sığar; tam tur 2π radyandır. Bundan π radyan = 180° eşitliği çıkar. TYT'nin «Daire dilimi ve yay uzunluğu» dersinde bu eşitlik kısaca görülmüştü; trigonometride ise ana birim radyandır.

Dönüşüm için tek bir orantı yeter: D derece ile R radyan aynı açıyı gösteriyorsa D/180 = R/π. Dereceyi radyana çevirmek için π/180 ile, radyanı dereceye çevirmek için 180/π ile çarpılır. 135° = 135 · π/180 = 3π/4 radyan; 7π/9 radyan = 7 · 180/9 = 140° olur. Sık kullanılan değerleri ezberlemek iş görür: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 150° = 5π/6, 270° = 3π/2.

Radyan yalnız π'li biçimde gelmez. 1 radyan 180/π derecedir, yani yaklaşık 57,3°. 2 radyanlık bir açı yaklaşık 114,6° eder. Birim yazılmamış bir açı ölçüsü radyan olarak okunur: «θ = 2» ifadesi 2 derece değil, 2 radyandır.

Aynı bitim kenarı

750°'lik açının bitim kenarı 30°'lik açınınkiyle çakışır, çünkü aradaki iki tam tur ışını yeniden aynı yere getirir. Genel olarak α ve α + k · 360° (k tam sayı) açılarının bitim kenarları aynıdır; radyanda bu α + 2kπ biçiminde yazılır. Negatif k de geçerlidir: 30° ile −330° aynı ışını gösterir, çünkü −330°'lik dönüş saat yönünde 330° gidip aynı noktada durur.

Esas ölçü

Bitim kenarı aynı olan sonsuz açının içinden 0° ≤ α < 360° aralığında kalan tek bir açı vardır; buna esas ölçü denir. Radyanda aralık 0 ≤ α < 2π'dir. Kancadaki 900°'nin esas ölçüsü 180°, 1080°'ninki 0°'dir.

Pozitif bir açının esas ölçüsü, açı 360'a bölündüğünde kalan değerdir: 1470 = 4 · 360 + 30 olduğundan 1470°'nin esas ölçüsü 30°'dir. Negatif açıda kalan doğrudan okunmaz; açıya, sonucu 0 ile 360 arasına getirecek kadar 360'ın katı eklenir. −1000°'ye 3 · 360 = 1080 eklenince 80° bulunur. −1000'i 360'a bölüp −280 kalanını yazmak sık yapılan hatadır: esas ölçü negatif olamaz. Kaç tur ekleneceğini kestirmek için açının mutlak değeri 360'a bölünür ve bölüm yukarı yuvarlanır: 1000/360 ≈ 2,8 olduğundan üç tur gerekir.

π'nin kesirli katı olarak verilen açıda 2π, paydası aynı olan bir kesir olarak yazılır. 47π/6 için 2π = 12π/6 olduğundan pay 12'ye bölünür: 47 = 3 · 12 + 11 ve esas ölçü 11π/6 olur. Negatif örnekte −17π/4 için 2π = 8π/4'tür; −17'ye 24 eklenince 7 çıkar ve esas ölçü 7π/4 bulunur. Kural kısaca şudur: aπ/b biçimindeki açıda pay, 2b'ye göre 0 ile 2b − 1 arasına çekilir.

Açının bölgesi

Standart konumdaki açının bitim kenarı koordinat düzleminin dört bölgesinden birine düşer. Esas ölçü 0° ile 90° arasındaysa I., 90° ile 180° arasındaysa II., 180° ile 270° arasındaysa III., 270° ile 360° arasındaysa IV. bölgededir. Radyanda sınırlar π/2, π ve 3π/2'dir. Bölgeye esas ölçüden bakılır: 47π/6'nın esas ölçüsü 11π/6, 3π/2 ile 2π arasında kaldığından açı IV. bölgededir. 0°, 90°, 180°, 270° gibi bitim kenarı bir eksenin üzerine düşen açılar hiçbir bölgeye ait değildir. π'siz verilen radyanda sınırlar ondalıkla karşılaştırılır: π/2 ≈ 1,57, π ≈ 3,14, 3π/2 ≈ 4,71, 2π ≈ 6,28.

Yay uzunluğu

Radyanın tanımı yay uzunluğunu doğrudan verir. Merkez açısı θ radyan olan yay, yarıçap uzunluğunda θ tane yaydan oluşur: ℓ = r · θ. Yarıçapı 6 cm olan bir çemberde 5π/6 radyanlık merkez açı 6 · 5π/6 = 5π cm'lik yay görür. Formülü θ = ℓ/r biçiminde okumak da işe yarar: yay ile yarıçap biliniyorsa açı radyan cinsinden bulunur. Formül yalnız radyanda geçerlidir; açı derece verildiyse önce radyana çevrilir.

Bitim kenarı ve çember

Standart konumdaki bir açının bitim kenarını yarıçapı 1 olan bir çemberle kesersek her açıya düzlemde tek bir nokta karşılık gelir; esas ölçüsü aynı açılar aynı noktaya düşer. Bir sonraki ders «Birim çember ve trigonometrik oranlar» bu noktanın koordinatlarına ad verecek ve sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı oradan tanımlayacak.

Örnek 1 — Radyandan dereceye

Soru: 7π/12 radyanlık açı kaç derecedir?

• A) 84°
• B) 105°
• C) 120°
• D) 75°
• E) 210°

Çözüm: Radyan 180/π ile çarpılır: 7 · 180/12 = 7 · 15 = 105°. 75° değeri 7 yerine 5 almaktan, 210° ise π'yi 360° saymaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Negatif açının esas ölçüsü

Soru: −1210°'lik açının esas ölçüsü ve bulunduğu bölge hangisidir?

• A) 130°, II. bölge
• B) 50°, I. bölge
• C) 230°, III. bölge
• D) 310°, IV. bölge
• E) 230°, II. bölge

Çözüm: Sonucu 0 ile 360 arasına getirmek için −1210'a 4 · 360 = 1440 eklenir: −1210 + 1440 = 230°. 230 değeri 180 ile 270 arasında olduğundan bitim kenarı III. bölgededir. 130° seçeneği, −1210 yerine +1210'un esas ölçüsünü alıp işareti atlamaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 3 — π'li negatif açı

Soru: −53π/4 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?

• A) 5π/4
• B) π/4
• C) 7π/4
• D) 3π/4
• E) 5π/8

Çözüm: 2π = 8π/4 olduğundan pay 8'in katlarıyla düzeltilir: −53 + 56 = 3. Esas ölçü 3π/4'tür ve açı II. bölgededir. +53π/4 alınsaydı 53 − 48 = 5 ile 5π/4 bulunurdu; işaret ihmal edilince düşülen çeldirici budur. Cevap: D.

Örnek 4 — Yelkovanın taradığı yay

Soru: Bir duvar saatinin yelkovanı 12 cm uzunluğundadır. Saat 14.00'ten 14.25'e gelirken yelkovanın oluşturduğu yönlü açı ve ucunun aldığı yol hangisidir?

• A) −5π/6 radyan, 10π cm
• B) 5π/6 radyan, 10π cm
• C) −5π/6 radyan, 5π cm
• D) −5π/12 radyan, 5π cm
• E) 5π/6 radyan, 25π cm

Çözüm: Yelkovan dakikada 6° döner; 25 dakikada 150° = 5π/6 radyan. Dönüş saat yönünde olduğundan yönlü açı −5π/6'dır. Uç noktanın aldığı yol uzunluk olduğu için işaretsizdir: ℓ = 12 · 5π/6 = 10π cm. Cevap: A.

• Saat yönündeki dönüşü pozitif yazmak. Pozitif yön saatin tersidir; yelkovan ve akrep her zaman negatif yönlü açı üretir.
• Negatif açının esas ölçüsünü negatif kalanla vermek. −1000°'nin esas ölçüsü −280° değil, 360 eklenerek bulunan 80°'dir.
• π'li açıda payı 2'ye bölmek. 47π/6'da çıkarılacak tam tur 12π/6'dır; pay paydanın iki katına göre küçültülür.
• Ondalıklı dereceyi dakikaya yanlış çevirmek. 25,7° = 25°70′ değildir; 0,7 · 60 = 42 ile 25°42′ yazılır.
• ℓ = r · θ formülüne dereceyle girmek. Formül yalnız radyanda doğrudur; 150° önce 5π/6'ya çevrilir.
• π'siz radyanı derece sanmak. 5 radyan yaklaşık 286,5°'dir ve IV. bölgededir, I. bölgede değil.