Ters trigonometrik fonksiyonlar

Necla deneme kitabının son sayfasında arcsin(sin 5π/6) ifadesini görüyor ve hiç düşünmeden 5π/6 yazıyor: bir fonksiyonla tersi art arda uygulanınca birbirini götürmez mi? Cevap anahtarı π/6 diyor. Necla hesap makinesini açıp sin 150° = 0,5 ve arcsin 0,5 = 30° buluyor; makine de anahtarla aynı fikirde. Hata kuralı bilmemekte değil, kuralın hangi sayılar için geçerli olduğunu sormamaktaydı. Sinüs 5π/6 ile π/6'ya aynı değeri verir, yani birebir değildir; arcsin ise yalnız tek bir açı döndürebilir ve o açıyı önceden seçilmiş bir aralıktan alır. 5π/6 o aralıkta değildir. Bu derste o aralıkların neden öyle seçildiğini ve ters trigonometrik ifadelerin değerini nasıl güvenle bulacağımızı görüyoruz.

• arcsin, arccos, arctan ve arccot fonksiyonlarının tanım ve görüntü kümelerini, sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın hangi dalının tersi olduklarıyla gerekçelendirirsin.
• Özel değerlerin ve negatif girdilerin ters trigonometrik değerlerini birim çemberden bulursun.
• sin(arcsin x) ile arcsin(sin x) biçimli bileşkeleri ayırt eder, açı daldan taşıyorsa daldaki eşdeğer açıyı yazarsın.
• Bileşik ifadeleri dik üçgen ve işaret kontrolüyle hesaplar, arcsin x + arccos x = π/2 özdeşliğini ve tanım kümesi koşullarını sorularda kullanırsın.

Sinüsün tersi neden doğrudan yok?

«Ters fonksiyon» dersinde bir fonksiyonun tersinin ancak birebir ve örten olduğunda var olduğunu, birebir olmayan bir kuralda ise tanım kümesini kısıtlayıp tek bir kol seçerek ters tanımlandığını gördük; x² için [0, ∞) kolu √x'i vermişti. Sinüs aynı engelle karşılaşır, hem de çok daha ağır biçimde: sin x = 1/2 eşitliğini π/6, 5π/6, 13π/6 ve sonsuz sayıda başka açı sağlar. «Trigonometrik denklemler» dersinde bütün bu açıları eksiksiz toplamak istiyorduk. Tersten bakınca istek değişir: «sinüsü 1/2 olan açı» tek bir sayı olmalıdır, yoksa ortada fonksiyon kalmaz.

Çözüm, sinüsün grafiğinden bir parça kesmektir. Bu parça iki şartı sağlamalı: üzerinde sinüs birebir olmalı ve −1 ile 1 arasındaki her değeri almalı. [−π/2, π/2] aralığı tam bunu yapar; sinüs burada −1'den 1'e kesintisiz artar, her değere bir kez uğrar. Üstelik 0'ı ve küçük pozitif açıları içerir, yani en sık kullanılan açılar bu dalda kalır.

arcsin: tanım ve görüntü

Bu kısıtlı sinüsün tersine arcsin denir. y = arcsin x yazmak iki şeyi birlikte söyler: sin y = x ve −π/2 ≤ y ≤ π/2. Tanım kümesi [−1, 1], görüntü kümesi [−π/2, π/2] aralığıdır. arcsin 2 tanımsızdır, çünkü sinüsü 2 olan bir açı yoktur. Bazı kitaplar arcsin x yerine sin⁻¹ x yazar; buradaki −1 üs değildir, ters fonksiyon işaretidir. 1/sin x ise kosekanttır ve bambaşka bir şeydir.

Değer bulmak, dalın içinde sinüsü verilen açıyı aramaktır. arcsin(1/2) = π/6 olur; 5π/6 da aynı sinüsü verir ama dalın dışındadır. Negatif girdide aranan açı dördüncü bölgeye, yani −π/2 ile 0 arasına düşer: arcsin(−√3/2) = −π/3. Burada 4π/3 ya da 5π/3 yazmak, açıyı dalın dışından seçmektir.

arccos: neden bu kez [0, π]?

Kosinüs [−π/2, π/2] üzerinde birebir değildir; çift fonksiyon olduğu için π/3 ile −π/3 aynı değeri, 1/2'yi verir. Kosinüsün birebir ve örten olduğu doğal parça [0, π] aralığıdır: burada 1'den −1'e kesintisiz azalır. Böylece arccos: [−1, 1] → [0, π] tanımlanır ve y = arccos x, cos y = x ile 0 ≤ y ≤ π demektir.

Bu dal hiçbir zaman negatif bir açı vermez. arccos(√2/2) = π/4 olurken arccos(−1/2) için açı ikinci bölgeden seçilir: 2π/3. arccos(−1/2) = −π/3 yazan öğrenci arcsin'in alışkanlığını kosinüse taşımış olur; −π/3 hem dalın dışındadır hem de kosinüsü +1/2'dir.

arctan ve arccot: açık aralıklar

Tanjant ±π/2'de tanımsızdır ve (−π/2, π/2) aralığında artarak bütün gerçek sayıları tarar. Bu yüzden arctan: R → (−π/2, π/2) olur. Uç noktalar görüntüye girmez; arctan hiçbir girdide tam π/2 vermez, x büyüdükçe yalnızca ona yaklaşır. arctan √3 = π/3 ve arctan(−1) = −π/4 bulunur.

Kotanjant 0 ve π'de tanımsızdır, (0, π) aralığında azalarak bütün gerçek sayıları tarar; buradan arccot: R → (0, π) gelir. arccot √3 = π/6, arccot(−1) = 3π/4, arccot(−√3) = 5π/6 olur. Hesap aracı kullanırken dikkat: bazı programlar, örneğin sympy, arccot için (−π/2, π/2] dalını kullanır ve arccot(−1) için −π/4 döndürür. Ders kitabının ve sınavın dalı (0, π)'dir; negatif girdide doğru açı ikinci bölgededir.

Negatif girdi kuralları

Dallar iki ayrı simetriyle kurulmuştur. arcsin ile arctan'ın dalı 0'a göre simetriktir; bu yüzden ikisi de tek fonksiyondur: arcsin(−x) = −arcsin x ve arctan(−x) = −arctan x. arccos ile arccot'un dalı π/2'ye göre simetriktir; girdinin işaretini çevirmek açıyı π'den çıkarmak demektir: arccos(−x) = π − arccos x ve arccot(−x) = π − arccot x. Kontrol: arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3, yukarıdaki değerle aynı.

İki bileşke iki ayrı sonuç

sin(arcsin x) ifadesinde önce arcsin çalışır, sinüsü x olan bir açı bulur, sonra sinüs o açının sinüsünü geri verir. Sonuç her x ∈ [−1, 1] için x'tir; dışarıdaki x için ifade hiç tanımlı değildir. Ters sırada iş farklıdır. arcsin(sin x) ifadesinde sinüs x'i [−1, 1]'e götürür, arcsin ise bu değeri veren açıyı yalnız [−π/2, π/2] içinden seçer. Bu yüzden arcsin(sin x) = x eşitliği yalnız −π/2 ≤ x ≤ π/2 iken doğrudur.

Kancadaki ifade buradan çözülür: sin(5π/6) = 1/2 ve dalda sinüsü 1/2 olan açı π/6'dır. Kosinüs ve tanjantta da aynı düşünce işler: arccos(cos(−π/3)) için dal [0, π] olduğundan cevap π/3, arctan(tan(3π/4)) için de tanjantı −1 olan daldaki açı aranır ve −π/4 bulunur. Yol her seferinde aynıdır: içteki değeri hesapla, sonra o değeri veren açıyı dalın içinde ara.

Bileşik ifadeler: dik üçgen ve işaret

cos(arcsin(3/5)) hesaplanırken arcsin(3/5)'e bir ad verilir: θ. sin θ = 3/5 ve θ dalın pozitif yarısında, yani dar açıdır. Karşı kenarı 3, hipotenüsü 5 olan dik üçgende komşu kenar Pisagor'la 4 çıkar; cos θ = 4/5. arcsin'in dalında kosinüs hiç negatif olmadığından bu sonuç her zaman pozitif köklüdür: cos(arcsin x) = √(1 − x²).

Kosinüsün tersi söz konusu olduğunda işaret daha dikkat ister. tan(arccos(−3/5)) için θ = arccos(−3/5) ikinci bölgededir. Üçgen yine 3-4-5'tir ama bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir: sin θ = 4/5, cos θ = −3/5 ve tan θ = −4/3. Genel biçimiyle sin(arccos x) = √(1 − x²) ve x ≠ 0 için tan(arccos x) = √(1 − x²)/x; x negatifken bu kesir kendiliğinden negatif olur, ayrıca işaret çevirmek gerekmez. Üçgen yalnız uzunlukları verir; işareti açının bulunduğu bölge belirler.

arcsin x + arccos x = π/2

θ = arcsin x olsun. Tümler açıların kosinüsü sinüse eşit olduğundan cos(π/2 − θ) = sin θ = x yazılır. θ, −π/2 ile π/2 arasında olduğu için π/2 − θ, 0 ile π arasındadır; yani kosinüsün dalındadır. Dalda kosinüsü x olan açı tek olduğundan arccos x = π/2 − θ ve her x ∈ [−1, 1] için arcsin x + arccos x = π/2 bulunur. Aynı akıl yürütme tanjant ile kotanjant için de çalışır: her gerçek x için arctan x + arccot x = π/2. Bu özdeşlik arcsin x = π/5 verildiğinde arccos x'i 3π/10 olarak doğrudan yazdırır, denklemlerde de iki ters fonksiyonu tek bilinmeyene indirir.

Tanım kümesi soruları

Bir ters trigonometrik fonksiyonun içine bir ifade yazıldığında o ifade dalın girişine sığmalıdır. arcsin(2x − 1) için −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1 eşitsizliği çözülür ve 0 ≤ x ≤ 1 bulunur. arccos için de koşul aynıdır, arctan ve arccot'ta ise iç ifade her gerçek değeri alabilir ve kısıt yalnız ifadenin kendi tanımından gelir. Toplam biçimindeki bir fonksiyonda her parçanın koşulu ayrı yazılır ve kesişim alınır. Görüntü kümesi istendiğinde dalın uçları kurala sokulur: 2 arcsin(x − 1) + π/2 ifadesi −π/2 ile 3π/2 arasında değer alır.

Sırada

Bu dersteki her ters fonksiyon, periyodik bir fonksiyonun tekrar eden grafiğinden tek bir dal kesilerek kuruldu. Sonraki ders yeni bir aile açıyor: üstel fonksiyon, yani f(x) = aˣ kuralı. Orada tabanın 1'den büyük ya da küçük olmasının fonksiyonu artan mı azalan mı yaptığını, tanım ve görüntü kümesini ve grafiğin neden x eksenine yaklaşıp onu hiç kesmediğini göreceğiz. Bu fonksiyon tekrar etmez; tabanı pozitif ve 1'den farklı olduğunda bütün gerçek sayılarda birebirdir, bu yüzden tersini kurmak için dal kesmeye gerek kalmayacak.

Örnek 1 — Üç özel değer

Soru: arcsin(1/2) + arccos(−1/2) + arctan(−1) toplamı kaç radyandır?

• A) toplam = −5π/12
• B) toplam = 3π/4
• C) toplam = 7π/12
• D) toplam = 19π/12
• E) toplam = π/4

Çözüm: arcsin(1/2) = π/6. arccos(−1/2), [0, π] dalında ikinci bölgeden gelir: π − π/3 = 2π/3. arctan(−1) ise (−π/2, π/2) içinde dördüncü bölgededir: −π/4. Payda 12 ile 2π/12 + 8π/12 − 3π/12 = 7π/12. A seçeneği arccos(−1/2) için −π/3 yazmaktan, E seçeneği eksi işaretini hiç görmeyip π/3 almaktan, D seçeneği arctan(−1) için 3π/4 yazmaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Daldan taşan açılar

Soru: arccos(cos(5π/3)) + arcsin(sin(4π/3)) ifadesinin değeri kaçtır?

• A) değer = 0
• B) değer = 3π
• C) değer = 2π/3
• D) değer = π
• E) değer = −2π/3

Çözüm: İçteki değerler önce hesaplanır: cos(5π/3) = 1/2 ve sin(4π/3) = −√3/2. Kosinüsü 1/2 olan [0, π] içindeki açı π/3'tür. Sinüsü −√3/2 olan [−π/2, π/2] içindeki açı −π/3'tür. Toplam 0. B seçeneği iki bileşkeyi de «birbirini götürür» diye okur; C seçeneği arcsin'den gelen açının işaretini kaybeder; E seçeneği arccos'a negatif açı yazar. Cevap: A.

Örnek 3 — İkinci bölgede üçgen

Soru: tan(arccos(−5/13)) değeri kaçtır?

• A) tan θ = 12/5
• B) tan θ = −5/12
• C) tan θ = 12/13
• D) tan θ = −12/5
• E) tan θ = −13/12

Çözüm: θ = arccos(−5/13) dersek cos θ = −5/13 ve θ ∈ [0, π]; kosinüs negatif olduğundan θ ikinci bölgededir. Kenarları 5, 12 ve 13 olan dik üçgende açının karşısındaki kenar 12'dir; ikinci bölgede sinüs pozitif kaldığından sin θ = 12/13. tan θ = (12/13)/(−5/13) = −12/5. A seçeneği bölgeyi unutup yalnız uzunlukları böler; B seçeneği kotanjantı verir; C seçeneği sinüste kalır. Cevap: D.

Örnek 4 — İki koşulun kesişimi

Soru: f(x) = arcsin((x − 1)/2) + arccos(2 − x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?

• A) x ∈ [2, 3]
• B) x ∈ [1, 3]
• C) x ∈ [−3, −1]
• D) x ∈ [−1, 3]
• E) x ∈ [−1, 1]

Çözüm: Birinci parça için −1 ≤ (x − 1)/2 ≤ 1, yani −2 ≤ x − 1 ≤ 2 ve −1 ≤ x ≤ 3. İkinci parça için −1 ≤ 2 − x ≤ 1; 2 çıkarılınca −3 ≤ −x ≤ −1, eksiyle çarpınca eşitsizlik yön değiştirir: 1 ≤ x ≤ 3. İki koşul birlikte sağlanmalıdır, kesişim [1, 3]. D seçeneği yalnız ilk parçanın koşuludur; C seçeneği ikinci koşulda yönü çevirmeden yazılan aralıktır; E seçeneği ikinci parçada iç ifadeyi x sanıp −1 ≤ x ≤ 1 koşulunu birinciyle kesiştirmekten gelir. Cevap: B.

• Bileşkeyi her zaman sadeleştirmek. arcsin(sin x) = x yalnız −π/2 ≤ x ≤ π/2 için doğrudur; arccos(cos x) = x yalnız 0 ≤ x ≤ π için. Daldan taşan açıda önce içteki değer hesaplanır, sonra daldaki açı bulunur.
• arccos'a negatif açı yazmak. arccos'un görüntüsü [0, π]'dir; arccos(−1/2) = −π/3 değil 2π/3'tür. Negatif girdi kuralı arccos(−x) = π − arccos x'tir, −arccos x değil.
• Üçgenden gelen uzunluğa işaret vermemek. tan(arccos(−3/5)) hesabında 3-4-5 üçgeni 4/3'ü verir ama açı ikinci bölgededir ve sonuç −4/3 olur.
• sin⁻¹ x'i 1/sin x sanmak. sin⁻¹ ters fonksiyon gösterimidir; sin⁻¹(1/2) = π/6 iken 1/sin(1/2) bambaşka bir sayıdır.
• Hesap aracının arccot dalına güvenmek. sympy gibi araçlar arccot(−1) için −π/4 verir; sınavın dalı (0, π)'dir ve doğru değer 3π/4'tür.
• İç ifadenin koşulunu atlamak. arcsin(2x − 1) için x'in [0, 1]'de kalması gerekir; arctan ve arccot ise her gerçek girdiyi kabul eder.